Theorem imcld 15234

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15150	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  ℂcc 11153  ℝcr 11154  ℑcim 15137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15616  resincl  16176  sin01bnd  16221  recld2  24836  mbfeqa  25678  mbfss  25681  mbfmulc2re  25683  mbfadd  25696  mbfmulc2  25698  mbflim  25703  mbfmul  25761  iblcn  25834  itgcnval  25835  itgre  25836  itgim  25837  iblneg  25838  itgneg  25839  ibladd  25856  itgadd  25860  iblabs  25864  itgmulc2  25869  bddiblnc  25877  aaliou2b  26383  efif1olem3  26586  eff1olem  26590  logimclad  26614  abslogimle  26615  logrnaddcl  26616  lognegb  26632  logcj  26648  efiarg  26649  cosargd  26650  argregt0  26652  argrege0  26653  argimgt0  26654  argimlt0  26655  logimul  26656  abslogle  26660  tanarg  26661  logcnlem2  26685  logcnlem3  26686  logcnlem4  26687  logcnlem5  26688  logcn  26689  dvloglem  26690  logf1o2  26692  efopnlem1  26698  efopnlem2  26699  cxpsqrtlem  26744  abscxpbnd  26796  ang180lem2  26853  lawcos  26859  isosctrlem1  26861  isosctrlem2  26862  asinneg  26929  asinsinlem  26934  atanlogaddlem  26956  atanlogsublem  26958  atanlogsub  26959  basellem3  27126  re0cj  32753  constrconj  33786  sqsscirc2  33908  ibladdnc  37684  itgaddnc  37687  iblabsnc  37691  iblmulc2nc  37692  itgmulc2nc  37695  ftc1anclem2  37701  ftc1anclem6  37705  ftc1anclem8  37707  cntotbnd  37803  isosctrlem1ALT  44954  dstregt0  45293  absimnre  45487  absimlere  45490  cnrefiisplem  45844  sigarim  46866  readdcnnred  47315  resubcnnred  47316  cndivrenred  47318