Theorem dvamulr 40991

Description: Ring multiplication operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvafmul.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafmul.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafmul.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvafmul.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafmul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvafmul.p	⊢ · = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvamulr	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → (𝑅 · 𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))

Proof of Theorem dvamulr

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvafmul.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvafmul.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvafmul.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvafmul.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		dvafmul.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6		dvafmul.p	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvafmulr 40990	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠)))
8	7	oveqd 7366	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅 · 𝑆) = (𝑅(𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))𝑆))
9		coexg 7862	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑅 ∘ 𝑆) ∈ V)
10		coeq1 5800	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ∘ 𝑠) = (𝑅 ∘ 𝑠))
11		coeq2 5801	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑅 ∘ 𝑠) = (𝑅 ∘ 𝑆))
12		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠)) = (𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))
13	10, 11, 12	ovmpog 7508	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑅 ∘ 𝑆) ∈ V) → (𝑅(𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))
14	9, 13	mpd3an3 1464	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑅(𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))
15	8, 14	sylan9eq 2784	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → (𝑅 · 𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  ._rcmulr 17162  Scalarcsca 17164  LHypclh 39963  LTrncltrn 40080  TEndoctendo 40731  DVecAcdveca 40981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-edring 40736  df-dveca 40982

This theorem is referenced by:  dvalveclem  41004