Theorem itcoval3 49870

Description: A function iterated three times. (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcoval3	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))

Proof of Theorem itcoval3

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval 49866	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
2	1	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3))
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3))
4		nn0uz 13006	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		2nn0 12626	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 2 ∈ ℕ0)
7		df-3 12409	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
8	1	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterComp‘𝐹))
9	8	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = ((IterComp‘𝐹)‘2))
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = ((IterComp‘𝐹)‘2))
11		itcoval2 49869	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
12	10, 11	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
13		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
14		3ne0 12455	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ 0
15		neeq1 3017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 3 → (𝑖 ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
16	14, 15	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 3 → 𝑖 ≠ 0)
17	16	neneqd 2960	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 3 → ¬ 𝑖 = 0)
18	17	iffalsed 4492	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 3 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 3) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20		3nn0 12627	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 3 ∈ ℕ0)
22		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	13, 19, 21, 22	fvmptd 7001	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘3) = 𝐹)
24	4, 6, 7, 12, 23	seqp1d 14164	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3) = ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26		coeq2 5835	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ∘ 𝐹) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
27	26	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = (𝐹 ∘ 𝐹) ∧ 𝑗 = 𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
28		coexg 7941	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
29	28	anidms 577	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
30		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
31		coexg 7941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V) → (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
32	28, 31	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
33	32	anidms 577	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
34	25, 27, 29, 30, 33	ovmpod 7572	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
35	34	adantl 487	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
36	3, 24, 35	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185   I cid 5544  dom cdm 5650   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  Rel wrel 5655  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  0cc0 11203  2c2 12400  3c3 12401  ℕ₀cn0 12609  seqcseq 14147  IterCompcitco 49862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-seq 14148  df-itco 49864

This theorem is used by: (None)