Theorem evls1sca 22549

Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1sca.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1sca.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1sca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1sca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evls1sca	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evls1sca

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8471	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
2		evls1sca.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evls1sca.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
6		evls1sca.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
8		evls1sca.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 22305	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
10	1, 2, 3, 9	mp3an2i 1495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
11		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
12		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
13	11, 12	rhmf 20627	. . . . 5 ⊢ (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
14	10, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15		evls1sca.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17	6	subrgring 20737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
18	3, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
19		evls1sca.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
20	19	ply1ring 22473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
21	18, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
22	19	ply1lmod 22477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
23	18, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
24		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
25		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
26	15, 16, 21, 23, 24, 25	asclf 22097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
27	8	subrgss 20735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
28	3, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐵)
29	6, 8	ressbas2 17334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
31	19	ply1sca 22478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
32	18, 31	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
33	32	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	30, 33	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	19, 25	ply1bas 22421	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
37	36	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘𝑊))
38	34, 37	feq23d 6701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)) ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊)))
39	26, 38	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)))
40		evls1sca.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
41	39, 40	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
42		fvco3 6982	. . . 4 ⊢ ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈))) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))))
43	14, 41, 42	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))))
44	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (algSc‘𝑊))
45		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
46	19, 45	ply1ascl 22485	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
47	44, 46	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑈)))
48	47	fveq1d 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋))
49	48	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)))
50		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘(1o mPoly 𝑈)) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
51	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
52	4, 5, 6, 8, 50, 51, 2, 3, 40	evlssca 22311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
53	49, 52	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
54	53	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})))
55		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
56		coeq1 5841	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
57	56	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
58	28, 40	sseldd 3935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
59		fconst6g 6768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵)
60	58, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵)
61	8	fvexi 6896	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
63		ovex 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 1o) ∈ V)
65	62, 64	elmapd 8842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↔ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵))
66	60, 65	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)))
67		snex 5408	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑋} ∈ V
68	63, 67	xpex 7755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V)
70	62	mptexd 7226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V)
71		coexg 7929	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V) → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
72	69, 70, 71	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
73	55, 57, 66, 72	fvmptd 6998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
74		fconst6g 6768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵)
75	74	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵)
76	61, 1	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
78		elmapg 8841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵))
79	77, 78	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵))
80	75, 79	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o))
81		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
82		fconstmpt 5721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
83	82	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
84		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
85	80, 81, 83, 84	fmptco 7126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
86	73, 85	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
87	43, 54, 86	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
88		elpwg 4563	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
89	27, 88	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
90	3, 89	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
91		evls1sca.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
92		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
93	91, 92, 8	evls1fval 22545	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
94	2, 90, 93	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
95	94	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)))
96		fconstmpt 5721	. . 3 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
97	96	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
98	87, 95, 97	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  {csn 4587   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657   ∘ ccom 5663  Oncon0 6361  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1_oc1o 8451   ↑_m cmap 8829  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  Scalarcsca 17349   ↑_s cpws 17535  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374   RingHom crh 20611  SubRingcsubrg 20732  LModclmod 21045  algSccascl 22068   mPoly cmpl 22122   evalSub ces 22289  Poly₁cpl1 22403   evalSub₁ ces1 22539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-assa 22069  df-asp 22070  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-evls 22291  df-psr1 22406  df-ply1 22408  df-evls1 22541

This theorem is used by:  evls1scasrng  22565  evls1scafv  22592  evls1maprnss  22604