Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcoval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itcoval3 46904
Description: A function iterated three times. (Contributed by AV, 2-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcoval3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜3) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
Proof of Theorem itcoval3
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itcoval 46900 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (IterCompβ€˜πΉ) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))))
21fveq1d 6864 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜3))
32adantl 482 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜3))
4 nn0uz 12829 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5 2nn0 12454 . . . 4 2 ∈ β„•0
65a1i 11 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 2 ∈ β„•0)
7 df-3 12241 . . 3 3 = (2 + 1)
81eqcomd 2737 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterCompβ€˜πΉ))
98fveq1d 6864 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2) = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2))
109adantl 482 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2) = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2))
11 itcoval2 46903 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
1210, 11eqtrd 2771 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
13 eqidd 2732 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))
14 3ne0 12283 . . . . . . . 8 3 β‰  0
15 neeq1 3002 . . . . . . . 8 (𝑖 = 3 β†’ (𝑖 β‰  0 ↔ 3 β‰  0))
1614, 15mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝑖 = 3 β†’ 𝑖 β‰  0)
1716neneqd 2944 . . . . . 6 (𝑖 = 3 β†’ Β¬ 𝑖 = 0)
1817iffalsed 4517 . . . . 5 (𝑖 = 3 β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
1918adantl 482 . . . 4 (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 3) β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20 3nn0 12455 . . . . 5 3 ∈ β„•0
2120a1i 11 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 3 ∈ β„•0)
22 simpr 485 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
2313, 19, 21, 22fvmptd 6975 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))β€˜3) = 𝐹)
244, 6, 7, 12, 23seqp1d 13948 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜3) = ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25 eqidd 2732 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26 coeq2 5834 . . . . 5 (𝑔 = (𝐹 ∘ 𝐹) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
2726ad2antrl 726 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = (𝐹 ∘ 𝐹) ∧ 𝑗 = 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
28 coexg 7886 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
2928anidms 567 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
30 elex 3477 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ V)
31 coexg 7886 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V) β†’ (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
3228, 31syldan 591 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
3332anidms 567 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
3425, 27, 29, 30, 33ovmpod 7527 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
3534adantl 482 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
363, 24, 353eqtrd 2775 1 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜3) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  Vcvv 3459  ifcif 4506   ↦ cmpt 5208   I cid 5550  dom cdm 5653   β†Ύ cres 5655   ∘ ccom 5657  Rel wrel 5658  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ∈ cmpo 7379  0cc0 11075  2c2 12232  3c3 12233  β„•0cn0 12437  seqcseq 13931  IterCompcitco 46896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-seq 13932  df-itco 46898
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator