Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcoval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itcoval3 47438
Description: A function iterated three times. (Contributed by AV, 2-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcoval3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜3) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
Proof of Theorem itcoval3
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itcoval 47434 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (IterCompβ€˜πΉ) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))))
21fveq1d 6892 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜3))
32adantl 480 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜3) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜3))
4 nn0uz 12868 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5 2nn0 12493 . . . 4 2 ∈ β„•0
65a1i 11 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 2 ∈ β„•0)
7 df-3 12280 . . 3 3 = (2 + 1)
81eqcomd 2736 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterCompβ€˜πΉ))
98fveq1d 6892 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2) = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2))
109adantl 480 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2) = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2))
11 itcoval2 47437 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
1210, 11eqtrd 2770 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
13 eqidd 2731 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))
14 3ne0 12322 . . . . . . . 8 3 β‰  0
15 neeq1 3001 . . . . . . . 8 (𝑖 = 3 β†’ (𝑖 β‰  0 ↔ 3 β‰  0))
1614, 15mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝑖 = 3 β†’ 𝑖 β‰  0)
1716neneqd 2943 . . . . . 6 (𝑖 = 3 β†’ Β¬ 𝑖 = 0)
1817iffalsed 4538 . . . . 5 (𝑖 = 3 β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
1918adantl 480 . . . 4 (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 3) β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20 3nn0 12494 . . . . 5 3 ∈ β„•0
2120a1i 11 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 3 ∈ β„•0)
22 simpr 483 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
2313, 19, 21, 22fvmptd 7004 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))β€˜3) = 𝐹)
244, 6, 7, 12, 23seqp1d 13987 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜3) = ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25 eqidd 2731 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26 coeq2 5857 . . . . 5 (𝑔 = (𝐹 ∘ 𝐹) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
2726ad2antrl 724 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = (𝐹 ∘ 𝐹) ∧ 𝑗 = 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
28 coexg 7922 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
2928anidms 565 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
30 elex 3491 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ V)
31 coexg 7922 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V) β†’ (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
3228, 31syldan 589 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
3332anidms 565 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)) ∈ V)
3425, 27, 29, 30, 33ovmpod 7562 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
3534adantl 480 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
363, 24, 353eqtrd 2774 1 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜3) = (𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230   I cid 5572  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  Rel wrel 5680  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  0cc0 11112  2c2 12271  3c3 12272  β„•0cn0 12476  seqcseq 13970  IterCompcitco 47430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-itco 47432
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator