Theorem reim0b 15092

Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reim0b	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))

Proof of Theorem reim0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reim0 15091	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
2		replim 15089	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
4		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · 0))
5		it0e0 12412	. . . . . . . 8 ⊢ (i · 0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → (i · (ℑ‘𝐴)) = 0)
7	6	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + 0))
8		recl 15083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
10	9	addridd 11381	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
11	7, 10	sylan9eqr 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
12	3, 11	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (ℜ‘𝐴))
13	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
14	12, 13	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
16	1, 15	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080  ℜcre 15070  ℑcim 15071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074

This theorem is referenced by:  cjreb  15096  reim0bi  15145  reim0bd  15173  cnpart  15213  rlimrecl  15553  absefib  16173  efieq1re  16174  cnsubrg  21351  recld2  24710  aaliou2b  26256  logcj  26522  argimgt0  26528  logcnlem2  26559  logcnlem3  26560  logf1o2  26566  constrrtll  33728  sqrtcvallem1  43627  dstregt0  45287  absimnre  45479  readdcnnred  47308  resubcnnred  47309  cndivrenred  47311