Theorem imcld 15138

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15054	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  ℂcc 11104  ℝcr 11105  ℑcim 15041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15520  resincl  16079  sin01bnd  16124  recld2  24321  mbfeqa  25151  mbfss  25154  mbfmulc2re  25156  mbfadd  25169  mbfmulc2  25171  mbflim  25176  mbfmul  25235  iblcn  25307  itgcnval  25308  itgre  25309  itgim  25310  iblneg  25311  itgneg  25312  ibladd  25329  itgadd  25333  iblabs  25337  itgmulc2  25342  bddiblnc  25350  aaliou2b  25845  efif1olem3  26044  eff1olem  26048  logimclad  26072  abslogimle  26073  logrnaddcl  26074  lognegb  26089  logcj  26105  efiarg  26106  cosargd  26107  argregt0  26109  argrege0  26110  argimgt0  26111  argimlt0  26112  logimul  26113  abslogle  26117  tanarg  26118  logcnlem2  26142  logcnlem3  26143  logcnlem4  26144  logcnlem5  26145  logcn  26146  dvloglem  26147  logf1o2  26149  efopnlem1  26155  efopnlem2  26156  cxpsqrtlem  26201  abscxpbnd  26250  ang180lem2  26304  lawcos  26310  isosctrlem1  26312  isosctrlem2  26313  asinneg  26380  asinsinlem  26385  atanlogaddlem  26407  atanlogsublem  26409  atanlogsub  26410  basellem3  26576  sqsscirc2  32877  ibladdnc  36533  itgaddnc  36536  iblabsnc  36540  iblmulc2nc  36541  itgmulc2nc  36544  ftc1anclem2  36550  ftc1anclem6  36554  ftc1anclem8  36556  cntotbnd  36652  isosctrlem1ALT  43680  dstregt0  43977  absimnre  44173  absimlere  44176  cnrefiisplem  44531  sigarim  45553  readdcnnred  45997  resubcnnred  45998  cndivrenred  46000