Theorem tgrpov 41004

Description: The group operation value of the translation group is the composition of translations. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgrpset.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpset.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tgrpset.g	⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
tgrp.o	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgrpov	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))

Proof of Theorem tgrpov

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrpset.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tgrpset.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tgrpset.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4		tgrp.o	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	tgrpopr 41003	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
6	5	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇)) → + = (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
7	6	oveqd 7375	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))𝑌))
8		simp3l 1202	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇)) → 𝑋 ∈ 𝑇)
9		simp3r 1203	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇)) → 𝑌 ∈ 𝑇)
10		coexg 7871	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ V)
11	10	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ V)
12		coeq1 5806	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝑋 ∘ 𝑔))
13		coeq2 5807	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑌 → (𝑋 ∘ 𝑔) = (𝑋 ∘ 𝑌))
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
15	12, 13, 14	ovmpog 7517	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ V) → (𝑋(𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
16	8, 9, 11, 15	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇)) → (𝑋(𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
17	7, 16	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  +_gcplusg 17177  LHypclh 40240  LTrncltrn 40357  TGrpctgrp 40998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-tgrp 40999

This theorem is referenced by:  tgrpgrplem  41005  tgrpabl  41007