Theorem cnnv 30655

Description: The set of complex numbers is a normed complex vector space. The vector operation is +, the scalar product is ·, and the norm function is abs. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnv.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnv	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Proof of Theorem cnnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabloOLD 30559	. . . 4 ⊢ + ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30525	. . . 4 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + ∈ GrpOp
4		ax-addf 11085	. . . 4 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5	4	fdmi 6662	. . 3 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
6	3, 5	grporn 30499	. 2 ⊢ ℂ = ran +
7		cnidOLD 30560	. 2 ⊢ 0 = (GId‘ + )
8		cncvcOLD 30561	. 2 ⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD
9		absf 15245	. 2 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10		abs00 15196	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
11	10	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
12		absmul 15201	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑦 · 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (abs‘𝑥)))
13		abstri 15238	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
14		cnnv.6	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
15	6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14	isnvi 30591	1 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4582   × cxp 5614  ‘cfv 6481  ℂcc 11004  0cc0 11006   + caddc 11009   · cmul 11011  abscabs 15141  GrpOpcgr 30467  AbelOpcablo 30522  NrmCVeccnv 30562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-grpo 30471  df-gid 30472  df-ablo 30523  df-vc 30537  df-nv 30570

This theorem is referenced by:  cnnvm  30660  elimnvu  30662  cnims  30671  cncph  30797  ipblnfi  30833  cnbn  30847  htthlem  30895