Theorem imcld 15146

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15062	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  ℂcc 11025  ℝcr 11026  ℑcim 15049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15531  resincl  16096  sin01bnd  16141  recld2  24768  mbfeqa  25598  mbfss  25601  mbfmulc2re  25603  mbfadd  25616  mbfmulc2  25618  mbflim  25623  mbfmul  25681  iblcn  25754  itgcnval  25755  itgre  25756  itgim  25757  iblneg  25758  itgneg  25759  ibladd  25776  itgadd  25780  iblabs  25784  itgmulc2  25789  bddiblnc  25797  aaliou2b  26295  efif1olem3  26496  eff1olem  26500  logimclad  26524  abslogimle  26525  logrnaddcl  26526  lognegb  26542  logcj  26558  efiarg  26559  cosargd  26560  argregt0  26562  argrege0  26563  argimgt0  26564  argimlt0  26565  logimul  26566  abslogle  26570  tanarg  26571  logcnlem2  26595  logcnlem3  26596  logcnlem4  26597  logcnlem5  26598  logcn  26599  dvloglem  26600  logf1o2  26602  efopnlem1  26608  efopnlem2  26609  cxpsqrtlem  26654  abscxpbnd  26705  ang180lem2  26762  lawcos  26768  isosctrlem1  26770  isosctrlem2  26771  asinneg  26838  asinsinlem  26843  atanlogaddlem  26865  atanlogsublem  26867  atanlogsub  26868  basellem3  27034  re0cj  32804  constrconj  33877  constrimcl  33902  constrmulcl  33903  sqsscirc2  34041  ibladdnc  37986  itgaddnc  37989  iblabsnc  37993  iblmulc2nc  37994  itgmulc2nc  37997  ftc1anclem2  38003  ftc1anclem6  38007  ftc1anclem8  38009  cntotbnd  38105  isosctrlem1ALT  45348  dstregt0  45703  absimnre  45892  absimlere  45895  cnrefiisplem  46245  sigarim  47267  readdcnnred  47739  resubcnnred  47740  cndivrenred  47742