Theorem imcld 15253

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15169	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  ℂcc 11104  ℝcr 11105  ℑcim 15156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159

This theorem is used by:  rlimrecl  15638  resincl  16202  sin01bnd  16247  recld2  24983  mbfeqa  25813  mbfss  25816  mbfmulc2re  25818  mbfadd  25831  mbfmulc2  25833  mbflim  25838  mbfmul  25896  iblcn  25969  itgcnval  25970  itgre  25971  itgim  25972  iblneg  25973  itgneg  25974  ibladd  25991  itgadd  25995  iblabs  25999  itgmulc2  26004  bddiblnc  26012  aaliou2b  26515  efif1olem3  26720  eff1olem  26724  logimclad  26748  abslogimle  26749  logrnaddcl  26750  lognegb  26766  logcj  26782  efiarg  26783  cosargd  26784  argregt0  26786  argrege0  26787  argimgt0  26788  argimlt0  26789  logimul  26790  abslogle  26794  tanarg  26795  logcnlem2  26819  logcnlem3  26820  logcnlem4  26821  logcnlem5  26822  logcn  26823  dvloglem  26824  logf1o2  26826  efopnlem1  26832  efopnlem2  26833  cxpsqrtlem  26878  abscxpbnd  26929  ang180lem2  26986  lawcos  26992  isosctrlem1  26994  isosctrlem2  26995  asinneg  27062  asinsinlem  27067  atanlogaddlem  27089  atanlogsublem  27091  atanlogsub  27092  basellem3  27258  re0cj  33099  constrconj  34144  constrimcl  34169  constrmulcl  34170  sqsscirc2  34308  ibladdnc  38356  itgaddnc  38359  iblabsnc  38363  iblmulc2nc  38364  itgmulc2nc  38367  ftc1anclem2  38373  ftc1anclem6  38377  ftc1anclem8  38379  cntotbnd  38475  isosctrlem1ALT  45670  dstregt0  46029  absimnre  46218  absimlere  46221  cnrefiisplem  46571  sigarim  47593  readdcnnred  48068  resubcnnred  48069  cndivrenred  48071