Theorem evls1sca 22388

Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1sca.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1sca.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1sca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1sca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evls1sca	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evls1sca

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8452	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
2		evls1sca.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evls1sca.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
6		evls1sca.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
8		evls1sca.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 22143	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
10	1, 2, 3, 9	mp3an2i 1489	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
11		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
12		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
13	11, 12	rhmf 20535	. . . . 5 ⊢ (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
14	10, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15		evls1sca.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17	6	subrgring 20626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
18	3, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
19		evls1sca.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
20	19	ply1ring 22311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
21	18, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
22	19	ply1lmod 22315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
23	18, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
24		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
25		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
26	15, 16, 21, 23, 24, 25	asclf 21935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
27	8	subrgss 20624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐵)
29	6, 8	ressbas2 17276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
31	19	ply1sca 22316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
32	18, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
33	32	fveq2d 6873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	30, 33	eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	19, 25	ply1bas 22259	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
37	36	eqcomd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘𝑊))
38	34, 37	feq23d 6688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)) ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊)))
39	26, 38	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)))
40		evls1sca.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
41	39, 40	ffvelcdmd 7068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
42		fvco3 6969	. . . 4 ⊢ ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈))) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))))
43	14, 41, 42	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))))
44	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (algSc‘𝑊))
45		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
46	19, 45	ply1ascl 22323	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
47	44, 46	eqtrdi 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑈)))
48	47	fveq1d 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋))
49	48	fveq2d 6873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)))
50		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘(1o mPoly 𝑈)) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
51	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
52	4, 5, 6, 8, 50, 51, 2, 3, 40	evlssca 22149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
53	49, 52	eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
54	53	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})))
55		eqidd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
56		coeq1 5831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
57	56	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
58	28, 40	sseldd 3939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
59		fconst6g 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵)
60	58, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵)
61	8	fvexi 6883	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
63		ovex 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 1o) ∈ V)
65	62, 64	elmapd 8823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↔ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵))
66	60, 65	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)))
67		snex 5398	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑋} ∈ V
68	63, 67	xpex 7738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V)
70	62	mptexd 7210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V)
71		coexg 7912	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V) → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
72	69, 70, 71	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
73	55, 57, 66, 72	fvmptd 6985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
74		fconst6g 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵)
75	74	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵)
76	61, 1	pm3.2i 474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
78		elmapg 8822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵))
79	77, 78	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵))
80	75, 79	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o))
81		eqidd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
82		fconstmpt 5711	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
83	82	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
84		eqidd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
85	80, 81, 83, 84	fmptco 7113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
86	73, 85	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
87	43, 54, 86	3eqtrd 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
88		elpwg 4560	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
89	27, 88	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
90	3, 89	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
91		evls1sca.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
92		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
93	91, 92, 8	evls1fval 22384	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
94	2, 90, 93	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
95	94	fveq1d 6871	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)))
96		fconstmpt 5711	. . 3 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
97	96	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
98	87, 95, 97	3eqtr4d 2809	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4557  {csn 4584   ↦ cmpt 5183   × cxp 5647   ∘ ccom 5653  Oncon0 6348  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  1_oc1o 8432   ↑_m cmap 8810  Basecbs 17247   ↾_s cress 17268  Scalarcsca 17291   ↑_s cpws 17477  Ringcrg 20285  CRingccrg 20286   RingHom crh 20520  SubRingcsubrg 20621  LModclmod 20929  algSccascl 21906   mPoly cmpl 21960   evalSub ces 22127  Poly₁cpl1 22241   evalSub₁ ces1 22378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-ofr 7663  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-hash 14346  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-hom 17312  df-cco 17313  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-prds 17478  df-pws 17480  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-ghm 19256  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-srg 20239  df-ring 20287  df-cring 20288  df-rhm 20523  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-assa 21907  df-asp 21908  df-ascl 21909  df-psr 21963  df-mvr 21964  df-mpl 21965  df-opsr 21967  df-evls 22129  df-psr1 22244  df-ply1 22246  df-evls1 22380

This theorem is referenced by:  evls1scasrng  22404  evls1scafv  22431  evls1maprnss  22443