Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpov Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgrpov 37949
 Description: The group operation value of the translation group is the composition of translations. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpset.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tgrpset.g 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
tgrp.o + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
tgrpov ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋𝑌))

Proof of Theorem tgrpov
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tgrpset.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 tgrpset.g . . . . 5 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4 tgrp.o . . . . 5 + = (+g𝐺)
51, 2, 3, 4tgrpopr 37948 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → + = (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)))
653adant3 1129 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → + = (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)))
76oveqd 7157 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))𝑌))
8 simp3l 1198 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → 𝑋𝑇)
9 simp3r 1199 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → 𝑌𝑇)
10 coexg 7619 . . . 4 ((𝑋𝑇𝑌𝑇) → (𝑋𝑌) ∈ V)
11103ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋𝑌) ∈ V)
12 coeq1 5711 . . . 4 (𝑓 = 𝑋 → (𝑓𝑔) = (𝑋𝑔))
13 coeq2 5712 . . . 4 (𝑔 = 𝑌 → (𝑋𝑔) = (𝑋𝑌))
14 eqid 2824 . . . 4 (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)) = (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))
1512, 13, 14ovmpog 7293 . . 3 ((𝑋𝑇𝑌𝑇 ∧ (𝑋𝑌) ∈ V) → (𝑋(𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))𝑌) = (𝑋𝑌))
168, 9, 11, 15syl3anc 1368 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋(𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))𝑌) = (𝑋𝑌))
177, 16eqtrd 2859 1 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3479   ∘ ccom 5542  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142  +gcplusg 16556  LHypclh 37185  LTrncltrn 37302  TGrpctgrp 37943 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-plusg 16569  df-tgrp 37944 This theorem is referenced by:  tgrpgrplem  37950  tgrpabl  37952
 Copyright terms: Public domain W3C validator