Theorem imcld 14276

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 14192	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  ℂcc 10222  ℝcr 10223  ℑcim 14179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-2 11376  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182

This theorem is referenced by:  rlimrecl  14652  resincl  15206  sin01bnd  15251  recld2  22945  mbfeqa  23751  mbfss  23754  mbfmulc2re  23756  mbfadd  23769  mbfmulc2  23771  mbflim  23776  mbfmul  23834  iblcn  23906  itgcnval  23907  itgre  23908  itgim  23909  iblneg  23910  itgneg  23911  ibladd  23928  itgadd  23932  iblabs  23936  itgmulc2  23941  aaliou2b  24437  efif1olem3  24632  eff1olem  24636  logimclad  24660  abslogimle  24661  logrnaddcl  24662  lognegb  24677  logcj  24693  efiarg  24694  cosargd  24695  argregt0  24697  argrege0  24698  argimgt0  24699  argimlt0  24700  logimul  24701  abslogle  24705  tanarg  24706  logcnlem2  24730  logcnlem3  24731  logcnlem4  24732  logcnlem5  24733  logcn  24734  dvloglem  24735  logf1o2  24737  efopnlem1  24743  efopnlem2  24744  cxpsqrtlem  24789  abscxpbnd  24838  ang180lem2  24892  lawcos  24898  isosctrlem1  24900  isosctrlem2  24901  asinneg  24965  asinsinlem  24970  atanlogaddlem  24992  atanlogsublem  24994  atanlogsub  24995  basellem3  25161  sqsscirc2  30471  ibladdnc  33955  itgaddnc  33958  iblabsnc  33962  iblmulc2nc  33963  itgmulc2nc  33966  bddiblnc  33968  ftc1anclem2  33974  ftc1anclem6  33978  ftc1anclem8  33980  cntotbnd  34082  isosctrlem1ALT  39926  dstregt0  40235  absimnre  40446  absimlere  40449  cnrefiisplem  40795  sigarim  41782