Theorem dvamulr 37088

Description: Ring multiplication operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvafmul.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafmul.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafmul.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvafmul.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafmul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvafmul.p	⊢ · = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvamulr	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → (𝑅 · 𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))

Proof of Theorem dvamulr

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvafmul.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvafmul.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvafmul.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvafmul.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		dvafmul.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6		dvafmul.p	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvafmulr 37087	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠)))
8	7	oveqd 6923	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅 · 𝑆) = (𝑅(𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))𝑆))
9		coexg 7380	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑅 ∘ 𝑆) ∈ V)
10		coeq1 5513	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ∘ 𝑠) = (𝑅 ∘ 𝑠))
11		coeq2 5514	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑅 ∘ 𝑠) = (𝑅 ∘ 𝑆))
12		eqid 2826	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠)) = (𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))
13	10, 11, 12	ovmpt2g 7056	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑅 ∘ 𝑆) ∈ V) → (𝑅(𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))
14	9, 13	mpd3an3 1592	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑅(𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))
15	8, 14	sylan9eq 2882	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → (𝑅 · 𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3415   ∘ ccom 5347  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ↦ cmpt2 6908  ._rcmulr 16307  Scalarcsca 16309  LHypclh 36060  LTrncltrn 36177  TEndoctendo 36828  DVecAcdveca 37078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-edring 36833  df-dveca 37079

This theorem is referenced by:  dvalveclem  37101