Theorem symgov 19330

Description: The value of the group operation of the symmetric group on 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgov.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgov.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgov.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgov	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))

Proof of Theorem symgov

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgov.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴)
3		symgov.3	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	symgplusg 19329	. . 3 ⊢ + = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → + = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
6		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → 𝑓 = 𝑋)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → 𝑔 = 𝑌)
8	6, 7	coeq12d 5823	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝑋 ∘ 𝑌))
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌)) → (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝑋 ∘ 𝑌))
10		symgov.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11	1, 10	symgbasmap 19323	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
13	1, 10	symgbasmap 19323	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
15		coexg 7883	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ V)
16	5, 9, 12, 14, 15	ovmpod 7522	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∘ ccom 5638  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∈ cmpo 7372   ↑_m cmap 8777  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  SymGrpcsymg 19315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-tset 17210  df-efmnd 18808  df-symg 19316

This theorem is referenced by:  symgcl  19331  symggrp  19346  symginv  19348  galactghm  19350  lactghmga  19351  gsumccatsymgsn  19372  symgsssg  19413  symgfisg  19414  symggen  19416  psgnunilem5  19440  psgnunilem2  19441  psgnco  21555  mdetralt  22569  mdetunilem7  22579  symgfcoeu  33182  symgcntz  33185  odpmco  33186  symgsubg  33187  fzto1st  33203  cyc3co2  33240  cycpmconjv  33242  cyc3evpm  33250  cyc3genpmlem  33251  cycpmconjs  33256  cyc3conja  33257  mplvrpmga  33728  mdetpmtr1  34007  madjusmdetlem3  34013  madjusmdetlem4  34014  pgrpgt2nabl  48755