Theorem imcld 15362

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  ℂcc 11198  ℝcr 11199  ℑcim 15265

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268

This theorem is used by:  rlimrecl  15747  resincl  16308  sin01bnd  16353  recld2  25134  mbfeqa  25964  mbfss  25967  mbfmulc2re  25969  mbfadd  25982  mbfmulc2  25984  mbflim  25989  mbfmul  26047  iblcn  26119  itgcnval  26120  itgre  26121  itgim  26122  iblneg  26123  itgneg  26124  ibladd  26141  itgadd  26145  iblabs  26149  itgmulc2  26154  bddiblnc  26162  aaliou2b  26668  efif1olem3  26872  eff1olem  26876  logimclad  26900  abslogimle  26901  logrnaddcl  26902  lognegb  26918  logcj  26934  efiarg  26935  cosargd  26936  argregt0  26938  argrege0  26939  argimgt0  26940  argimlt0  26941  logimul  26942  abslogle  26946  tanarg  26947  logcnlem2  26971  logcnlem3  26972  logcnlem4  26973  logcnlem5  26974  logcn  26975  dvloglem  26976  logf1o2  26978  efopnlem1  26984  efopnlem2  26985  cxpsqrtlem  27030  abscxpbnd  27081  ang180lem2  27138  lawcos  27144  isosctrlem1  27146  isosctrlem2  27147  asinneg  27214  asinsinlem  27219  atanlogaddlem  27241  atanlogsublem  27243  atanlogsub  27244  basellem3  27410  re0cj  33377  constrconj  34419  constrimcl  34444  constrmulcl  34445  sqsscirc2  34583  ibladdnc  38638  itgaddnc  38641  iblabsnc  38645  iblmulc2nc  38646  itgmulc2nc  38649  ftc1anclem2  38655  ftc1anclem6  38659  ftc1anclem8  38661  cntotbnd  38773  isosctrlem1ALT  45959  dstregt0  46341  absimnre  46529  absimlere  46532  cnrefiisplem  46882  sigarim  47904  readdcnnred  48416  resubcnnred  48417  cndivrenred  48419