Theorem cnnv 30706

Description: The set of complex numbers is a normed complex vector space. The vector operation is +, the scalar product is ·, and the norm function is abs. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnv.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnv	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Proof of Theorem cnnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabloOLD 30610	. . . 4 ⊢ + ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30576	. . . 4 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + ∈ GrpOp
4		ax-addf 11232	. . . 4 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5	4	fdmi 6748	. . 3 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
6	3, 5	grporn 30550	. 2 ⊢ ℂ = ran +
7		cnidOLD 30611	. 2 ⊢ 0 = (GId‘ + )
8		cncvcOLD 30612	. 2 ⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD
9		absf 15373	. 2 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10		abs00 15325	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
11	10	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
12		absmul 15330	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑦 · 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (abs‘𝑥)))
13		abstri 15366	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
14		cnnv.6	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
15	6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14	isnvi 30642	1 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4637   × cxp 5687  ‘cfv 6563  ℂcc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  abscabs 15270  GrpOpcgr 30518  AbelOpcablo 30573  NrmCVeccnv 30613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621

This theorem is referenced by:  cnnvm  30711  elimnvu  30713  cnims  30722  cncph  30848  ipblnfi  30884  cnbn  30898  htthlem  30946