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Theorem cncfshift 42459
 Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfshift.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
cncfshift.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
cncfshift.b 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
cncfshift.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
cncfshift.g 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
cncfshift (𝜑𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cncfshift
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfshift.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
2 cncff 23496 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
43adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
6 cncfshift.b . . . . . . . 8 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
75, 6eleqtrdi 2924 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)})
8 rabid 3359 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
97, 8sylib 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
109simprd 499 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
11 oveq1 7147 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
12113ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
13 cncfshift.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1413sselda 3942 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
15 cncfshift.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1615adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
1714, 16pncand 10987 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
1817adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
19183adant3 1129 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
2012, 19eqtrd 2857 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥𝑇) = 𝑦)
21 simp2 1134 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → 𝑦𝐴)
2220, 21eqeltrd 2914 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥𝑇) ∈ 𝐴)
2322rexlimdv3a 3272 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥𝑇) ∈ 𝐴))
2410, 23mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝑇) ∈ 𝐴)
254, 24ffvelrnd 6834 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
26 cncfshift.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
2725, 26fmptd 6860 . 2 (𝜑𝐺:𝐵⟶ℂ)
28 fvoveq1 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (abs‘(𝑎𝑏)) = (abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)))
2928breq1d 5052 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑥𝑇) → ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧))
3029imbrov2fvoveq 7165 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)))
3130rexralbidv 3287 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)))
3231ralbidv 3187 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)))
331adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
3413adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
35 ssid 3964 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
36 elcncf 23492 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))))
3734, 35, 36sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))))
3833, 37mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)))
3938simprd 499 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
4032, 39, 24rspcdva 3600 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
4140adantrr 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
42 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
43 rspa 3196 . . . . 5 ((∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
4441, 42, 43syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
45 simpl1l 1221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) → 𝜑)
4645adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → 𝜑)
47 simp1rl 1235 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) → 𝑥𝐵)
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → 𝑥𝐵)
49 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → 𝑣𝐵)
5026fvmpt2 6761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
515, 25, 50syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
52513adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵) → (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
53 fvoveq1 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣 → (𝐹‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑣𝑇)))
54 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐵) → 𝑣𝐵)
553adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
56 eleq1w 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥𝐵𝑣𝐵))
5756anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑𝑥𝐵) ↔ (𝜑𝑣𝐵)))
58 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥𝑇) = (𝑣𝑇))
5958eleq1d 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣 → ((𝑥𝑇) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣𝑇) ∈ 𝐴))
6057, 59imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝑇) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑣𝐵) → (𝑣𝑇) ∈ 𝐴)))
6160, 24chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝐵) → (𝑣𝑇) ∈ 𝐴)
6255, 61ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐵) → (𝐹‘(𝑣𝑇)) ∈ ℂ)
6326, 53, 54, 62fvmptd3 6773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐵) → (𝐺𝑣) = (𝐹‘(𝑣𝑇)))
64633adant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵) → (𝐺𝑣) = (𝐹‘(𝑣𝑇)))
6552, 64oveq12d 7158 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵) → ((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣)) = ((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇))))
6665fveq2d 6656 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵) → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) = (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))))
6746, 48, 49, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) = (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))))
68 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧)
699simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
7069adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
716ssrab3 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 ⊆ ℂ
7271sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣𝐵𝑣 ∈ ℂ)
7372adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℂ)
7415ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
7570, 73, 74nnncan2d 11021 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → ((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇)) = (𝑥𝑣))
7675fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) = (abs‘(𝑥𝑣)))
7776adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) = (abs‘(𝑥𝑣)))
78 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧)
7977, 78eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧)
8046, 48, 49, 68, 79syl1111anc 838 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧)
81 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣𝑇) → ((𝑥𝑇) − 𝑏) = ((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇)))
8281fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣𝑇) → (abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) = (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))))
8382breq1d 5052 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑣𝑇) → ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧))
84 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑣𝑇) → (𝐹𝑏) = (𝐹‘(𝑣𝑇)))
8584oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣𝑇) → ((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇))))
8685fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣𝑇) → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))))
8786breq1d 5052 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑣𝑇) → ((abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤))
8883, 87imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑣𝑇) → (((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤)))
89 simpll3 1211 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
9046, 49, 61syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (𝑣𝑇) ∈ 𝐴)
9188, 89, 90rspcdva 3600 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → ((abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤))
9280, 91mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤)
9367, 92eqbrtrd 5064 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)
9493ex 416 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) → ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
9594ralrimiva 3174 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) → ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
96953exp 1116 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) → ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))))
9796reximdvai 3258 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)))
9844, 97mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
9998ralrimivva 3181 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
10071a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
101 elcncf 23492 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))))
102100, 35, 101sylancl 589 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))))
103 nfcv 2979 . . . . . . 7 𝑥+
104 nfcv 2979 . . . . . . . . 9 𝑥𝐵
105 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑥(abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧
106 nfcv 2979 . . . . . . . . . . . 12 𝑥abs
107 nfmpt1 5140 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑥𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
10826, 107nfcxfr 2977 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐺
109 nfcv 2979 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑎
110108, 109nffv 6662 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝐺𝑎)
111 nfcv 2979 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥
112 nfcv 2979 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑣
113108, 112nffv 6662 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝐺𝑣)
114110, 111, 113nfov 7170 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))
115106, 114nffv 6662 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣)))
116 nfcv 2979 . . . . . . . . . . 11 𝑥 <
117 nfcv 2979 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑤
118115, 116, 117nfbr 5089 . . . . . . . . . 10 𝑥(abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤
119105, 118nfim 1897 . . . . . . . . 9 𝑥((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)
120104, 119nfralw 3214 . . . . . . . 8 𝑥𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)
121103, 120nfrex 3295 . . . . . . 7 𝑥𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)
122103, 121nfralw 3214 . . . . . 6 𝑥𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)
123 nfv 1915 . . . . . 6 𝑎𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)
124 fvoveq1 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (abs‘(𝑎𝑣)) = (abs‘(𝑥𝑣)))
125124breq1d 5052 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧))
126125imbrov2fvoveq 7165 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)))
127126rexralbidv 3287 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)))
128127ralbidv 3187 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)))
129122, 123, 128cbvralw 3415 . . . . 5 (∀𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤) ↔ ∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
130129bicomi 227 . . . 4 (∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤) ↔ ∀𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
131130anbi2i 625 . . 3 ((𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)) ↔ (𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)))
132102, 131syl6bbr 292 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))))
13327, 99, 132mpbir2and 712 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  ∃wrex 3131  {crab 3134   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524   + caddc 10529   < clt 10664   − cmin 10859  ℝ+crp 12377  abscabs 14584  –cn→ccncf 23479 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-cncf 23481 This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  42477  itgiccshift  42565  fourierdlem92  42783
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