MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1sca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evls1sca 21833
Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1sca.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
evls1sca.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evls1sca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evls1sca.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
evls1sca.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evls1sca.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
evls1sca (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝐡 Γ— {𝑋}))
Proof of Theorem evls1sca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8474 . . . . . 6 1o ∈ On
2 evls1sca.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3 evls1sca.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
4 eqid 2732 . . . . . . 7 ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) = ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (1o mPoly π‘ˆ) = (1o mPoly π‘ˆ)
6 evls1sca.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
7 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))
8 evls1sca.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 21642 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
101, 2, 3, 9mp3an2i 1466 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
11 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
12 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))
1311, 12rhmf 20255 . . . . 5 (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
1410, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
15 evls1sca.a . . . . . . 7 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
16 eqid 2732 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
176subrgring 20358 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
183, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
19 evls1sca.w . . . . . . . . 9 π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
2019ply1ring 21761 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Ring)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
2219ply1lmod 21765 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ LMod)
2318, 22syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
24 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
25 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2615, 16, 21, 23, 24, 25asclf 21427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢(Baseβ€˜π‘Š))
278subrgss 20356 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
283, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
296, 8ressbas2 17178 . . . . . . . . 9 (𝑅 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3119ply1sca 21766 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
3218, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
3332fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3430, 33eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
35 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (PwSer1β€˜π‘ˆ) = (PwSer1β€˜π‘ˆ)
3619, 35, 25ply1bas 21710 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
3837eqcomd 2738 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜π‘Š))
3934, 38feq23d 6709 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴:π‘…βŸΆ(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) ↔ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢(Baseβ€˜π‘Š)))
4026, 39mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘…βŸΆ(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
41 evls1sca.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
4240, 41ffvelcdmd 7084 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
43 fvco3 6987 . . . 4 ((((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜(((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹))))
4414, 42, 43syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜(((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹))))
4515a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š))
46 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜π‘Š)
4719, 46ply1ascl 21771 . . . . . . . 8 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
4845, 47eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
4948fveq1d 6890 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘‹) = ((algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))β€˜π‘‹))
5049fveq2d 6892 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))β€˜π‘‹)))
51 eqid 2732 . . . . . 6 (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) = (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
521a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1o ∈ On)
534, 5, 6, 8, 51, 52, 2, 3, 41evlssca 21643 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}))
5450, 53eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}))
5554fveq2d 6892 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜(((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹))) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})))
56 eqidd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) = (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))))
57 coeq1 5855 . . . . . 6 (π‘₯ = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) β†’ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
5857adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})) β†’ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
5928, 41sseldd 3982 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
60 fconst6g 6777 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}):(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}):(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
628fvexi 6902 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
64 ovex 7438 . . . . . . . 8 (𝐡 ↑m 1o) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 ↑m 1o) ∈ V)
6663, 65elmapd 8830 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↔ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}):(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡))
6761, 66mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)))
68 snex 5430 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ V
6964, 68xpex 7736 . . . . . . 7 ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ V
7069a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ V)
7163mptexd 7222 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) ∈ V)
72 coexg 7916 . . . . . 6 ((((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) ∈ V) β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ V)
7370, 71, 72syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ V)
7456, 58, 67, 73fvmptd 7002 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
75 fconst6g 6777 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡)
7675adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡)
7762, 1pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
79 elmapg 8829 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ V ∧ 1o ∈ On) β†’ ((1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡))
8176, 80mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o))
82 eqidd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))
83 fconstmpt 5736 . . . . . 6 ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
8483a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
85 eqidd 2733 . . . . 5 (𝑧 = (1o Γ— {𝑦}) β†’ 𝑋 = 𝑋)
8681, 82, 84, 85fmptco 7123 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
8774, 86eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
8844, 55, 873eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
89 elpwg 4604 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑅 βŠ† 𝐡))
9027, 89mpbird 256 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡)
913, 90syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡)
92 evls1sca.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
93 eqid 2732 . . . . 5 (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
9492, 93, 8evls1fval 21829 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)))
952, 91, 94syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)))
9695fveq1d 6890 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)))
97 fconstmpt 5736 . . 3 (𝐡 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋)
9897a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
9988, 96, 983eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝐡 Γ— {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  Oncon0 6361  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1oc1o 8455   ↑m cmap 8816  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  Scalarcsca 17196   ↑s cpws 17388  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  SubRingcsubrg 20351  LModclmod 20463  algSccascl 21398   mPoly cmpl 21450   evalSub ces 21624  PwSer1cps1 21690  Poly1cpl1 21692   evalSub1 ces1 21823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-evls 21626  df-psr1 21695  df-ply1 21697  df-evls1 21825
This theorem is referenced by:  evls1scasrng  21849  evls1scafv  32631  evls1maprnss  32749
  Copyright terms: Public domain W3C validator