Theorem cnnv 30938

Description: The set of complex numbers is a normed complex vector space. The vector operation is +, the scalar product is ·, and the norm function is abs. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnv.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnv	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Proof of Theorem cnnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabloOLD 30842	. . . 4 ⊢ + ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30808	. . . 4 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + ∈ GrpOp
4		ax-addf 11167	. . . 4 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5	4	fdmi 6707	. . 3 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
6	3, 5	grporn 30782	. 2 ⊢ ℂ = ran +
7		cnidOLD 30843	. 2 ⊢ 0 = (GId‘ + )
8		cncvcOLD 30844	. 2 ⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD
9		absf 15379	. 2 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10		abs00 15330	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
11	10	biimpa 481	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
12		absmul 15335	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑦 · 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (abs‘𝑥)))
13		abstri 15372	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
14		cnnv.6	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
15	6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14	isnvi 30874	1 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4591   × cxp 5650  ‘cfv 6525  ℂcc 11086  0cc0 11088   + caddc 11091   · cmul 11093  abscabs 15275  GrpOpcgr 30750  AbelOpcablo 30805  NrmCVeccnv 30845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-grpo 30754  df-gid 30755  df-ablo 30806  df-vc 30820  df-nv 30853

This theorem is referenced by:  cnnvm  30943  elimnvu  30945  cnims  30954  cncph  31080  ipblnfi  31116  cnbn  31130  htthlem  31178