Theorem imcld 15138

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15054	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  ℂcc 11044  ℝcr 11045  ℑcim 15041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15523  resincl  16085  sin01bnd  16130  recld2  24737  mbfeqa  25578  mbfss  25581  mbfmulc2re  25583  mbfadd  25596  mbfmulc2  25598  mbflim  25603  mbfmul  25661  iblcn  25734  itgcnval  25735  itgre  25736  itgim  25737  iblneg  25738  itgneg  25739  ibladd  25756  itgadd  25760  iblabs  25764  itgmulc2  25769  bddiblnc  25777  aaliou2b  26283  efif1olem3  26487  eff1olem  26491  logimclad  26515  abslogimle  26516  logrnaddcl  26517  lognegb  26533  logcj  26549  efiarg  26550  cosargd  26551  argregt0  26553  argrege0  26554  argimgt0  26555  argimlt0  26556  logimul  26557  abslogle  26561  tanarg  26562  logcnlem2  26586  logcnlem3  26587  logcnlem4  26588  logcnlem5  26589  logcn  26590  dvloglem  26591  logf1o2  26593  efopnlem1  26599  efopnlem2  26600  cxpsqrtlem  26645  abscxpbnd  26697  ang180lem2  26754  lawcos  26760  isosctrlem1  26762  isosctrlem2  26763  asinneg  26830  asinsinlem  26835  atanlogaddlem  26857  atanlogsublem  26859  atanlogsub  26860  basellem3  27027  re0cj  32718  constrconj  33729  constrimcl  33754  constrmulcl  33755  sqsscirc2  33893  ibladdnc  37665  itgaddnc  37668  iblabsnc  37672  iblmulc2nc  37673  itgmulc2nc  37676  ftc1anclem2  37682  ftc1anclem6  37686  ftc1anclem8  37688  cntotbnd  37784  isosctrlem1ALT  44917  dstregt0  45274  absimnre  45466  absimlere  45469  cnrefiisplem  45821  sigarim  46843  readdcnnred  47298  resubcnnred  47299  cndivrenred  47301