Theorem imcld 15245

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15161	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  ℂcc 11097  ℝcr 11098  ℑcim 15148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15630  resincl  16195  sin01bnd  16240  recld2  24951  mbfeqa  25781  mbfss  25784  mbfmulc2re  25786  mbfadd  25799  mbfmulc2  25801  mbflim  25806  mbfmul  25864  iblcn  25937  itgcnval  25938  itgre  25939  itgim  25940  iblneg  25941  itgneg  25942  ibladd  25959  itgadd  25963  iblabs  25967  itgmulc2  25972  bddiblnc  25980  aaliou2b  26481  efif1olem3  26685  eff1olem  26689  logimclad  26713  abslogimle  26714  logrnaddcl  26715  lognegb  26731  logcj  26747  efiarg  26748  cosargd  26749  argregt0  26751  argrege0  26752  argimgt0  26753  argimlt0  26754  logimul  26755  abslogle  26759  tanarg  26760  logcnlem2  26784  logcnlem3  26785  logcnlem4  26786  logcnlem5  26787  logcn  26788  dvloglem  26789  logf1o2  26791  efopnlem1  26797  efopnlem2  26798  cxpsqrtlem  26843  abscxpbnd  26894  ang180lem2  26951  lawcos  26957  isosctrlem1  26959  isosctrlem2  26960  asinneg  27027  asinsinlem  27032  atanlogaddlem  27054  atanlogsublem  27056  atanlogsub  27057  basellem3  27223  re0cj  33054  constrconj  34101  constrimcl  34126  constrmulcl  34127  sqsscirc2  34265  ibladdnc  38272  itgaddnc  38275  iblabsnc  38279  iblmulc2nc  38280  itgmulc2nc  38283  ftc1anclem2  38289  ftc1anclem6  38293  ftc1anclem8  38295  cntotbnd  38391  isosctrlem1ALT  45590  dstregt0  45949  absimnre  46138  absimlere  46141  cnrefiisplem  46491  sigarim  47513  readdcnnred  47985  resubcnnred  47986  cndivrenred  47988