MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1sca 20095
Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1sca.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
evls1sca.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1sca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1sca.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1sca.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1sca.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
evls1sca (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evls1sca
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 7852 . . . . . 6 1o ∈ On
2 evls1sca.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evls1sca.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 eqid 2778 . . . . . . 7 ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 eqid 2778 . . . . . . 7 (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
6 evls1sca.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
7 eqid 2778 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐵𝑚 1o)) = (𝑆s (𝐵𝑚 1o))
8 evls1sca.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 19928 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
101, 2, 3, 9mp3an2i 1539 . . . . 5 (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
11 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
12 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))) = (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o)))
1311, 12rhmf 19126 . . . . 5 (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1o))) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
1410, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
15 evls1sca.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16 eqid 2778 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
176subrgring 19186 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
183, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
19 evls1sca.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (Poly1𝑈)
2019ply1ring 20025 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
2219ply1lmod 20029 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
2318, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
24 eqid 2778 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
25 eqid 2778 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2615, 16, 21, 23, 24, 25asclf 19745 . . . . . 6 (𝜑𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
278subrgss 19184 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
283, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐵)
296, 8ressbas2 16338 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘𝑈))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Base‘𝑈))
3119ply1sca 20030 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ Ring → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
3218, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (Scalar‘𝑊))
3332fveq2d 6452 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3430, 33eqtrd 2814 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (PwSer1𝑈) = (PwSer1𝑈)
3619, 35, 25ply1bas 19972 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
3837eqcomd 2784 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘𝑊))
3934, 38feq23d 6288 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)) ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊)))
4026, 39mpbird 249 . . . . 5 (𝜑𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)))
41 evls1sca.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑅)
4240, 41ffvelrnd 6626 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
43 fvco3 6537 . . . 4 ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))) ∧ (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈))) → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))))
4414, 42, 43syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))))
4515a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (algSc‘𝑊))
46 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
4719, 46ply1ascl 20035 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑊) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
4845, 47syl6eq 2830 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑈)))
4948fveq1d 6450 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋))
5049fveq2d 6452 . . . . 5 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)))
51 eqid 2778 . . . . . 6 (algSc‘(1o mPoly 𝑈)) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
521a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1o ∈ On)
534, 5, 6, 8, 51, 52, 2, 3, 41evlssca 19929 . . . . 5 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)) = ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}))
5450, 53eqtrd 2814 . . . 4 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}))
5554fveq2d 6452 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵𝑚 1o) × {𝑋})))
56 eqidd 2779 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
57 coeq1 5527 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
5857adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋})) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
5928, 41sseldd 3822 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
60 fconst6g 6346 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}):(𝐵𝑚 1o)⟶𝐵)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}):(𝐵𝑚 1o)⟶𝐵)
628fvexi 6462 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
64 ovex 6956 . . . . . . . 8 (𝐵𝑚 1o) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑚 1o) ∈ V)
6663, 65elmapd 8156 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↔ ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}):(𝐵𝑚 1o)⟶𝐵))
6761, 66mpbird 249 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)))
68 snex 5142 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ V
6964, 68xpex 7242 . . . . . . 7 ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∈ V
7069a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∈ V)
7163mptexd 6761 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V)
72 coexg 7398 . . . . . 6 ((((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V) → (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
7370, 71, 72syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
7456, 58, 67, 73fvmptd 6550 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵𝑚 1o) × {𝑋})) = (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
75 fconst6g 6346 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → (1o × {𝑦}):1o𝐵)
7675adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (1o × {𝑦}):1o𝐵)
7762, 1pm3.2i 464 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
79 elmapg 8155 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o𝐵))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o𝐵))
8176, 80mpbird 249 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1o))
82 eqidd 2779 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
83 fconstmpt 5413 . . . . . 6 ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ 𝑋)
8483a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ 𝑋))
85 eqidd 2779 . . . . 5 (𝑧 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
8681, 82, 84, 85fmptco 6663 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦𝐵𝑋))
8774, 86eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵𝑚 1o) × {𝑋})) = (𝑦𝐵𝑋))
8844, 55, 873eqtrd 2818 . 2 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = (𝑦𝐵𝑋))
89 elpwg 4387 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
9027, 89mpbird 249 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
913, 90syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
92 evls1sca.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
93 eqid 2778 . . . . 5 (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
9492, 93, 8evls1fval 20091 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
952, 91, 94syl2anc 579 . . 3 (𝜑𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
9695fveq1d 6450 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)))
97 fconstmpt 5413 . . 3 (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋)
9897a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋))
9988, 96, 983eqtr4d 2824 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  wss 3792  𝒫 cpw 4379  {csn 4398  cmpt 4967   × cxp 5355  ccom 5361  Oncon0 5978  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  1oc1o 7838  𝑚 cmap 8142  Basecbs 16266  s cress 16267  Scalarcsca 16352  s cpws 16504  Ringcrg 18945  CRingccrg 18946   RingHom crh 19112  SubRingcsubrg 19179  LModclmod 19266  algSccascl 19719   mPoly cmpl 19761   evalSub ces 19911  PwSer1cps1 19952  Poly1cpl1 19954   evalSub1 ces1 20085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-hash 13442  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-hom 16373  df-cco 16374  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-prds 16505  df-pws 16507  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-mulg 17939  df-subg 17986  df-ghm 18053  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-srg 18904  df-ring 18947  df-cring 18948  df-rnghom 19115  df-subrg 19181  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-lsp 19378  df-assa 19720  df-asp 19721  df-ascl 19722  df-psr 19764  df-mvr 19765  df-mpl 19766  df-opsr 19768  df-evls 19913  df-psr1 19957  df-ply1 19959  df-evls1 20087
This theorem is referenced by:  evls1scasrng  20110
  Copyright terms: Public domain W3C validator