Theorem imcld 15214

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  ℂcc 11127  ℝcr 11128  ℑcim 15117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15596  resincl  16158  sin01bnd  16203  recld2  24754  mbfeqa  25596  mbfss  25599  mbfmulc2re  25601  mbfadd  25614  mbfmulc2  25616  mbflim  25621  mbfmul  25679  iblcn  25752  itgcnval  25753  itgre  25754  itgim  25755  iblneg  25756  itgneg  25757  ibladd  25774  itgadd  25778  iblabs  25782  itgmulc2  25787  bddiblnc  25795  aaliou2b  26301  efif1olem3  26505  eff1olem  26509  logimclad  26533  abslogimle  26534  logrnaddcl  26535  lognegb  26551  logcj  26567  efiarg  26568  cosargd  26569  argregt0  26571  argrege0  26572  argimgt0  26573  argimlt0  26574  logimul  26575  abslogle  26579  tanarg  26580  logcnlem2  26604  logcnlem3  26605  logcnlem4  26606  logcnlem5  26607  logcn  26608  dvloglem  26609  logf1o2  26611  efopnlem1  26617  efopnlem2  26618  cxpsqrtlem  26663  abscxpbnd  26715  ang180lem2  26772  lawcos  26778  isosctrlem1  26780  isosctrlem2  26781  asinneg  26848  asinsinlem  26853  atanlogaddlem  26875  atanlogsublem  26877  atanlogsub  26878  basellem3  27045  re0cj  32721  constrconj  33779  constrimcl  33804  constrmulcl  33805  sqsscirc2  33940  ibladdnc  37701  itgaddnc  37704  iblabsnc  37708  iblmulc2nc  37709  itgmulc2nc  37712  ftc1anclem2  37718  ftc1anclem6  37722  ftc1anclem8  37724  cntotbnd  37820  isosctrlem1ALT  44958  dstregt0  45310  absimnre  45503  absimlere  45506  cnrefiisplem  45858  sigarim  46880  readdcnnred  47332  resubcnnred  47333  cndivrenred  47335