Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpov Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgrpov 40130
Description: The group operation value of the translation group is the composition of translations. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpset.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tgrpset.g 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
tgrp.o + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
tgrpov ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋𝑌))

Proof of Theorem tgrpov
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tgrpset.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 tgrpset.g . . . . 5 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4 tgrp.o . . . . 5 + = (+g𝐺)
51, 2, 3, 4tgrpopr 40129 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → + = (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)))
653adant3 1129 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → + = (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)))
76oveqd 7421 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))𝑌))
8 simp3l 1198 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → 𝑋𝑇)
9 simp3r 1199 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → 𝑌𝑇)
10 coexg 7916 . . . 4 ((𝑋𝑇𝑌𝑇) → (𝑋𝑌) ∈ V)
11103ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋𝑌) ∈ V)
12 coeq1 5850 . . . 4 (𝑓 = 𝑋 → (𝑓𝑔) = (𝑋𝑔))
13 coeq2 5851 . . . 4 (𝑔 = 𝑌 → (𝑋𝑔) = (𝑋𝑌))
14 eqid 2726 . . . 4 (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)) = (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))
1512, 13, 14ovmpog 7562 . . 3 ((𝑋𝑇𝑌𝑇 ∧ (𝑋𝑌) ∈ V) → (𝑋(𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))𝑌) = (𝑋𝑌))
168, 9, 11, 15syl3anc 1368 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋(𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))𝑌) = (𝑋𝑌))
177, 16eqtrd 2766 1 ((𝐾𝑉𝑊𝐻 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  ccom 5673  cfv 6536  (class class class)co 7404  cmpo 7406  +gcplusg 17204  LHypclh 39366  LTrncltrn 39483  TGrpctgrp 40124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-tgrp 40125
This theorem is referenced by:  tgrpgrplem  40131  tgrpabl  40133
  Copyright terms: Public domain W3C validator