Theorem imcld 15284

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15200	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  ℂcc 11125  ℝcr 11126  ℑcim 15187

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190

This theorem is used by:  rlimrecl  15669  resincl  16232  sin01bnd  16277  recld2  25042  mbfeqa  25872  mbfss  25875  mbfmulc2re  25877  mbfadd  25890  mbfmulc2  25892  mbflim  25897  mbfmul  25955  iblcn  26028  itgcnval  26029  itgre  26030  itgim  26031  iblneg  26032  itgneg  26033  ibladd  26050  itgadd  26054  iblabs  26058  itgmulc2  26063  bddiblnc  26071  aaliou2b  26574  efif1olem3  26779  eff1olem  26783  logimclad  26807  abslogimle  26808  logrnaddcl  26809  lognegb  26825  logcj  26841  efiarg  26842  cosargd  26843  argregt0  26845  argrege0  26846  argimgt0  26847  argimlt0  26848  logimul  26849  abslogle  26853  tanarg  26854  logcnlem2  26878  logcnlem3  26879  logcnlem4  26880  logcnlem5  26881  logcn  26882  dvloglem  26883  logf1o2  26885  efopnlem1  26891  efopnlem2  26892  cxpsqrtlem  26937  abscxpbnd  26988  ang180lem2  27045  lawcos  27051  isosctrlem1  27053  isosctrlem2  27054  asinneg  27121  asinsinlem  27126  atanlogaddlem  27148  atanlogsublem  27150  atanlogsub  27151  basellem3  27317  re0cj  33201  constrconj  34242  constrimcl  34267  constrmulcl  34268  sqsscirc2  34406  ibladdnc  38413  itgaddnc  38416  iblabsnc  38420  iblmulc2nc  38421  itgmulc2nc  38424  ftc1anclem2  38430  ftc1anclem6  38434  ftc1anclem8  38436  cntotbnd  38533  isosctrlem1ALT  45743  dstregt0  46102  absimnre  46291  absimlere  46294  cnrefiisplem  46644  sigarim  47666  readdcnnred  48178  resubcnnred  48179  cndivrenred  48181