Theorem imcld 14615

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 14531	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  ℂcc 10586  ℝcr 10587  ℑcim 14518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-2 11750  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521

This theorem is referenced by:  rlimrecl  14998  resincl  15554  sin01bnd  15599  recld2  23528  mbfeqa  24356  mbfss  24359  mbfmulc2re  24361  mbfadd  24374  mbfmulc2  24376  mbflim  24381  mbfmul  24439  iblcn  24511  itgcnval  24512  itgre  24513  itgim  24514  iblneg  24515  itgneg  24516  ibladd  24533  itgadd  24537  iblabs  24541  itgmulc2  24546  bddiblnc  24554  aaliou2b  25049  efif1olem3  25248  eff1olem  25252  logimclad  25276  abslogimle  25277  logrnaddcl  25278  lognegb  25293  logcj  25309  efiarg  25310  cosargd  25311  argregt0  25313  argrege0  25314  argimgt0  25315  argimlt0  25316  logimul  25317  abslogle  25321  tanarg  25322  logcnlem2  25346  logcnlem3  25347  logcnlem4  25348  logcnlem5  25349  logcn  25350  dvloglem  25351  logf1o2  25353  efopnlem1  25359  efopnlem2  25360  cxpsqrtlem  25405  abscxpbnd  25454  ang180lem2  25508  lawcos  25514  isosctrlem1  25516  isosctrlem2  25517  asinneg  25584  asinsinlem  25589  atanlogaddlem  25611  atanlogsublem  25613  atanlogsub  25614  basellem3  25780  sqsscirc2  31392  ibladdnc  35428  itgaddnc  35431  iblabsnc  35435  iblmulc2nc  35436  itgmulc2nc  35439  ftc1anclem2  35445  ftc1anclem6  35449  ftc1anclem8  35451  cntotbnd  35548  isosctrlem1ALT  42048  dstregt0  42315  absimnre  42517  absimlere  42520  cnrefiisplem  42872  sigarim  43866  readdcnnred  44277  resubcnnred  44278  cndivrenred  44280