Theorem imcld 15120

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15036	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6491  ℂcc 11026  ℝcr 11027  ℑcim 15023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15505  resincl  16067  sin01bnd  16112  recld2  24761  mbfeqa  25602  mbfss  25605  mbfmulc2re  25607  mbfadd  25620  mbfmulc2  25622  mbflim  25627  mbfmul  25685  iblcn  25758  itgcnval  25759  itgre  25760  itgim  25761  iblneg  25762  itgneg  25763  ibladd  25780  itgadd  25784  iblabs  25788  itgmulc2  25793  bddiblnc  25801  aaliou2b  26307  efif1olem3  26511  eff1olem  26515  logimclad  26539  abslogimle  26540  logrnaddcl  26541  lognegb  26557  logcj  26573  efiarg  26574  cosargd  26575  argregt0  26577  argrege0  26578  argimgt0  26579  argimlt0  26580  logimul  26581  abslogle  26585  tanarg  26586  logcnlem2  26610  logcnlem3  26611  logcnlem4  26612  logcnlem5  26613  logcn  26614  dvloglem  26615  logf1o2  26617  efopnlem1  26623  efopnlem2  26624  cxpsqrtlem  26669  abscxpbnd  26721  ang180lem2  26778  lawcos  26784  isosctrlem1  26786  isosctrlem2  26787  asinneg  26854  asinsinlem  26859  atanlogaddlem  26881  atanlogsublem  26883  atanlogsub  26884  basellem3  27051  re0cj  32802  constrconj  33881  constrimcl  33906  constrmulcl  33907  sqsscirc2  34045  ibladdnc  37847  itgaddnc  37850  iblabsnc  37854  iblmulc2nc  37855  itgmulc2nc  37858  ftc1anclem2  37864  ftc1anclem6  37868  ftc1anclem8  37870  cntotbnd  37966  isosctrlem1ALT  45211  dstregt0  45567  absimnre  45757  absimlere  45760  cnrefiisplem  46110  sigarim  47132  readdcnnred  47586  resubcnnred  47587  cndivrenred  47589