Theorem itcoval3 48586

Description: A function iterated three times. (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcoval3	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))

Proof of Theorem itcoval3

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval 48582	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
2	1	fveq1d 6908	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3))
4		nn0uz 12920	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		2nn0 12543	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 2 ∈ ℕ0)
7		df-3 12330	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
8	1	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterComp‘𝐹))
9	8	fveq1d 6908	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = ((IterComp‘𝐹)‘2))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = ((IterComp‘𝐹)‘2))
11		itcoval2 48585	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
12	10, 11	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
13		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
14		3ne0 12372	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ 0
15		neeq1 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 3 → (𝑖 ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
16	14, 15	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 3 → 𝑖 ≠ 0)
17	16	neneqd 2945	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 3 → ¬ 𝑖 = 0)
18	17	iffalsed 4536	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 3 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 3) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20		3nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 3 ∈ ℕ0)
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	13, 19, 21, 22	fvmptd 7023	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘3) = 𝐹)
24	4, 6, 7, 12, 23	seqp1d 14059	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘3) = ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26		coeq2 5869	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ∘ 𝐹) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
27	26	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = (𝐹 ∘ 𝐹) ∧ 𝑗 = 𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
28		coexg 7951	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
29	28	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
30		elex 3501	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
31		coexg 7951	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V) → (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
32	28, 31	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
33	32	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
34	25, 27, 29, 30, 33	ovmpod 7585	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
35	34	adantl 481	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
36	3, 24, 35	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘3) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480  ifcif 4525   ↦ cmpt 5225   I cid 5577  dom cdm 5685   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  Rel wrel 5690  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  0cc0 11155  2c2 12321  3c3 12322  ℕ₀cn0 12526  seqcseq 14042  IterCompcitco 48578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-itco 48580

This theorem is referenced by: (None)