MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reim0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reim0b 15011
Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
reim0b (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) = 0))

Proof of Theorem reim0b
StepHypRef Expression
1 reim0 15010 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = 0)
2 replim 15008 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
32adantr 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
4 oveq2 7370 . . . . . . . 8 ((โ„‘โ€˜๐ด) = 0 โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท 0))
5 it0e0 12382 . . . . . . . 8 (i ยท 0) = 0
64, 5eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜๐ด) = 0 โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = 0)
76oveq2d 7378 . . . . . 6 ((โ„‘โ€˜๐ด) = 0 โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + 0))
8 recl 15002 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98recnd 11190 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
109addid1d 11362 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + 0) = (โ„œโ€˜๐ด))
117, 10sylan9eqr 2799 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜๐ด))
123, 11eqtrd 2777 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ๐ด = (โ„œโ€˜๐ด))
138adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) = 0) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1412, 13eqeltrd 2838 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1514ex 414 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) = 0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„))
161, 15impbid2 225 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993
This theorem is referenced by:  cjreb  15015  reim0bi  15064  reim0bd  15092  cnpart  15132  rlimrecl  15469  absefib  16087  efieq1re  16088  cnsubrg  20873  recld2  24193  aaliou2b  25717  logcj  25977  argimgt0  25983  logcnlem2  26014  logcnlem3  26015  logf1o2  26021  sqrtcvallem1  41977  dstregt0  43589  absimnre  43786  readdcnnred  45609  resubcnnred  45610  cndivrenred  45612
  Copyright terms: Public domain W3C validator