Theorem imcld 15102

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15018	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  ℂcc 11007  ℝcr 11008  ℑcim 15005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15487  resincl  16049  sin01bnd  16094  recld2  24701  mbfeqa  25542  mbfss  25545  mbfmulc2re  25547  mbfadd  25560  mbfmulc2  25562  mbflim  25567  mbfmul  25625  iblcn  25698  itgcnval  25699  itgre  25700  itgim  25701  iblneg  25702  itgneg  25703  ibladd  25720  itgadd  25724  iblabs  25728  itgmulc2  25733  bddiblnc  25741  aaliou2b  26247  efif1olem3  26451  eff1olem  26455  logimclad  26479  abslogimle  26480  logrnaddcl  26481  lognegb  26497  logcj  26513  efiarg  26514  cosargd  26515  argregt0  26517  argrege0  26518  argimgt0  26519  argimlt0  26520  logimul  26521  abslogle  26525  tanarg  26526  logcnlem2  26550  logcnlem3  26551  logcnlem4  26552  logcnlem5  26553  logcn  26554  dvloglem  26555  logf1o2  26557  efopnlem1  26563  efopnlem2  26564  cxpsqrtlem  26609  abscxpbnd  26661  ang180lem2  26718  lawcos  26724  isosctrlem1  26726  isosctrlem2  26727  asinneg  26794  asinsinlem  26799  atanlogaddlem  26821  atanlogsublem  26823  atanlogsub  26824  basellem3  26991  re0cj  32696  constrconj  33728  constrimcl  33753  constrmulcl  33754  sqsscirc2  33892  ibladdnc  37677  itgaddnc  37680  iblabsnc  37684  iblmulc2nc  37685  itgmulc2nc  37688  ftc1anclem2  37694  ftc1anclem6  37698  ftc1anclem8  37700  cntotbnd  37796  isosctrlem1ALT  44927  dstregt0  45284  absimnre  45475  absimlere  45478  cnrefiisplem  45830  sigarim  46852  readdcnnred  47307  resubcnnred  47308  cndivrenred  47310