Theorem imcld 15230

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  ℂcc 11150  ℝcr 11151  ℑcim 15133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15612  resincl  16172  sin01bnd  16217  recld2  24849  mbfeqa  25691  mbfss  25694  mbfmulc2re  25696  mbfadd  25709  mbfmulc2  25711  mbflim  25716  mbfmul  25775  iblcn  25848  itgcnval  25849  itgre  25850  itgim  25851  iblneg  25852  itgneg  25853  ibladd  25870  itgadd  25874  iblabs  25878  itgmulc2  25883  bddiblnc  25891  aaliou2b  26397  efif1olem3  26600  eff1olem  26604  logimclad  26628  abslogimle  26629  logrnaddcl  26630  lognegb  26646  logcj  26662  efiarg  26663  cosargd  26664  argregt0  26666  argrege0  26667  argimgt0  26668  argimlt0  26669  logimul  26670  abslogle  26674  tanarg  26675  logcnlem2  26699  logcnlem3  26700  logcnlem4  26701  logcnlem5  26702  logcn  26703  dvloglem  26704  logf1o2  26706  efopnlem1  26712  efopnlem2  26713  cxpsqrtlem  26758  abscxpbnd  26810  ang180lem2  26867  lawcos  26873  isosctrlem1  26875  isosctrlem2  26876  asinneg  26943  asinsinlem  26948  atanlogaddlem  26970  atanlogsublem  26972  atanlogsub  26973  basellem3  27140  re0cj  32759  constrconj  33749  sqsscirc2  33869  ibladdnc  37663  itgaddnc  37666  iblabsnc  37670  iblmulc2nc  37671  itgmulc2nc  37674  ftc1anclem2  37680  ftc1anclem6  37684  ftc1anclem8  37686  cntotbnd  37782  isosctrlem1ALT  44931  dstregt0  45231  absimnre  45426  absimlere  45429  cnrefiisplem  45784  sigarim  46806  readdcnnred  47252  resubcnnred  47253  cndivrenred  47255