Theorem symgov 19356

Description: The value of the group operation of the symmetric group on 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgov.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgov.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgov.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgov	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))

Proof of Theorem symgov

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgov.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴)
3		symgov.3	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	symgplusg 19355	. . 3 ⊢ + = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → + = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
6		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → 𝑓 = 𝑋)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → 𝑔 = 𝑌)
8	6, 7	coeq12d 5817	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝑋 ∘ 𝑌))
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌)) → (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝑋 ∘ 𝑌))
10		symgov.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11	1, 10	symgbasmap 19349	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
13	1, 10	symgbasmap 19349	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
15		coexg 7877	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ V)
16	5, 9, 12, 14, 15	ovmpod 7516	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∘ ccom 5632  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364   ∈ cmpo 7366   ↑_m cmap 8770  Basecbs 17176  +_gcplusg 17217  SymGrpcsymg 19341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-uz 12786  df-fz 13459  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-tset 17236  df-efmnd 18834  df-symg 19342

This theorem is referenced by:  symgcl  19357  symggrp  19372  symginv  19374  galactghm  19376  lactghmga  19377  gsumccatsymgsn  19398  symgsssg  19439  symgfisg  19440  symggen  19442  psgnunilem5  19466  psgnunilem2  19467  psgnco  21579  mdetralt  22589  mdetunilem7  22599  symgfcoeu  33164  symgcntz  33167  odpmco  33168  symgsubg  33169  fzto1st  33185  cyc3co2  33222  cycpmconjv  33224  cyc3evpm  33232  cyc3genpmlem  33233  cycpmconjs  33238  cyc3conja  33239  mplvrpmga  33710  mdetpmtr1  33989  madjusmdetlem3  33995  madjusmdetlem4  33996  pgrpgt2nabl  48862