Theorem reim0b 15166

Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reim0b	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))

Proof of Theorem reim0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reim0 15165	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
2		replim 15163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
3	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
4		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · 0))
5		it0e0 12463	. . . . . . . 8 ⊢ (i · 0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → (i · (ℑ‘𝐴)) = 0)
7	6	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + 0))
8		recl 15157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11233	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
10	9	addridd 11406	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
11	7, 10	sylan9eqr 2826	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
12	3, 11	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (ℜ‘𝐴))
13	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
14	12, 13	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	ex 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
16	1, 15	impbid2 229	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  ici 11098   + caddc 11099   · cmul 11101  ℜcre 15144  ℑcim 15145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148

This theorem is referenced by:  cjreb  15170  reim0bi  15219  reim0bd  15247  cnpart  15287  rlimrecl  15627  absefib  16250  efieq1re  16251  cnsubrg  21542  recld2  24937  aaliou2b  26467  logcj  26733  argimgt0  26739  logcnlem2  26770  logcnlem3  26771  logf1o2  26777  constrrtll  34062  sqrtcvallem1  44244  dstregt0  45888  absimnre  46077  readdcnnred  47924  resubcnnred  47925  cndivrenred  47927