Theorem symgcl 18515

Description: The group operation of the symmetric group on 𝐴 is closed, i.e. a magma. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgov.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgov.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgov.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgcl	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem symgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgov.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symgov.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		symgov.3	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	symgov 18514	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
5	1, 2	symgbasf1o 18505	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋:𝐴–1-1-onto→𝐴)
6	1, 2	symgbasf1o 18505	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌:𝐴–1-1-onto→𝐴)
7		f1oco 6639	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑌:𝐴–1-1-onto→𝐴) → (𝑋 ∘ 𝑌):𝐴–1-1-onto→𝐴)
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘ 𝑌):𝐴–1-1-onto→𝐴)
9		coexg 7636	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ V)
10	1, 2	elsymgbas2 18503	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ V → ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∘ 𝑌):𝐴–1-1-onto→𝐴))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∘ 𝑌):𝐴–1-1-onto→𝐴))
12	8, 11	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵)
13	4, 12	eqeltrd 2915	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∘ ccom 5561  –1-1-onto→wf1o 6356  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  SymGrpcsymg 18497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-tset 16586  df-efmnd 18036  df-symg 18498

This theorem is referenced by:  symggrp  18530  symgfcoeu  30728  odpmco  30732  fzto1st  30747  cycpmconjv  30786  cyc3conja  30801  mdetpmtr1  31090  madjusmdetlem3  31096  madjusmdetlem4  31097