Theorem imcld 15329

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  ℂcc 11169  ℝcr 11170  ℑcim 15232

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235

This theorem is used by:  rlimrecl  15714  resincl  16275  sin01bnd  16320  recld2  25095  mbfeqa  25925  mbfss  25928  mbfmulc2re  25930  mbfadd  25943  mbfmulc2  25945  mbflim  25950  mbfmul  26008  iblcn  26080  itgcnval  26081  itgre  26082  itgim  26083  iblneg  26084  itgneg  26085  ibladd  26102  itgadd  26106  iblabs  26110  itgmulc2  26115  bddiblnc  26123  aaliou2b  26631  efif1olem3  26835  eff1olem  26839  logimclad  26863  abslogimle  26864  logrnaddcl  26865  lognegb  26881  logcj  26897  efiarg  26898  cosargd  26899  argregt0  26901  argrege0  26902  argimgt0  26903  argimlt0  26904  logimul  26905  abslogle  26909  tanarg  26910  logcnlem2  26934  logcnlem3  26935  logcnlem4  26936  logcnlem5  26937  logcn  26938  dvloglem  26939  logf1o2  26941  efopnlem1  26947  efopnlem2  26948  cxpsqrtlem  26993  abscxpbnd  27044  ang180lem2  27101  lawcos  27107  isosctrlem1  27109  isosctrlem2  27110  asinneg  27177  asinsinlem  27182  atanlogaddlem  27204  atanlogsublem  27206  atanlogsub  27207  basellem3  27373  re0cj  33268  constrconj  34310  constrimcl  34335  constrmulcl  34336  sqsscirc2  34474  ibladdnc  38515  itgaddnc  38518  iblabsnc  38522  iblmulc2nc  38523  itgmulc2nc  38526  ftc1anclem2  38532  ftc1anclem6  38536  ftc1anclem8  38538  cntotbnd  38650  isosctrlem1ALT  45860  dstregt0  46219  absimnre  46408  absimlere  46411  cnrefiisplem  46761  sigarim  47783  readdcnnred  48295  resubcnnred  48296  cndivrenred  48298