Theorem symgcl 19366

Description: The group operation of the symmetric group on 𝐴 is closed, i.e. a magma. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgov.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgov.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgov.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgcl	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem symgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgov.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symgov.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		symgov.3	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	symgov 19365	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
5	1, 2	symgbasf1o 19356	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋:𝐴–1-1-onto→𝐴)
6	1, 2	symgbasf1o 19356	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌:𝐴–1-1-onto→𝐴)
7		f1oco 6841	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑌:𝐴–1-1-onto→𝐴) → (𝑋 ∘ 𝑌):𝐴–1-1-onto→𝐴)
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘ 𝑌):𝐴–1-1-onto→𝐴)
9		coexg 7925	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ V)
10	1, 2	elsymgbas2 19354	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ V → ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∘ 𝑌):𝐴–1-1-onto→𝐴))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∘ 𝑌):𝐴–1-1-onto→𝐴))
12	8, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵)
13	4, 12	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∘ ccom 5658  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  SymGrpcsymg 19350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-tset 17290  df-efmnd 18847  df-symg 19351

This theorem is referenced by:  symggrp  19381  symgfcoeu  33093  odpmco  33097  fzto1st  33114  cycpmconjv  33153  cyc3conja  33168  mdetpmtr1  33854  madjusmdetlem3  33860  madjusmdetlem4  33861