Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcoval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itcoval3 48515
Description: A function iterated three times. (Contributed by AV, 2-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcoval3 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)))

Proof of Theorem itcoval3
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itcoval 48511 . . . 4 (𝐹𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
21fveq1d 6909 . . 3 (𝐹𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3))
32adantl 481 . 2 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3))
4 nn0uz 12918 . . 3 0 = (ℤ‘0)
5 2nn0 12541 . . . 4 2 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . 3 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → 2 ∈ ℕ0)
7 df-3 12328 . . 3 3 = (2 + 1)
81eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝐹𝑉 → seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterComp‘𝐹))
98fveq1d 6909 . . . . 5 (𝐹𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = ((IterComp‘𝐹)‘2))
109adantl 481 . . . 4 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = ((IterComp‘𝐹)‘2))
11 itcoval2 48514 . . . 4 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (𝐹𝐹))
1210, 11eqtrd 2775 . . 3 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = (𝐹𝐹))
13 eqidd 2736 . . . 4 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
14 3ne0 12370 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
15 neeq1 3001 . . . . . . . 8 (𝑖 = 3 → (𝑖 ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
1614, 15mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑖 = 3 → 𝑖 ≠ 0)
1716neneqd 2943 . . . . . 6 (𝑖 = 3 → ¬ 𝑖 = 0)
1817iffalsed 4542 . . . . 5 (𝑖 = 3 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
1918adantl 481 . . . 4 (((Rel 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑖 = 3) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20 3nn0 12542 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . 4 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → 3 ∈ ℕ0)
22 simpr 484 . . . 4 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → 𝐹𝑉)
2313, 19, 21, 22fvmptd 7023 . . 3 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘3) = 𝐹)
244, 6, 7, 12, 23seqp1d 14056 . 2 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3) = ((𝐹𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔))𝐹))
25 eqidd 2736 . . . 4 (𝐹𝑉 → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)))
26 coeq2 5872 . . . . 5 (𝑔 = (𝐹𝐹) → (𝐹𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)))
2726ad2antrl 728 . . . 4 ((𝐹𝑉 ∧ (𝑔 = (𝐹𝐹) ∧ 𝑗 = 𝐹)) → (𝐹𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)))
28 coexg 7952 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝐹𝑉) → (𝐹𝐹) ∈ V)
2928anidms 566 . . . 4 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐹) ∈ V)
30 elex 3499 . . . 4 (𝐹𝑉𝐹 ∈ V)
31 coexg 7952 . . . . . 6 ((𝐹𝑉 ∧ (𝐹𝐹) ∈ V) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)) ∈ V)
3228, 31syldan 591 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝐹𝑉) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)) ∈ V)
3332anidms 566 . . . 4 (𝐹𝑉 → (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)) ∈ V)
3425, 27, 29, 30, 33ovmpod 7585 . . 3 (𝐹𝑉 → ((𝐹𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)))
3534adantl 481 . 2 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → ((𝐹𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)))
363, 24, 353eqtrd 2779 1 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  ifcif 4531  cmpt 5231   I cid 5582  dom cdm 5689  cres 5691  ccom 5693  Rel wrel 5694  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  0cc0 11153  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  seqcseq 14039  IterCompcitco 48507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-itco 48509
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator