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Theorem cncfshift 44205
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfshift.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
cncfshift.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
cncfshift.b 𝐡 = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
cncfshift.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
cncfshift.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
cncfshift (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑇,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cncfshift
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfshift.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24279 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
43adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
6 cncfshift.b . . . . . . . 8 𝐡 = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
75, 6eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)})
8 rabid 3426 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
97, 8sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)))
109simprd 497 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇))
11 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
12113ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
13 cncfshift.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1413sselda 3948 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
15 cncfshift.t . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
1714, 16pncand 11521 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
1817adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
19183adant3 1133 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ ((𝑦 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
2012, 19eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = 𝑦)
21 simp2 1138 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
2220, 21eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
2322rexlimdv3a 3153 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
2410, 23mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
254, 24ffvelcdmd 7040 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
26 cncfshift.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
2725, 26fmptd 7066 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΅βŸΆβ„‚)
28 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)))
2928breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧))
3029imbrov2fvoveq 7386 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
3130rexralbidv 3211 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
3231ralbidv 3171 . . . . . . 7 (π‘Ž = (π‘₯ βˆ’ 𝑇) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
331adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
3413adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
35 ssid 3970 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
36 elcncf 24275 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))))
3734, 35, 36sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))))
3833, 37mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)))
3938simprd 497 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
4032, 39, 24rspcdva 3584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
4140adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
42 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
43 rspa 3230 . . . . 5 ((βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
4441, 42, 43syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
45 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
4645adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ πœ‘)
47 simp1rl 1239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
49 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
5026fvmpt2 6963 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
515, 25, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
52513adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
53 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
54 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
553adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
56 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ 𝑣 ∈ 𝐡))
5756anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)))
58 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) = (𝑣 βˆ’ 𝑇))
5958eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
6057, 59imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)))
6160, 24chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
6255, 61ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
6326, 53, 54, 62fvmptd3 6975 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
64633adant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
6552, 64oveq12d 7379 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇))))
6665fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) = (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
6746, 48, 49, 66syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) = (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
68 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧)
699simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7069adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
716ssrab3 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 βŠ† β„‚
7271sseli 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ 𝐡 β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
7372adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
7415ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
7570, 73, 74nnncan2d 11555 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑣))
7675fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)))
7776adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)))
78 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧)
7977, 78eqbrtrd 5131 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧)
8046, 48, 49, 68, 79syl1111anc 839 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧)
81 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇)))
8281fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))))
8382breq1d 5119 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧))
84 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))
8584oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇))))
8685fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))))
8786breq1d 5119 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀))
8883, 87imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑣 βˆ’ 𝑇) β†’ (((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀)))
89 simpll3 1215 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀))
9046, 49, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
9188, 89, 90rspcdva 3584 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ (𝑣 βˆ’ 𝑇))) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀))
9280, 91mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑇)))) < 𝑀)
9367, 92eqbrtrd 5131 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)
9493ex 414 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))
9594ralrimiva 3140 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))
96953exp 1120 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))))
9796reximdvai 3159 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ((absβ€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑇) βˆ’ 𝑏)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)))
9844, 97mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))
9998ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))
10071a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
101 elcncf 24275 . . . 4 ((𝐡 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐺:π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))))
102100, 35, 101sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐺:π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))))
103 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯ℝ+
104 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝐡
105 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧
106 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯abs
107 nfmpt1 5217 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑇)))
10826, 107nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝐺
109 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯π‘Ž
110108, 109nffv 6856 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(πΊβ€˜π‘Ž)
111 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯ βˆ’
112 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝑣
113108, 112nffv 6856 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(πΊβ€˜π‘£)
114110, 111, 113nfov 7391 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))
115106, 114nffv 6856 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£)))
116 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ <
117 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯𝑀
118115, 116, 117nfbr 5156 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀
119105, 118nfim 1900 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)
120104, 119nfralw 3293 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)
121103, 120nfrexw 3295 . . . . . . 7 β„²π‘₯βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)
122103, 121nfralw 3293 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)
123 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘Žβˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)
124 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)))
125124breq1d 5119 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧))
126125imbrov2fvoveq 7386 . . . . . . . 8 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)))
127126rexralbidv 3211 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)))
128127ralbidv 3171 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)))
129122, 123, 128cbvralw 3288 . . . . 5 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))
130129bicomi 223 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))
131130anbi2i 624 . . 3 ((𝐺:π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)) ↔ (𝐺:π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘Ž) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀)))
132102, 131bitr4di 289 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐺:π΅βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑣)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘£))) < 𝑀))))
13327, 99, 132mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057   + caddc 11062   < clt 11197   βˆ’ cmin 11393  β„+crp 12923  abscabs 15128  β€“cnβ†’ccncf 24262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395  df-cncf 24264
This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  44223  itgiccshift  44311  fourierdlem92  44529
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