Theorem imcld 15391

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15307	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  ℂcc 11225  ℝcr 11226  ℑcim 15294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297

This theorem is used by:  rlimrecl  15776  resincl  16337  sin01bnd  16382  recld2  25164  mbfeqa  25994  mbfss  25997  mbfmulc2re  25999  mbfadd  26012  mbfmulc2  26014  mbflim  26019  mbfmul  26077  iblcn  26149  itgcnval  26150  itgre  26151  itgim  26152  iblneg  26153  itgneg  26154  ibladd  26171  itgadd  26175  iblabs  26179  itgmulc2  26184  bddiblnc  26192  aaliou2b  26698  efif1olem3  26902  eff1olem  26906  logimclad  26930  abslogimle  26931  logrnaddcl  26932  lognegb  26948  logcj  26964  efiarg  26965  cosargd  26966  argregt0  26968  argrege0  26969  argimgt0  26970  argimlt0  26971  logimul  26972  abslogle  26976  tanarg  26977  logcnlem2  27001  logcnlem3  27002  logcnlem4  27003  logcnlem5  27004  logcn  27005  dvloglem  27006  logf1o2  27008  efopnlem1  27014  efopnlem2  27015  cxpsqrtlem  27060  abscxpbnd  27111  ang180lem2  27168  lawcos  27174  isosctrlem1  27176  isosctrlem2  27177  asinneg  27244  asinsinlem  27249  atanlogaddlem  27271  atanlogsublem  27273  atanlogsub  27274  basellem3  27440  re0cj  33405  constrconj  34447  constrimcl  34472  constrmulcl  34473  sqsscirc2  34611  ibladdnc  38787  itgaddnc  38790  iblabsnc  38794  iblmulc2nc  38795  itgmulc2nc  38798  ftc1anclem2  38804  ftc1anclem6  38808  ftc1anclem8  38810  cntotbnd  38922  isosctrlem1ALT  46107  dstregt0  46503  absimnre  46691  absimlere  46694  cnrefiisplem  47044  sigarim  48066  readdcnnred  48578  resubcnnred  48579  cndivrenred  48581