Theorem symgcl 18006

Description: The group operation of the symmetric group on 𝐴 is closed, i.e. a magma. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgplusg.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgplusg.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgplusg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgcl	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem symgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgplusg.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symgplusg.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		symgplusg.3	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	symgov 18005	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
5	1, 2	symgbasf1o 17998	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋:𝐴–1-1-onto→𝐴)
6	1, 2	symgbasf1o 17998	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌:𝐴–1-1-onto→𝐴)
7		f1oco 6369	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑌:𝐴–1-1-onto→𝐴) → (𝑋 ∘ 𝑌):𝐴–1-1-onto→𝐴)
8	5, 6, 7	syl2an 585	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘ 𝑌):𝐴–1-1-onto→𝐴)
9		coexg 7341	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ V)
10	1, 2	elsymgbas2 17996	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ V → ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∘ 𝑌):𝐴–1-1-onto→𝐴))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∘ 𝑌):𝐴–1-1-onto→𝐴))
12	8, 11	mpbird 248	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵)
13	4, 12	eqeltrd 2881	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1637   ∈ wcel 2155  Vcvv 3387   ∘ ccom 5309  –1-1-onto→wf1o 6094  ‘cfv 6095  (class class class)co 6868  Basecbs 16062  +_gcplusg 16147  SymGrpcsymg 17992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-er 7973  df-map 8088  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-4 11360  df-5 11361  df-6 11362  df-7 11363  df-8 11364  df-9 11365  df-n0 11554  df-z 11638  df-uz 11899  df-fz 12544  df-struct 16064  df-ndx 16065  df-slot 16066  df-base 16068  df-plusg 16160  df-tset 16166  df-symg 17993

This theorem is referenced by:  symggrp  18015  symgfcoeu  30164  fzto1st  30172  mdetpmtr1  30208  madjusmdetlem3  30214  madjusmdetlem4  30215