Theorem reim0b 15033

Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reim0b	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))

Proof of Theorem reim0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reim0 15032	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
2		replim 15030	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
4		oveq2 7363	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · 0))
5		it0e0 12355	. . . . . . . 8 ⊢ (i · 0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → (i · (ℑ‘𝐴)) = 0)
7	6	oveq2d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + 0))
8		recl 15024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
10	9	addridd 11324	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
11	7, 10	sylan9eqr 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
12	3, 11	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (ℜ‘𝐴))
13	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
14	12, 13	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
16	1, 15	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  ici 11019   + caddc 11020   · cmul 11022  ℜcre 15011  ℑcim 15012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015

This theorem is referenced by:  cjreb  15037  reim0bi  15086  reim0bd  15114  cnpart  15154  rlimrecl  15494  absefib  16114  efieq1re  16115  cnsubrg  21373  recld2  24750  aaliou2b  26296  logcj  26562  argimgt0  26568  logcnlem2  26599  logcnlem3  26600  logf1o2  26606  constrrtll  33816  sqrtcvallem1  43788  dstregt0  45446  absimnre  45636  readdcnnred  47465  resubcnnred  47466  cndivrenred  47468