MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reim0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reim0b 14197
Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
reim0b (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))

Proof of Theorem reim0b
StepHypRef Expression
1 reim0 14196 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
2 replim 14194 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
32adantr 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
4 oveq2 6884 . . . . . . . 8 ((ℑ‘𝐴) = 0 → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · 0))
5 it0e0 11538 . . . . . . . 8 (i · 0) = 0
64, 5syl6eq 2847 . . . . . . 7 ((ℑ‘𝐴) = 0 → (i · (ℑ‘𝐴)) = 0)
76oveq2d 6892 . . . . . 6 ((ℑ‘𝐴) = 0 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + 0))
8 recl 14188 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
98recnd 10355 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
109addid1d 10524 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
117, 10sylan9eqr 2853 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
123, 11eqtrd 2831 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (ℜ‘𝐴))
138adantr 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1412, 13eqeltrd 2876 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1514ex 402 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
161, 15impbid2 218 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6099  (class class class)co 6876  cc 10220  cr 10221  0cc0 10222  ici 10224   + caddc 10225   · cmul 10227  cre 14175  cim 14176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-2 11372  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179
This theorem is referenced by:  cjreb  14201  reim0bi  14250  reim0bd  14278  cnpart  14318  rlimrecl  14649  absefib  15261  efieq1re  15262  cnsubrg  20125  recld2  22942  aaliou2b  24434  logcj  24690  argimgt0  24696  logcnlem2  24727  logcnlem3  24728  logf1o2  24734  dstregt0  40227  absimnre  40438
  Copyright terms: Public domain W3C validator