Theorem evls1sca 22271

Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1sca.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1sca.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1sca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1sca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evls1sca	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evls1sca

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8411	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
2		evls1sca.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evls1sca.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
6		evls1sca.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
8		evls1sca.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 22047	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
10	1, 2, 3, 9	mp3an2i 1469	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
13	11, 12	rhmf 20424	. . . . 5 ⊢ (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
14	10, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15		evls1sca.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17	6	subrgring 20511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
18	3, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
19		evls1sca.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
20	19	ply1ring 22192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
21	18, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
22	19	ply1lmod 22196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
23	18, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
26	15, 16, 21, 23, 24, 25	asclf 21841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
27	8	subrgss 20509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐵)
29	6, 8	ressbas2 17169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
31	19	ply1sca 22197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
32	18, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
33	32	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	30, 33	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	19, 25	ply1bas 22139	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
37	36	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘𝑊))
38	34, 37	feq23d 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)) ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊)))
39	26, 38	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)))
40		evls1sca.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
41	39, 40	ffvelcdmd 7032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
42		fvco3 6934	. . . 4 ⊢ ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈))) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))))
43	14, 41, 42	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))))
44	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (algSc‘𝑊))
45		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
46	19, 45	ply1ascl 22204	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
47	44, 46	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑈)))
48	47	fveq1d 6837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋))
49	48	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)))
50		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘(1o mPoly 𝑈)) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
51	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
52	4, 5, 6, 8, 50, 51, 2, 3, 40	evlssca 22053	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
53	49, 52	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
54	53	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})))
55		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
56		coeq1 5807	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
57	56	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
58	28, 40	sseldd 3935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
59		fconst6g 6724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵)
60	58, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵)
61	8	fvexi 6849	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
63		ovex 7393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 1o) ∈ V)
65	62, 64	elmapd 8781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↔ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵))
66	60, 65	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)))
67		snex 5382	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑋} ∈ V
68	63, 67	xpex 7700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V)
70	62	mptexd 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V)
71		coexg 7873	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V) → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
72	69, 70, 71	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
73	55, 57, 66, 72	fvmptd 6950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
74		fconst6g 6724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵)
75	74	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵)
76	61, 1	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
78		elmapg 8780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵))
79	77, 78	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵))
80	75, 79	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o))
81		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
82		fconstmpt 5687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
83	82	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
84		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
85	80, 81, 83, 84	fmptco 7076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
86	73, 85	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
87	43, 54, 86	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
88		elpwg 4558	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
89	27, 88	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
90	3, 89	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
91		evls1sca.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
92		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
93	91, 92, 8	evls1fval 22267	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
94	2, 90, 93	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
95	94	fveq1d 6837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)))
96		fconstmpt 5687	. . 3 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
97	96	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
98	87, 95, 97	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4555  {csn 4581   ↦ cmpt 5180   × cxp 5623   ∘ ccom 5629  Oncon0 6318  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1_oc1o 8392   ↑_m cmap 8767  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  Scalarcsca 17184   ↑_s cpws 17370  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173   RingHom crh 20409  SubRingcsubrg 20506  LModclmod 20815  algSccascl 21811   mPoly cmpl 21866   evalSub ces 22031  Poly₁cpl1 22121   evalSub₁ ces1 22261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-assa 21812  df-asp 21813  df-ascl 21814  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-evls 22033  df-psr1 22124  df-ply1 22126  df-evls1 22263

This theorem is referenced by:  evls1scasrng  22287  evls1scafv  22314  evls1maprnss  22326