Theorem imcld 15161

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15077	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  ℂcc 11066  ℝcr 11067  ℑcim 15064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15546  resincl  16108  sin01bnd  16153  recld2  24703  mbfeqa  25544  mbfss  25547  mbfmulc2re  25549  mbfadd  25562  mbfmulc2  25564  mbflim  25569  mbfmul  25627  iblcn  25700  itgcnval  25701  itgre  25702  itgim  25703  iblneg  25704  itgneg  25705  ibladd  25722  itgadd  25726  iblabs  25730  itgmulc2  25735  bddiblnc  25743  aaliou2b  26249  efif1olem3  26453  eff1olem  26457  logimclad  26481  abslogimle  26482  logrnaddcl  26483  lognegb  26499  logcj  26515  efiarg  26516  cosargd  26517  argregt0  26519  argrege0  26520  argimgt0  26521  argimlt0  26522  logimul  26523  abslogle  26527  tanarg  26528  logcnlem2  26552  logcnlem3  26553  logcnlem4  26554  logcnlem5  26555  logcn  26556  dvloglem  26557  logf1o2  26559  efopnlem1  26565  efopnlem2  26566  cxpsqrtlem  26611  abscxpbnd  26663  ang180lem2  26720  lawcos  26726  isosctrlem1  26728  isosctrlem2  26729  asinneg  26796  asinsinlem  26801  atanlogaddlem  26823  atanlogsublem  26825  atanlogsub  26826  basellem3  26993  re0cj  32667  constrconj  33735  constrimcl  33760  constrmulcl  33761  sqsscirc2  33899  ibladdnc  37671  itgaddnc  37674  iblabsnc  37678  iblmulc2nc  37679  itgmulc2nc  37682  ftc1anclem2  37688  ftc1anclem6  37692  ftc1anclem8  37694  cntotbnd  37790  isosctrlem1ALT  44923  dstregt0  45280  absimnre  45472  absimlere  45475  cnrefiisplem  45827  sigarim  46849  readdcnnred  47304  resubcnnred  47305  cndivrenred  47307