Theorem imcld 14834

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 14750	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  ℂcc 10800  ℝcr 10801  ℑcim 14737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15217  resincl  15777  sin01bnd  15822  recld2  23883  mbfeqa  24712  mbfss  24715  mbfmulc2re  24717  mbfadd  24730  mbfmulc2  24732  mbflim  24737  mbfmul  24796  iblcn  24868  itgcnval  24869  itgre  24870  itgim  24871  iblneg  24872  itgneg  24873  ibladd  24890  itgadd  24894  iblabs  24898  itgmulc2  24903  bddiblnc  24911  aaliou2b  25406  efif1olem3  25605  eff1olem  25609  logimclad  25633  abslogimle  25634  logrnaddcl  25635  lognegb  25650  logcj  25666  efiarg  25667  cosargd  25668  argregt0  25670  argrege0  25671  argimgt0  25672  argimlt0  25673  logimul  25674  abslogle  25678  tanarg  25679  logcnlem2  25703  logcnlem3  25704  logcnlem4  25705  logcnlem5  25706  logcn  25707  dvloglem  25708  logf1o2  25710  efopnlem1  25716  efopnlem2  25717  cxpsqrtlem  25762  abscxpbnd  25811  ang180lem2  25865  lawcos  25871  isosctrlem1  25873  isosctrlem2  25874  asinneg  25941  asinsinlem  25946  atanlogaddlem  25968  atanlogsublem  25970  atanlogsub  25971  basellem3  26137  sqsscirc2  31761  ibladdnc  35761  itgaddnc  35764  iblabsnc  35768  iblmulc2nc  35769  itgmulc2nc  35772  ftc1anclem2  35778  ftc1anclem6  35782  ftc1anclem8  35784  cntotbnd  35881  isosctrlem1ALT  42443  dstregt0  42709  absimnre  42907  absimlere  42910  cnrefiisplem  43260  sigarim  44254  readdcnnred  44683  resubcnnred  44684  cndivrenred  44686