Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcoval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itcoval3 45120
 Description: A function iterated three times. (Contributed by AV, 2-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcoval3 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)))

Proof of Theorem itcoval3
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itcoval 45116 . . . 4 (𝐹𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
21fveq1d 6648 . . 3 (𝐹𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3))
32adantl 485 . 2 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3))
4 nn0uz 12271 . . 3 0 = (ℤ‘0)
5 2nn0 11905 . . . 4 2 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . 3 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → 2 ∈ ℕ0)
7 df-3 11692 . . 3 3 = (2 + 1)
81eqcomd 2804 . . . . . 6 (𝐹𝑉 → seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterComp‘𝐹))
98fveq1d 6648 . . . . 5 (𝐹𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = ((IterComp‘𝐹)‘2))
109adantl 485 . . . 4 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = ((IterComp‘𝐹)‘2))
11 itcoval2 45119 . . . 4 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (𝐹𝐹))
1210, 11eqtrd 2833 . . 3 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = (𝐹𝐹))
13 eqidd 2799 . . . 4 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
14 3ne0 11734 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
15 neeq1 3049 . . . . . . . 8 (𝑖 = 3 → (𝑖 ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
1614, 15mpbiri 261 . . . . . . 7 (𝑖 = 3 → 𝑖 ≠ 0)
1716neneqd 2992 . . . . . 6 (𝑖 = 3 → ¬ 𝑖 = 0)
1817iffalsed 4436 . . . . 5 (𝑖 = 3 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
1918adantl 485 . . . 4 (((Rel 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑖 = 3) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20 3nn0 11906 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . 4 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → 3 ∈ ℕ0)
22 simpr 488 . . . 4 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → 𝐹𝑉)
2313, 19, 21, 22fvmptd 6753 . . 3 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘3) = 𝐹)
244, 6, 7, 12, 23seqp1d 13384 . 2 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3) = ((𝐹𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔))𝐹))
25 eqidd 2799 . . . 4 (𝐹𝑉 → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)))
26 coeq2 5694 . . . . 5 (𝑔 = (𝐹𝐹) → (𝐹𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)))
2726ad2antrl 727 . . . 4 ((𝐹𝑉 ∧ (𝑔 = (𝐹𝐹) ∧ 𝑗 = 𝐹)) → (𝐹𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)))
28 coexg 7619 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝐹𝑉) → (𝐹𝐹) ∈ V)
2928anidms 570 . . . 4 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐹) ∈ V)
30 elex 3459 . . . 4 (𝐹𝑉𝐹 ∈ V)
31 coexg 7619 . . . . . 6 ((𝐹𝑉 ∧ (𝐹𝐹) ∈ V) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)) ∈ V)
3228, 31syldan 594 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝐹𝑉) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)) ∈ V)
3332anidms 570 . . . 4 (𝐹𝑉 → (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)) ∈ V)
3425, 27, 29, 30, 33ovmpod 7283 . . 3 (𝐹𝑉 → ((𝐹𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)))
3534adantl 485 . 2 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → ((𝐹𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)))
363, 24, 353eqtrd 2837 1 ((Rel 𝐹𝐹𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  ifcif 4425   ↦ cmpt 5111   I cid 5425  dom cdm 5520   ↾ cres 5522   ∘ ccom 5524  Rel wrel 5525  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∈ cmpo 7138  0cc0 10529  2c2 11683  3c3 11684  ℕ0cn0 11888  seqcseq 13367  IterCompcitco 45112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-seq 13368  df-itco 45114 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator