Theorem imcld 15157

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15073	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  ℂcc 11036  ℝcr 11037  ℑcim 15060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15542  resincl  16107  sin01bnd  16152  recld2  24780  mbfeqa  25610  mbfss  25613  mbfmulc2re  25615  mbfadd  25628  mbfmulc2  25630  mbflim  25635  mbfmul  25693  iblcn  25766  itgcnval  25767  itgre  25768  itgim  25769  iblneg  25770  itgneg  25771  ibladd  25788  itgadd  25792  iblabs  25796  itgmulc2  25801  bddiblnc  25809  aaliou2b  26307  efif1olem3  26508  eff1olem  26512  logimclad  26536  abslogimle  26537  logrnaddcl  26538  lognegb  26554  logcj  26570  efiarg  26571  cosargd  26572  argregt0  26574  argrege0  26575  argimgt0  26576  argimlt0  26577  logimul  26578  abslogle  26582  tanarg  26583  logcnlem2  26607  logcnlem3  26608  logcnlem4  26609  logcnlem5  26610  logcn  26611  dvloglem  26612  logf1o2  26614  efopnlem1  26620  efopnlem2  26621  cxpsqrtlem  26666  abscxpbnd  26717  ang180lem2  26774  lawcos  26780  isosctrlem1  26782  isosctrlem2  26783  asinneg  26850  asinsinlem  26855  atanlogaddlem  26877  atanlogsublem  26879  atanlogsub  26880  basellem3  27046  re0cj  32816  constrconj  33889  constrimcl  33914  constrmulcl  33915  sqsscirc2  34053  ibladdnc  37998  itgaddnc  38001  iblabsnc  38005  iblmulc2nc  38006  itgmulc2nc  38009  ftc1anclem2  38015  ftc1anclem6  38019  ftc1anclem8  38021  cntotbnd  38117  isosctrlem1ALT  45360  dstregt0  45715  absimnre  45904  absimlere  45907  cnrefiisplem  46257  sigarim  47279  readdcnnred  47745  resubcnnred  47746  cndivrenred  47748