Theorem imcld 15102

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15018	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  ℂcc 11004  ℝcr 11005  ℑcim 15005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15487  resincl  16049  sin01bnd  16094  recld2  24730  mbfeqa  25571  mbfss  25574  mbfmulc2re  25576  mbfadd  25589  mbfmulc2  25591  mbflim  25596  mbfmul  25654  iblcn  25727  itgcnval  25728  itgre  25729  itgim  25730  iblneg  25731  itgneg  25732  ibladd  25749  itgadd  25753  iblabs  25757  itgmulc2  25762  bddiblnc  25770  aaliou2b  26276  efif1olem3  26480  eff1olem  26484  logimclad  26508  abslogimle  26509  logrnaddcl  26510  lognegb  26526  logcj  26542  efiarg  26543  cosargd  26544  argregt0  26546  argrege0  26547  argimgt0  26548  argimlt0  26549  logimul  26550  abslogle  26554  tanarg  26555  logcnlem2  26579  logcnlem3  26580  logcnlem4  26581  logcnlem5  26582  logcn  26583  dvloglem  26584  logf1o2  26586  efopnlem1  26592  efopnlem2  26593  cxpsqrtlem  26638  abscxpbnd  26690  ang180lem2  26747  lawcos  26753  isosctrlem1  26755  isosctrlem2  26756  asinneg  26823  asinsinlem  26828  atanlogaddlem  26850  atanlogsublem  26852  atanlogsub  26853  basellem3  27020  re0cj  32727  constrconj  33758  constrimcl  33783  constrmulcl  33784  sqsscirc2  33922  ibladdnc  37716  itgaddnc  37719  iblabsnc  37723  iblmulc2nc  37724  itgmulc2nc  37727  ftc1anclem2  37733  ftc1anclem6  37737  ftc1anclem8  37739  cntotbnd  37835  isosctrlem1ALT  45025  dstregt0  45382  absimnre  45573  absimlere  45576  cnrefiisplem  45926  sigarim  46948  readdcnnred  47402  resubcnnred  47403  cndivrenred  47405