MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1sca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evls1sca 21849
Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1sca.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
evls1sca.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evls1sca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evls1sca.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
evls1sca.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evls1sca.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
evls1sca (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝐡 Γ— {𝑋}))
Proof of Theorem evls1sca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8480 . . . . . 6 1o ∈ On
2 evls1sca.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3 evls1sca.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
4 eqid 2732 . . . . . . 7 ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) = ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (1o mPoly π‘ˆ) = (1o mPoly π‘ˆ)
6 evls1sca.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
7 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))
8 evls1sca.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 21657 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
101, 2, 3, 9mp3an2i 1466 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
11 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
12 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))
1311, 12rhmf 20267 . . . . 5 (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
1410, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
15 evls1sca.a . . . . . . 7 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
16 eqid 2732 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
176subrgring 20326 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
183, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
19 evls1sca.w . . . . . . . . 9 π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
2019ply1ring 21777 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Ring)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
2219ply1lmod 21781 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ LMod)
2318, 22syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
24 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
25 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2615, 16, 21, 23, 24, 25asclf 21442 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢(Baseβ€˜π‘Š))
278subrgss 20324 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
283, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
296, 8ressbas2 17184 . . . . . . . . 9 (𝑅 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3119ply1sca 21782 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
3218, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
3332fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3430, 33eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
35 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (PwSer1β€˜π‘ˆ) = (PwSer1β€˜π‘ˆ)
3619, 35, 25ply1bas 21725 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
3837eqcomd 2738 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜π‘Š))
3934, 38feq23d 6712 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴:π‘…βŸΆ(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) ↔ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢(Baseβ€˜π‘Š)))
4026, 39mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘…βŸΆ(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
41 evls1sca.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
4240, 41ffvelcdmd 7087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
43 fvco3 6990 . . . 4 ((((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜(((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹))))
4414, 42, 43syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜(((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹))))
4515a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š))
46 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜π‘Š)
4719, 46ply1ascl 21787 . . . . . . . 8 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
4845, 47eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
4948fveq1d 6893 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘‹) = ((algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))β€˜π‘‹))
5049fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))β€˜π‘‹)))
51 eqid 2732 . . . . . 6 (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) = (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
521a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1o ∈ On)
534, 5, 6, 8, 51, 52, 2, 3, 41evlssca 21658 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}))
5450, 53eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}))
5554fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜(((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹))) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})))
56 eqidd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) = (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))))
57 coeq1 5857 . . . . . 6 (π‘₯ = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) β†’ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
5857adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})) β†’ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
5928, 41sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
60 fconst6g 6780 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}):(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}):(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
628fvexi 6905 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
64 ovex 7444 . . . . . . . 8 (𝐡 ↑m 1o) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 ↑m 1o) ∈ V)
6663, 65elmapd 8836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↔ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}):(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡))
6761, 66mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)))
68 snex 5431 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ V
6964, 68xpex 7742 . . . . . . 7 ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ V
7069a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ V)
7163mptexd 7228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) ∈ V)
72 coexg 7922 . . . . . 6 ((((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) ∈ V) β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ V)
7370, 71, 72syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ V)
7456, 58, 67, 73fvmptd 7005 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
75 fconst6g 6780 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡)
7675adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡)
7762, 1pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
79 elmapg 8835 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ V ∧ 1o ∈ On) β†’ ((1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡))
8176, 80mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o))
82 eqidd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))
83 fconstmpt 5738 . . . . . 6 ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
8483a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
85 eqidd 2733 . . . . 5 (𝑧 = (1o Γ— {𝑦}) β†’ 𝑋 = 𝑋)
8681, 82, 84, 85fmptco 7129 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
8774, 86eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
8844, 55, 873eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
89 elpwg 4605 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑅 βŠ† 𝐡))
9027, 89mpbird 256 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡)
913, 90syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡)
92 evls1sca.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
93 eqid 2732 . . . . 5 (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
9492, 93, 8evls1fval 21845 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)))
952, 91, 94syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)))
9695fveq1d 6893 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)))
97 fconstmpt 5738 . . 3 (𝐡 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋)
9897a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
9988, 96, 983eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝐡 Γ— {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   ∘ ccom 5680  Oncon0 6364  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1oc1o 8461   ↑m cmap 8822  Basecbs 17146   β†Ύs cress 17175  Scalarcsca 17202   ↑s cpws 17394  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059   RingHom crh 20252  SubRingcsubrg 20319  LModclmod 20475  algSccascl 21413   mPoly cmpl 21465   evalSub ces 21639  PwSer1cps1 21705  Poly1cpl1 21707   evalSub1 ces1 21839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-srg 20012  df-ring 20060  df-cring 20061  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-assa 21414  df-asp 21415  df-ascl 21416  df-psr 21468  df-mvr 21469  df-mpl 21470  df-opsr 21472  df-evls 21641  df-psr1 21710  df-ply1 21712  df-evls1 21841
This theorem is referenced by:  evls1scasrng  21865  evls1scafv  32688  evls1maprnss  32821
  Copyright terms: Public domain W3C validator