Theorem imcld 15118

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15034	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  ℂcc 11024  ℝcr 11025  ℑcim 15021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15503  resincl  16065  sin01bnd  16110  recld2  24759  mbfeqa  25600  mbfss  25603  mbfmulc2re  25605  mbfadd  25618  mbfmulc2  25620  mbflim  25625  mbfmul  25683  iblcn  25756  itgcnval  25757  itgre  25758  itgim  25759  iblneg  25760  itgneg  25761  ibladd  25778  itgadd  25782  iblabs  25786  itgmulc2  25791  bddiblnc  25799  aaliou2b  26305  efif1olem3  26509  eff1olem  26513  logimclad  26537  abslogimle  26538  logrnaddcl  26539  lognegb  26555  logcj  26571  efiarg  26572  cosargd  26573  argregt0  26575  argrege0  26576  argimgt0  26577  argimlt0  26578  logimul  26579  abslogle  26583  tanarg  26584  logcnlem2  26608  logcnlem3  26609  logcnlem4  26610  logcnlem5  26611  logcn  26612  dvloglem  26613  logf1o2  26615  efopnlem1  26621  efopnlem2  26622  cxpsqrtlem  26667  abscxpbnd  26719  ang180lem2  26776  lawcos  26782  isosctrlem1  26784  isosctrlem2  26785  asinneg  26852  asinsinlem  26857  atanlogaddlem  26879  atanlogsublem  26881  atanlogsub  26882  basellem3  27049  re0cj  32823  constrconj  33902  constrimcl  33927  constrmulcl  33928  sqsscirc2  34066  ibladdnc  37878  itgaddnc  37881  iblabsnc  37885  iblmulc2nc  37886  itgmulc2nc  37889  ftc1anclem2  37895  ftc1anclem6  37899  ftc1anclem8  37901  cntotbnd  37997  isosctrlem1ALT  45174  dstregt0  45530  absimnre  45720  absimlere  45723  cnrefiisplem  46073  sigarim  47095  readdcnnred  47549  resubcnnred  47550  cndivrenred  47552