Theorem imcld 15142

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15058	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  ℂcc 11108  ℝcr 11109  ℑcim 15045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15524  resincl  16083  sin01bnd  16128  recld2  24330  mbfeqa  25160  mbfss  25163  mbfmulc2re  25165  mbfadd  25178  mbfmulc2  25180  mbflim  25185  mbfmul  25244  iblcn  25316  itgcnval  25317  itgre  25318  itgim  25319  iblneg  25320  itgneg  25321  ibladd  25338  itgadd  25342  iblabs  25346  itgmulc2  25351  bddiblnc  25359  aaliou2b  25854  efif1olem3  26053  eff1olem  26057  logimclad  26081  abslogimle  26082  logrnaddcl  26083  lognegb  26098  logcj  26114  efiarg  26115  cosargd  26116  argregt0  26118  argrege0  26119  argimgt0  26120  argimlt0  26121  logimul  26122  abslogle  26126  tanarg  26127  logcnlem2  26151  logcnlem3  26152  logcnlem4  26153  logcnlem5  26154  logcn  26155  dvloglem  26156  logf1o2  26158  efopnlem1  26164  efopnlem2  26165  cxpsqrtlem  26210  abscxpbnd  26261  ang180lem2  26315  lawcos  26321  isosctrlem1  26323  isosctrlem2  26324  asinneg  26391  asinsinlem  26396  atanlogaddlem  26418  atanlogsublem  26420  atanlogsub  26421  basellem3  26587  sqsscirc2  32889  ibladdnc  36545  itgaddnc  36548  iblabsnc  36552  iblmulc2nc  36553  itgmulc2nc  36556  ftc1anclem2  36562  ftc1anclem6  36566  ftc1anclem8  36568  cntotbnd  36664  isosctrlem1ALT  43695  dstregt0  43991  absimnre  44187  absimlere  44190  cnrefiisplem  44545  sigarim  45567  readdcnnred  46011  resubcnnred  46012  cndivrenred  46014