Theorem imcld 15119

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15035	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  ℂcc 11025  ℝcr 11026  ℑcim 15022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15504  resincl  16066  sin01bnd  16111  recld2  24758  mbfeqa  25588  mbfss  25591  mbfmulc2re  25593  mbfadd  25606  mbfmulc2  25608  mbflim  25613  mbfmul  25671  iblcn  25744  itgcnval  25745  itgre  25746  itgim  25747  iblneg  25748  itgneg  25749  ibladd  25766  itgadd  25770  iblabs  25774  itgmulc2  25779  bddiblnc  25787  aaliou2b  26289  efif1olem3  26493  eff1olem  26497  logimclad  26521  abslogimle  26522  logrnaddcl  26523  lognegb  26539  logcj  26555  efiarg  26556  cosargd  26557  argregt0  26559  argrege0  26560  argimgt0  26561  argimlt0  26562  logimul  26563  abslogle  26567  tanarg  26568  logcnlem2  26592  logcnlem3  26593  logcnlem4  26594  logcnlem5  26595  logcn  26596  dvloglem  26597  logf1o2  26599  efopnlem1  26605  efopnlem2  26606  cxpsqrtlem  26651  abscxpbnd  26703  ang180lem2  26760  lawcos  26766  isosctrlem1  26768  isosctrlem2  26769  asinneg  26836  asinsinlem  26841  atanlogaddlem  26863  atanlogsublem  26865  atanlogsub  26866  basellem3  27033  re0cj  32806  constrconj  33895  constrimcl  33920  constrmulcl  33921  sqsscirc2  34059  ibladdnc  37989  itgaddnc  37992  iblabsnc  37996  iblmulc2nc  37997  itgmulc2nc  38000  ftc1anclem2  38006  ftc1anclem6  38010  ftc1anclem8  38012  cntotbnd  38108  isosctrlem1ALT  45363  dstregt0  45718  absimnre  45908  absimlere  45911  cnrefiisplem  46261  sigarim  47283  readdcnnred  47737  resubcnnred  47738  cndivrenred  47740