Theorem imcld 15232

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15148	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6521  ℂcc 11082  ℝcr 11083  ℑcim 15135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15617  resincl  16182  sin01bnd  16227  recld2  24882  mbfeqa  25712  mbfss  25715  mbfmulc2re  25717  mbfadd  25730  mbfmulc2  25732  mbflim  25737  mbfmul  25795  iblcn  25868  itgcnval  25869  itgre  25870  itgim  25871  iblneg  25872  itgneg  25873  ibladd  25890  itgadd  25894  iblabs  25898  itgmulc2  25903  bddiblnc  25911  aaliou2b  26412  efif1olem3  26616  eff1olem  26620  logimclad  26644  abslogimle  26645  logrnaddcl  26646  lognegb  26662  logcj  26678  efiarg  26679  cosargd  26680  argregt0  26682  argrege0  26683  argimgt0  26684  argimlt0  26685  logimul  26686  abslogle  26690  tanarg  26691  logcnlem2  26715  logcnlem3  26716  logcnlem4  26717  logcnlem5  26718  logcn  26719  dvloglem  26720  logf1o2  26722  efopnlem1  26728  efopnlem2  26729  cxpsqrtlem  26774  abscxpbnd  26825  ang180lem2  26882  lawcos  26888  isosctrlem1  26890  isosctrlem2  26891  asinneg  26958  asinsinlem  26963  atanlogaddlem  26985  atanlogsublem  26987  atanlogsub  26988  basellem3  27154  re0cj  32951  constrconj  34044  constrimcl  34069  constrmulcl  34070  sqsscirc2  34208  ibladdnc  38181  itgaddnc  38184  iblabsnc  38188  iblmulc2nc  38189  itgmulc2nc  38192  ftc1anclem2  38198  ftc1anclem6  38202  ftc1anclem8  38204  cntotbnd  38300  isosctrlem1ALT  45500  dstregt0  45852  absimnre  46041  absimlere  46044  cnrefiisplem  46394  sigarim  47416  readdcnnred  47888  resubcnnred  47889  cndivrenred  47891