Theorem imcld 15123

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15039	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  ℂcc 11029  ℝcr 11030  ℑcim 15026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15508  resincl  16070  sin01bnd  16115  recld2  24764  mbfeqa  25605  mbfss  25608  mbfmulc2re  25610  mbfadd  25623  mbfmulc2  25625  mbflim  25630  mbfmul  25688  iblcn  25761  itgcnval  25762  itgre  25763  itgim  25764  iblneg  25765  itgneg  25766  ibladd  25783  itgadd  25787  iblabs  25791  itgmulc2  25796  bddiblnc  25804  aaliou2b  26310  efif1olem3  26514  eff1olem  26518  logimclad  26542  abslogimle  26543  logrnaddcl  26544  lognegb  26560  logcj  26576  efiarg  26577  cosargd  26578  argregt0  26580  argrege0  26581  argimgt0  26582  argimlt0  26583  logimul  26584  abslogle  26588  tanarg  26589  logcnlem2  26613  logcnlem3  26614  logcnlem4  26615  logcnlem5  26616  logcn  26617  dvloglem  26618  logf1o2  26620  efopnlem1  26626  efopnlem2  26627  cxpsqrtlem  26672  abscxpbnd  26724  ang180lem2  26781  lawcos  26787  isosctrlem1  26789  isosctrlem2  26790  asinneg  26857  asinsinlem  26862  atanlogaddlem  26884  atanlogsublem  26886  atanlogsub  26887  basellem3  27054  re0cj  32826  constrconj  33915  constrimcl  33940  constrmulcl  33941  sqsscirc2  34079  ibladdnc  37891  itgaddnc  37894  iblabsnc  37898  iblmulc2nc  37899  itgmulc2nc  37902  ftc1anclem2  37908  ftc1anclem6  37912  ftc1anclem8  37914  cntotbnd  38010  isosctrlem1ALT  45252  dstregt0  45607  absimnre  45797  absimlere  45800  cnrefiisplem  46150  sigarim  47172  readdcnnred  47626  resubcnnred  47627  cndivrenred  47629