MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imcld 14547
Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
imcld (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 imcl 14463 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6351  cc 10527  cr 10528  cim 14450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453
This theorem is referenced by:  rlimrecl  14930  resincl  15485  sin01bnd  15530  recld2  23337  mbfeqa  24159  mbfss  24162  mbfmulc2re  24164  mbfadd  24177  mbfmulc2  24179  mbflim  24184  mbfmul  24242  iblcn  24314  itgcnval  24315  itgre  24316  itgim  24317  iblneg  24318  itgneg  24319  ibladd  24336  itgadd  24340  iblabs  24344  itgmulc2  24349  aaliou2b  24845  efif1olem3  25041  eff1olem  25045  logimclad  25069  abslogimle  25070  logrnaddcl  25071  lognegb  25086  logcj  25102  efiarg  25103  cosargd  25104  argregt0  25106  argrege0  25107  argimgt0  25108  argimlt0  25109  logimul  25110  abslogle  25114  tanarg  25115  logcnlem2  25139  logcnlem3  25140  logcnlem4  25141  logcnlem5  25142  logcn  25143  dvloglem  25144  logf1o2  25146  efopnlem1  25152  efopnlem2  25153  cxpsqrtlem  25198  abscxpbnd  25247  ang180lem2  25301  lawcos  25307  isosctrlem1  25309  isosctrlem2  25310  asinneg  25377  asinsinlem  25382  atanlogaddlem  25404  atanlogsublem  25406  atanlogsub  25407  basellem3  25574  sqsscirc2  31038  ibladdnc  34816  itgaddnc  34819  iblabsnc  34823  iblmulc2nc  34824  itgmulc2nc  34827  bddiblnc  34829  ftc1anclem2  34835  ftc1anclem6  34839  ftc1anclem8  34841  cntotbnd  34942  isosctrlem1ALT  41129  dstregt0  41408  absimnre  41614  absimlere  41617  cnrefiisplem  41971  sigarim  42970  readdcnnred  43365  resubcnnred  43366  cndivrenred  43368
  Copyright terms: Public domain W3C validator