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Theorem cncfshift 45162
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfshift.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
cncfshift.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
cncfshift.b 𝐡 = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
cncfshift.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
cncfshift.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
cncfshift (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑇,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cncfshift
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfshift.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24768 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
43adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
6 cncfshift.b . . . . . . . 8 𝐡 = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
75, 6eleqtrdi 2837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)})
8 rabid 3446 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
97, 8sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
109simprd 495 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇))
11 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
12113ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
13 cncfshift.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1413sselda 3977 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
15 cncfshift.t . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
1714, 16pncand 11576 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
1817adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
19183adant3 1129 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
2012, 19eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
21 simp2 1134 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
2220, 21eqeltrd 2827 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
2322rexlimdv3a 3153 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
2410, 23mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
254, 24ffvelcdmd 7081 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
26 cncfshift.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
2725, 26fmptd 7109 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΅βŸΆβ„‚)
28 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)))
2928breq1d 5151 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧))
3029imbrov2fvoveq 7430 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
3130rexralbidv 3214 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
3231ralbidv 3171 . . . . . . 7 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
331adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
3413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
35 ssid 3999 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
36 elcncf 24764 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))))
3734, 35, 36sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))))
3833, 37mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
3938simprd 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
4032, 39, 24rspcdva 3607 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
4140adantrr 714 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
42 simprr 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
43 rspa 3239 . . . . 5 ((βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
4441, 42, 43syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
45 simpl1l 1221 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
4645adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ πœ‘)
47 simp1rl 1235 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4847ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
49 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
5026fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
515, 25, 50syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
52513adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
53 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
553adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
56 eleq1w 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ 𝑣 ∈ 𝐡))
5756anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)))
58 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (𝑣 βˆ’ 𝑇))
5958eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
6057, 59imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)))
6160, 24chvarvv 1994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
6255, 61ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
6326, 53, 54, 62fvmptd3 7015 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
64633adant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
6552, 64oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇))))
6665fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) = (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
6746, 48, 49, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) = (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
68 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧)
699simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
716ssrab3 4075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 βŠ† β„‚
7271sseli 3973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ 𝐡 β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
7415ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
7570, 73, 74nnncan2d 11610 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑣))
7675fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)))
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)))
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧)
7977, 78eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧)
8046, 48, 49, 68, 79syl1111anc 837 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧)
81 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇)))
8281fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))))
8382breq1d 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧))
84 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
8584oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇))))
8685fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
8786breq1d 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀))
8883, 87imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀)))
89 simpll3 1211 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
9046, 49, 61syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
9188, 89, 90rspcdva 3607 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀))
9280, 91mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀)
9367, 92eqbrtrd 5163 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)
9493ex 412 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))
9594ralrimiva 3140 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))
96953exp 1116 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))))
9796reximdvai 3159 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)))
9844, 97mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))
9998ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))
10071a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
101 elcncf 24764 . . . 4 ((𝐡 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐺:π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))))
102100, 35, 101sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐺:π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))))
103 nfcv 2897 . . . . . . 7 β„²π‘₯ℝ+
104 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝐡
105 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧
106 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯abs
107 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
10826, 107nfcxfr 2895 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝐺
109 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯π‘Ž
110108, 109nffv 6895 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(πΊβ€˜π‘Ž)
111 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯ βˆ’
112 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝑣
113108, 112nffv 6895 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(πΊβ€˜π‘£)
114110, 111, 113nfov 7435 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))
115106, 114nffv 6895 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£)))
116 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ <
117 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯𝑀
118115, 116, 117nfbr 5188 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀
119105, 118nfim 1891 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)
120104, 119nfralw 3302 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)
121103, 120nfrexw 3304 . . . . . . 7 β„²π‘₯βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)
122103, 121nfralw 3302 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)
123 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘Žβˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)
124 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)))
125124breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧))
126125imbrov2fvoveq 7430 . . . . . . . 8 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)))
127126rexralbidv 3214 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)))
128127ralbidv 3171 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)))
129122, 123, 128cbvralw 3297 . . . . 5 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))
130129bicomi 223 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))
131130anbi2i 622 . . 3 ((𝐺:π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)) ↔ (𝐺:π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)))
132102, 131bitr4di 289 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐺:π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))))
13327, 99, 132mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   + caddc 11115   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„+crp 12980  abscabs 15187  β€“cnβ†’ccncf 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-cncf 24753
This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  45180  itgiccshift  45268  fourierdlem92  45486
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