Theorem imcld 15137

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15053	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  ℂcc 11042  ℝcr 11043  ℑcim 15040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15522  resincl  16084  sin01bnd  16129  recld2  24736  mbfeqa  25577  mbfss  25580  mbfmulc2re  25582  mbfadd  25595  mbfmulc2  25597  mbflim  25602  mbfmul  25660  iblcn  25733  itgcnval  25734  itgre  25735  itgim  25736  iblneg  25737  itgneg  25738  ibladd  25755  itgadd  25759  iblabs  25763  itgmulc2  25768  bddiblnc  25776  aaliou2b  26282  efif1olem3  26486  eff1olem  26490  logimclad  26514  abslogimle  26515  logrnaddcl  26516  lognegb  26532  logcj  26548  efiarg  26549  cosargd  26550  argregt0  26552  argrege0  26553  argimgt0  26554  argimlt0  26555  logimul  26556  abslogle  26560  tanarg  26561  logcnlem2  26585  logcnlem3  26586  logcnlem4  26587  logcnlem5  26588  logcn  26589  dvloglem  26590  logf1o2  26592  efopnlem1  26598  efopnlem2  26599  cxpsqrtlem  26644  abscxpbnd  26696  ang180lem2  26753  lawcos  26759  isosctrlem1  26761  isosctrlem2  26762  asinneg  26829  asinsinlem  26834  atanlogaddlem  26856  atanlogsublem  26858  atanlogsub  26859  basellem3  27026  re0cj  32717  constrconj  33728  constrimcl  33753  constrmulcl  33754  sqsscirc2  33892  ibladdnc  37664  itgaddnc  37667  iblabsnc  37671  iblmulc2nc  37672  itgmulc2nc  37675  ftc1anclem2  37681  ftc1anclem6  37685  ftc1anclem8  37687  cntotbnd  37783  isosctrlem1ALT  44916  dstregt0  45273  absimnre  45465  absimlere  45468  cnrefiisplem  45820  sigarim  46842  readdcnnred  47297  resubcnnred  47298  cndivrenred  47300