![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > reim0b | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
reim0b | โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = 0)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | reim0 15010 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = 0) | |
2 | replim 15008 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) | |
3 | 2 | adantr 482 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (โโ๐ด) = 0) โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
4 | oveq2 7370 | . . . . . . . 8 โข ((โโ๐ด) = 0 โ (i ยท (โโ๐ด)) = (i ยท 0)) | |
5 | it0e0 12382 | . . . . . . . 8 โข (i ยท 0) = 0 | |
6 | 4, 5 | eqtrdi 2793 | . . . . . . 7 โข ((โโ๐ด) = 0 โ (i ยท (โโ๐ด)) = 0) |
7 | 6 | oveq2d 7378 | . . . . . 6 โข ((โโ๐ด) = 0 โ ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))) = ((โโ๐ด) + 0)) |
8 | recl 15002 | . . . . . . . 8 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) | |
9 | 8 | recnd 11190 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) |
10 | 9 | addid1d 11362 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ((โโ๐ด) + 0) = (โโ๐ด)) |
11 | 7, 10 | sylan9eqr 2799 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (โโ๐ด) = 0) โ ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))) = (โโ๐ด)) |
12 | 3, 11 | eqtrd 2777 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง (โโ๐ด) = 0) โ ๐ด = (โโ๐ด)) |
13 | 8 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง (โโ๐ด) = 0) โ (โโ๐ด) โ โ) |
14 | 12, 13 | eqeltrd 2838 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (โโ๐ด) = 0) โ ๐ด โ โ) |
15 | 14 | ex 414 | . 2 โข (๐ด โ โ โ ((โโ๐ด) = 0 โ ๐ด โ โ)) |
16 | 1, 15 | impbid2 225 | 1 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = 0)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โcfv 6501 (class class class)co 7362 โcc 11056 โcr 11057 0cc0 11058 ici 11060 + caddc 11061 ยท cmul 11063 โcre 14989 โcim 14990 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-po 5550 df-so 5551 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-div 11820 df-2 12223 df-cj 14991 df-re 14992 df-im 14993 |
This theorem is referenced by: cjreb 15015 reim0bi 15064 reim0bd 15092 cnpart 15132 rlimrecl 15469 absefib 16087 efieq1re 16088 cnsubrg 20873 recld2 24193 aaliou2b 25717 logcj 25977 argimgt0 25983 logcnlem2 26014 logcnlem3 26015 logf1o2 26021 sqrtcvallem1 41977 dstregt0 43589 absimnre 43786 readdcnnred 45609 resubcnnred 45610 cndivrenred 45612 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |