MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imcld 15081
Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
imcld (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 imcl 14997 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6497  cc 11050  cr 11051  cim 14984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987
This theorem is referenced by:  rlimrecl  15463  resincl  16023  sin01bnd  16068  recld2  24180  mbfeqa  25010  mbfss  25013  mbfmulc2re  25015  mbfadd  25028  mbfmulc2  25030  mbflim  25035  mbfmul  25094  iblcn  25166  itgcnval  25167  itgre  25168  itgim  25169  iblneg  25170  itgneg  25171  ibladd  25188  itgadd  25192  iblabs  25196  itgmulc2  25201  bddiblnc  25209  aaliou2b  25704  efif1olem3  25903  eff1olem  25907  logimclad  25931  abslogimle  25932  logrnaddcl  25933  lognegb  25948  logcj  25964  efiarg  25965  cosargd  25966  argregt0  25968  argrege0  25969  argimgt0  25970  argimlt0  25971  logimul  25972  abslogle  25976  tanarg  25977  logcnlem2  26001  logcnlem3  26002  logcnlem4  26003  logcnlem5  26004  logcn  26005  dvloglem  26006  logf1o2  26008  efopnlem1  26014  efopnlem2  26015  cxpsqrtlem  26060  abscxpbnd  26109  ang180lem2  26163  lawcos  26169  isosctrlem1  26171  isosctrlem2  26172  asinneg  26239  asinsinlem  26244  atanlogaddlem  26266  atanlogsublem  26268  atanlogsub  26269  basellem3  26435  sqsscirc2  32493  ibladdnc  36138  itgaddnc  36141  iblabsnc  36145  iblmulc2nc  36146  itgmulc2nc  36149  ftc1anclem2  36155  ftc1anclem6  36159  ftc1anclem8  36161  cntotbnd  36258  isosctrlem1ALT  43223  dstregt0  43522  absimnre  43719  absimlere  43722  cnrefiisplem  44077  sigarim  45099  readdcnnred  45542  resubcnnred  45543  cndivrenred  45545
  Copyright terms: Public domain W3C validator