Theorem imcld 15244

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  ℂcc 11182  ℝcr 11183  ℑcim 15147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15626  resincl  16188  sin01bnd  16233  recld2  24855  mbfeqa  25697  mbfss  25700  mbfmulc2re  25702  mbfadd  25715  mbfmulc2  25717  mbflim  25722  mbfmul  25781  iblcn  25854  itgcnval  25855  itgre  25856  itgim  25857  iblneg  25858  itgneg  25859  ibladd  25876  itgadd  25880  iblabs  25884  itgmulc2  25889  bddiblnc  25897  aaliou2b  26401  efif1olem3  26604  eff1olem  26608  logimclad  26632  abslogimle  26633  logrnaddcl  26634  lognegb  26650  logcj  26666  efiarg  26667  cosargd  26668  argregt0  26670  argrege0  26671  argimgt0  26672  argimlt0  26673  logimul  26674  abslogle  26678  tanarg  26679  logcnlem2  26703  logcnlem3  26704  logcnlem4  26705  logcnlem5  26706  logcn  26707  dvloglem  26708  logf1o2  26710  efopnlem1  26716  efopnlem2  26717  cxpsqrtlem  26762  abscxpbnd  26814  ang180lem2  26871  lawcos  26877  isosctrlem1  26879  isosctrlem2  26880  asinneg  26947  asinsinlem  26952  atanlogaddlem  26974  atanlogsublem  26976  atanlogsub  26977  basellem3  27144  re0cj  32756  constrconj  33735  sqsscirc2  33855  ibladdnc  37637  itgaddnc  37640  iblabsnc  37644  iblmulc2nc  37645  itgmulc2nc  37648  ftc1anclem2  37654  ftc1anclem6  37658  ftc1anclem8  37660  cntotbnd  37756  isosctrlem1ALT  44905  dstregt0  45196  absimnre  45392  absimlere  45395  cnrefiisplem  45750  sigarim  46772  readdcnnred  47218  resubcnnred  47219  cndivrenred  47221