MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1sca 22311
Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1sca.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
evls1sca.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1sca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1sca.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1sca.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1sca.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
evls1sca (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evls1sca
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8500 . . . . . 6 1o ∈ On
2 evls1sca.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evls1sca.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 eqid 2726 . . . . . . 7 ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 eqid 2726 . . . . . . 7 (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
6 evls1sca.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
7 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐵m 1o)) = (𝑆s (𝐵m 1o))
8 evls1sca.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 22099 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))))
101, 2, 3, 9mp3an2i 1463 . . . . 5 (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))))
11 eqid 2726 . . . . . 6 (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
12 eqid 2726 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))) = (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o)))
1311, 12rhmf 20463 . . . . 5 (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
1410, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
15 evls1sca.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16 eqid 2726 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
176subrgring 20554 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
183, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
19 evls1sca.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (Poly1𝑈)
2019ply1ring 22233 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
2219ply1lmod 22237 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
2318, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
24 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
25 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2615, 16, 21, 23, 24, 25asclf 21875 . . . . . 6 (𝜑𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
278subrgss 20552 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
283, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐵)
296, 8ressbas2 17246 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘𝑈))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Base‘𝑈))
3119ply1sca 22238 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ Ring → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
3218, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (Scalar‘𝑊))
3332fveq2d 6897 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3430, 33eqtrd 2766 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3519, 25ply1bas 22180 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
3736eqcomd 2732 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘𝑊))
3834, 37feq23d 6715 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)) ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊)))
3926, 38mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)))
40 evls1sca.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑅)
4139, 40ffvelcdmd 7091 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
42 fvco3 6993 . . . 4 ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))) ∧ (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈))) → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))))
4314, 41, 42syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))))
4415a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (algSc‘𝑊))
45 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
4619, 45ply1ascl 22245 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑊) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
4744, 46eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑈)))
4847fveq1d 6895 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋))
4948fveq2d 6897 . . . . 5 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)))
50 eqid 2726 . . . . . 6 (algSc‘(1o mPoly 𝑈)) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
511a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1o ∈ On)
524, 5, 6, 8, 50, 51, 2, 3, 40evlssca 22100 . . . . 5 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)) = ((𝐵m 1o) × {𝑋}))
5349, 52eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵m 1o) × {𝑋}))
5453fveq2d 6897 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵m 1o) × {𝑋})))
55 eqidd 2727 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
56 coeq1 5856 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝐵m 1o) × {𝑋}) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
5756adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = ((𝐵m 1o) × {𝑋})) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
5828, 40sseldd 3979 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
59 fconst6g 6783 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}):(𝐵m 1o)⟶𝐵)
6058, 59syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}):(𝐵m 1o)⟶𝐵)
618fvexi 6907 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
63 ovex 7449 . . . . . . . 8 (𝐵m 1o) ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵m 1o) ∈ V)
6562, 64elmapd 8861 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↔ ((𝐵m 1o) × {𝑋}):(𝐵m 1o)⟶𝐵))
6660, 65mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)))
67 snex 5429 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ V
6863, 67xpex 7753 . . . . . . 7 ((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ V
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ V)
7062mptexd 7233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V)
71 coexg 7934 . . . . . 6 ((((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V) → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
7269, 70, 71syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
7355, 57, 66, 72fvmptd 7008 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵m 1o) × {𝑋})) = (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
74 fconst6g 6783 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → (1o × {𝑦}):1o𝐵)
7574adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (1o × {𝑦}):1o𝐵)
7661, 1pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
7776a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
78 elmapg 8860 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o𝐵))
7977, 78syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o𝐵))
8075, 79mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o))
81 eqidd 2727 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
82 fconstmpt 5736 . . . . . 6 ((𝐵m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ 𝑋)
8382a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ 𝑋))
84 eqidd 2727 . . . . 5 (𝑧 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
8580, 81, 83, 84fmptco 7135 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦𝐵𝑋))
8673, 85eqtrd 2766 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵m 1o) × {𝑋})) = (𝑦𝐵𝑋))
8743, 54, 863eqtrd 2770 . 2 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = (𝑦𝐵𝑋))
88 elpwg 4600 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
8927, 88mpbird 256 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
903, 89syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
91 evls1sca.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
92 eqid 2726 . . . . 5 (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
9391, 92, 8evls1fval 22307 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
942, 90, 93syl2anc 582 . . 3 (𝜑𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
9594fveq1d 6895 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)))
96 fconstmpt 5736 . . 3 (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋)
9796a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋))
9887, 95, 973eqtr4d 2776 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3946  𝒫 cpw 4597  {csn 4623  cmpt 5228   × cxp 5672  ccom 5678  Oncon0 6368  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  1oc1o 8481  m cmap 8847  Basecbs 17208  s cress 17237  Scalarcsca 17264  s cpws 17456  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213   RingHom crh 20447  SubRingcsubrg 20547  LModclmod 20832  algSccascl 21846   mPoly cmpl 21899   evalSub ces 22081  Poly1cpl1 22162   evalSub1 ces1 22301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-hash 14343  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-hom 17285  df-cco 17286  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-prds 17457  df-pws 17459  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-mulg 19058  df-subg 19113  df-ghm 19203  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-rhm 20450  df-subrng 20524  df-subrg 20549  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-lsp 20945  df-assa 21847  df-asp 21848  df-ascl 21849  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-evls 22083  df-psr1 22165  df-ply1 22167  df-evls1 22303
This theorem is referenced by:  evls1scasrng  22327  evls1scafv  22354  evls1maprnss  22366
  Copyright terms: Public domain W3C validator