Theorem imcld 15194

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15110	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506  ℂcc 11057  ℝcr 11058  ℑcim 15097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15579  resincl  16144  sin01bnd  16189  recld2  24844  mbfeqa  25674  mbfss  25677  mbfmulc2re  25679  mbfadd  25692  mbfmulc2  25694  mbflim  25699  mbfmul  25757  iblcn  25830  itgcnval  25831  itgre  25832  itgim  25833  iblneg  25834  itgneg  25835  ibladd  25852  itgadd  25856  iblabs  25860  itgmulc2  25865  bddiblnc  25873  aaliou2b  26371  efif1olem3  26575  eff1olem  26579  logimclad  26603  abslogimle  26604  logrnaddcl  26605  lognegb  26621  logcj  26637  efiarg  26638  cosargd  26639  argregt0  26641  argrege0  26642  argimgt0  26643  argimlt0  26644  logimul  26645  abslogle  26649  tanarg  26650  logcnlem2  26674  logcnlem3  26675  logcnlem4  26676  logcnlem5  26677  logcn  26678  dvloglem  26679  logf1o2  26681  efopnlem1  26687  efopnlem2  26688  cxpsqrtlem  26733  abscxpbnd  26784  ang180lem2  26841  lawcos  26847  isosctrlem1  26849  isosctrlem2  26850  asinneg  26917  asinsinlem  26922  atanlogaddlem  26944  atanlogsublem  26946  atanlogsub  26947  basellem3  27113  re0cj  32884  constrconj  33986  constrimcl  34011  constrmulcl  34012  sqsscirc2  34150  ibladdnc  38114  itgaddnc  38117  iblabsnc  38121  iblmulc2nc  38122  itgmulc2nc  38125  ftc1anclem2  38131  ftc1anclem6  38135  ftc1anclem8  38137  cntotbnd  38233  isosctrlem1ALT  45447  dstregt0  45799  absimnre  45988  absimlere  45991  cnrefiisplem  46341  sigarim  47363  readdcnnred  47835  resubcnnred  47836  cndivrenred  47838