Theorem imcld 15168

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 15084	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  ℂcc 11073  ℝcr 11074  ℑcim 15071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15553  resincl  16115  sin01bnd  16160  recld2  24710  mbfeqa  25551  mbfss  25554  mbfmulc2re  25556  mbfadd  25569  mbfmulc2  25571  mbflim  25576  mbfmul  25634  iblcn  25707  itgcnval  25708  itgre  25709  itgim  25710  iblneg  25711  itgneg  25712  ibladd  25729  itgadd  25733  iblabs  25737  itgmulc2  25742  bddiblnc  25750  aaliou2b  26256  efif1olem3  26460  eff1olem  26464  logimclad  26488  abslogimle  26489  logrnaddcl  26490  lognegb  26506  logcj  26522  efiarg  26523  cosargd  26524  argregt0  26526  argrege0  26527  argimgt0  26528  argimlt0  26529  logimul  26530  abslogle  26534  tanarg  26535  logcnlem2  26559  logcnlem3  26560  logcnlem4  26561  logcnlem5  26562  logcn  26563  dvloglem  26564  logf1o2  26566  efopnlem1  26572  efopnlem2  26573  cxpsqrtlem  26618  abscxpbnd  26670  ang180lem2  26727  lawcos  26733  isosctrlem1  26735  isosctrlem2  26736  asinneg  26803  asinsinlem  26808  atanlogaddlem  26830  atanlogsublem  26832  atanlogsub  26833  basellem3  27000  re0cj  32674  constrconj  33742  constrimcl  33767  constrmulcl  33768  sqsscirc2  33906  ibladdnc  37678  itgaddnc  37681  iblabsnc  37685  iblmulc2nc  37686  itgmulc2nc  37689  ftc1anclem2  37695  ftc1anclem6  37699  ftc1anclem8  37701  cntotbnd  37797  isosctrlem1ALT  44930  dstregt0  45287  absimnre  45479  absimlere  45482  cnrefiisplem  45834  sigarim  46856  readdcnnred  47308  resubcnnred  47309  cndivrenred  47311