Theorem imcld 14554

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 14470	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  ℂcc 10535  ℝcr 10536  ℑcim 14457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-2 11701  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460

This theorem is referenced by:  rlimrecl  14937  resincl  15493  sin01bnd  15538  recld2  23422  mbfeqa  24244  mbfss  24247  mbfmulc2re  24249  mbfadd  24262  mbfmulc2  24264  mbflim  24269  mbfmul  24327  iblcn  24399  itgcnval  24400  itgre  24401  itgim  24402  iblneg  24403  itgneg  24404  ibladd  24421  itgadd  24425  iblabs  24429  itgmulc2  24434  aaliou2b  24930  efif1olem3  25128  eff1olem  25132  logimclad  25156  abslogimle  25157  logrnaddcl  25158  lognegb  25173  logcj  25189  efiarg  25190  cosargd  25191  argregt0  25193  argrege0  25194  argimgt0  25195  argimlt0  25196  logimul  25197  abslogle  25201  tanarg  25202  logcnlem2  25226  logcnlem3  25227  logcnlem4  25228  logcnlem5  25229  logcn  25230  dvloglem  25231  logf1o2  25233  efopnlem1  25239  efopnlem2  25240  cxpsqrtlem  25285  abscxpbnd  25334  ang180lem2  25388  lawcos  25394  isosctrlem1  25396  isosctrlem2  25397  asinneg  25464  asinsinlem  25469  atanlogaddlem  25491  atanlogsublem  25493  atanlogsub  25494  basellem3  25660  sqsscirc2  31152  ibladdnc  34964  itgaddnc  34967  iblabsnc  34971  iblmulc2nc  34972  itgmulc2nc  34975  bddiblnc  34977  ftc1anclem2  34983  ftc1anclem6  34987  ftc1anclem8  34989  cntotbnd  35089  isosctrlem1ALT  41288  dstregt0  41567  absimnre  41773  absimlere  41776  cnrefiisplem  42130  sigarim  43128  readdcnnred  43523  resubcnnred  43524  cndivrenred  43526