Theorem cncfshift 42516

Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfshift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
cncfshift.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
cncfshift.b	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
cncfshift.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
cncfshift.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))

Assertion

Ref	Expression
cncfshift	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cncfshift

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfshift.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
2		cncff 23498	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
4	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		cncfshift.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
7	5, 6	eleqtrdi 2900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)})
8		rabid 3331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
9	7, 8	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
10	9	simprd 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
11		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥 − 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
12	11	3ad2ant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
13		cncfshift.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
14	13	sselda 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
15		cncfshift.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
16	15	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
17	14, 16	pncand 10987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
18	17	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
19	18	3adant3 1129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
20	12, 19	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝑇) = 𝑦)
21		simp2 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
22	20, 21	eqeltrd 2890	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴)
23	22	rexlimdv3a 3245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴))
24	10, 23	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴)
25	4, 24	ffvelrnd 6829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) ∈ ℂ)
26		cncfshift.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
27	25, 26	fmptd 6855	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
28		fvoveq1 7158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (abs‘(𝑎 − 𝑏)) = (abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)))
29	28	breq1d 5040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧))
30	29	imbrov2fvoveq 7160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)))
31	30	rexralbidv 3260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)))
32	31	ralbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑥 − 𝑇) → (∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)))
33	1	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
34	13	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
35		ssid 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
36		elcncf 23494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤))))
37	34, 35, 36	sylancl 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤))))
38	33, 37	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)))
39	38	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑎 − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤))
40	32, 39, 24	rspcdva 3573	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤))
41	40	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤))
42		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
43		rspa 3171	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤))
44	41, 42, 43	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤))
45		simpl1l 1221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝜑)
46	45	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → 𝜑)
47		simp1rl 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
48	47	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐵)
49		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → 𝑣 ∈ 𝐵)
50	26	fvmpt2 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
51	5, 25, 50	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
52	51	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
53		fvoveq1 7158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) = (𝐹‘(𝑣 − 𝑇)))
54		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ 𝐵)
55	3	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
56		eleq1w 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑣 ∈ 𝐵))
57	56	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)))
58		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 − 𝑇) = (𝑣 − 𝑇))
59	58	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴))
60	57, 59	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑇) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
61	60, 24	chvarvv 2005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴)
62	55, 61	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑣 − 𝑇)) ∈ ℂ)
63	26, 53, 54, 62	fvmptd3 6768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑣) = (𝐹‘(𝑣 − 𝑇)))
64	63	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑣) = (𝐹‘(𝑣 − 𝑇)))
65	52, 64	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣)) = ((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘(𝑣 − 𝑇))))
66	65	fveq2d 6649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) = (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘(𝑣 − 𝑇)))))
67	46, 48, 49, 66	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) = (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘(𝑣 − 𝑇)))))
68		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧)
69	9	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
70	69	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
71	6	ssrab3 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
72	71	sseli 3911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐵 → 𝑣 ∈ ℂ)
73	72	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ ℂ)
74	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
75	70, 73, 74	nnncan2d 11021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇)) = (𝑥 − 𝑣))
76	75	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) = (abs‘(𝑥 − 𝑣)))
77	76	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) = (abs‘(𝑥 − 𝑣)))
78		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧)
79	77, 78	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧)
80	46, 48, 49, 68, 79	syl1111anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧)
81		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((𝑥 − 𝑇) − 𝑏) = ((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇)))
82	81	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) = (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))))
83	82	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧))
84		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘(𝑣 − 𝑇)))
85	84	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘(𝑣 − 𝑇))))
86	85	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) = (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘(𝑣 − 𝑇)))))
87	86	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → ((abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤))
88	83, 87	imbi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑣 − 𝑇) → (((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤)))
89		simpll3 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤))
90	46, 49, 61	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (𝑣 − 𝑇) ∈ 𝐴)
91	88, 89, 90	rspcdva 3573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − (𝑣 − 𝑇))) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤))
92	80, 91	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘(𝑣 − 𝑇)))) < 𝑤)
93	67, 92	eqbrtrd 5052	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤)
94	93	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤))
95	94	ralrimiva 3149	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤)) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤))
96	95	3exp 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤))))
97	96	reximdvai 3231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ((abs‘((𝑥 − 𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑏))) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤)))
98	44, 97	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤))
99	98	ralrimivva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤))
100	71	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
101		elcncf 23494	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤))))
102	100, 35, 101	sylancl 589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤))))
103		nfcv 2955	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ+
104		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
105		nfv 1915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧
106		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥abs
107		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
108	26, 107	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
109		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
110	108, 109	nffv 6655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑎)
111		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥 −
112		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑣
113	108, 112	nffv 6655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑣)
114	110, 111, 113	nfov 7165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))
115	106, 114	nffv 6655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣)))
116		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 <
117		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
118	115, 116, 117	nfbr 5077	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤
119	105, 118	nfim 1897	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤)
120	104, 119	nfralw 3189	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤)
121	103, 120	nfrex 3268	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤)
122	103, 121	nfralw 3189	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤)
123		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤)
124		fvoveq1 7158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (abs‘(𝑎 − 𝑣)) = (abs‘(𝑥 − 𝑣)))
125	124	breq1d 5040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧))
126	125	imbrov2fvoveq 7160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤)))
127	126	rexralbidv 3260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤)))
128	127	ralbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤)))
129	122, 123, 128	cbvralw 3387	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤))
130	129	bicomi 227	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤))
131	130	anbi2i 625	. . 3 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤)) ↔ (𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑎 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑎) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤)))
132	102, 131	syl6bbr 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑥 − 𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − (𝐺‘𝑣))) < 𝑤))))
133	27, 99, 132	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   < clt 10664   − cmin 10859  ℝ⁺crp 12377  abscabs 14585  –cn→ccncf 23481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-cncf 23483

This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  42534  itgiccshift  42622  fourierdlem92  42840