Theorem imcld 14915

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 14831	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6437  ℂcc 10878  ℝcr 10879  ℑcim 14818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-2 12045  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15298  resincl  15858  sin01bnd  15903  recld2  23986  mbfeqa  24816  mbfss  24819  mbfmulc2re  24821  mbfadd  24834  mbfmulc2  24836  mbflim  24841  mbfmul  24900  iblcn  24972  itgcnval  24973  itgre  24974  itgim  24975  iblneg  24976  itgneg  24977  ibladd  24994  itgadd  24998  iblabs  25002  itgmulc2  25007  bddiblnc  25015  aaliou2b  25510  efif1olem3  25709  eff1olem  25713  logimclad  25737  abslogimle  25738  logrnaddcl  25739  lognegb  25754  logcj  25770  efiarg  25771  cosargd  25772  argregt0  25774  argrege0  25775  argimgt0  25776  argimlt0  25777  logimul  25778  abslogle  25782  tanarg  25783  logcnlem2  25807  logcnlem3  25808  logcnlem4  25809  logcnlem5  25810  logcn  25811  dvloglem  25812  logf1o2  25814  efopnlem1  25820  efopnlem2  25821  cxpsqrtlem  25866  abscxpbnd  25915  ang180lem2  25969  lawcos  25975  isosctrlem1  25977  isosctrlem2  25978  asinneg  26045  asinsinlem  26050  atanlogaddlem  26072  atanlogsublem  26074  atanlogsub  26075  basellem3  26241  sqsscirc2  31868  ibladdnc  35843  itgaddnc  35846  iblabsnc  35850  iblmulc2nc  35851  itgmulc2nc  35854  ftc1anclem2  35860  ftc1anclem6  35864  ftc1anclem8  35866  cntotbnd  35963  isosctrlem1ALT  42561  dstregt0  42827  absimnre  43024  absimlere  43027  cnrefiisplem  43377  sigarim  44378  readdcnnred  44806  resubcnnred  44807  cndivrenred  44809