Theorem itcoval3 45684

Description: A function iterated three times. (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcoval3	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))

Proof of Theorem itcoval3

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval 45680	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
2	1	fveq1d 6719	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3))
3	2	adantl 485	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3))
4		nn0uz 12476	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		2nn0 12107	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 2 ∈ ℕ0)
7		df-3 11894	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
8	1	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterComp‘𝐹))
9	8	fveq1d 6719	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = ((IterComp‘𝐹)‘2))
10	9	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = ((IterComp‘𝐹)‘2))
11		itcoval2 45683	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
12	10, 11	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
13		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
14		3ne0 11936	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ 0
15		neeq1 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 3 → (𝑖 ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
16	14, 15	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 3 → 𝑖 ≠ 0)
17	16	neneqd 2945	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 3 → ¬ 𝑖 = 0)
18	17	iffalsed 4450	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 3 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
19	18	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 3) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20		3nn0 12108	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 3 ∈ ℕ0)
22		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	13, 19, 21, 22	fvmptd 6825	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘3) = 𝐹)
24	4, 6, 7, 12, 23	seqp1d 13591	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3) = ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26		coeq2 5727	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ∘ 𝐹) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
27	26	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = (𝐹 ∘ 𝐹) ∧ 𝑗 = 𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
28		coexg 7707	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
29	28	anidms 570	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
30		elex 3426	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
31		coexg 7707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V) → (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
32	28, 31	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
33	32	anidms 570	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
34	25, 27, 29, 30, 33	ovmpod 7361	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
35	34	adantl 485	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
36	3, 24, 35	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  Vcvv 3408  ifcif 4439   ↦ cmpt 5135   I cid 5454  dom cdm 5551   ↾ cres 5553   ∘ ccom 5555  Rel wrel 5556  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ∈ cmpo 7215  0cc0 10729  2c2 11885  3c3 11886  ℕ₀cn0 12090  seqcseq 13574  IterCompcitco 45676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-itco 45678

This theorem is referenced by: (None)