Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1sca 20048
 Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1sca.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
evls1sca.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1sca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1sca.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1sca.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1sca.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
evls1sca (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evls1sca
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 7833 . . . . . . 7 1o ∈ On
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1o ∈ On)
3 evls1sca.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
4 evls1sca.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
5 eqid 2825 . . . . . . 7 ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
6 eqid 2825 . . . . . . 7 (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
7 evls1sca.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
8 eqid 2825 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐵𝑚 1o)) = (𝑆s (𝐵𝑚 1o))
9 evls1sca.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
105, 6, 7, 8, 9evlsrhm 19881 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
112, 3, 4, 10syl3anc 1496 . . . . 5 (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
12 eqid 2825 . . . . . 6 (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
13 eqid 2825 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))) = (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o)))
1412, 13rhmf 19082 . . . . 5 (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1o))) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
1511, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
16 evls1sca.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑊)
17 eqid 2825 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
187subrgring 19139 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
20 evls1sca.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (Poly1𝑈)
2120ply1ring 19978 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
2320ply1lmod 19982 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
2419, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
25 eqid 2825 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
26 eqid 2825 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2716, 17, 22, 24, 25, 26asclf 19698 . . . . . 6 (𝜑𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
289subrgss 19137 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
294, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐵)
307, 9ressbas2 16294 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘𝑈))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Base‘𝑈))
3220ply1sca 19983 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ Ring → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
3319, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (Scalar‘𝑊))
3433fveq2d 6437 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3531, 34eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
36 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (PwSer1𝑈) = (PwSer1𝑈)
3720, 36, 26ply1bas 19925 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
3938eqcomd 2831 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘𝑊))
4035, 39feq23d 6273 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)) ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊)))
4127, 40mpbird 249 . . . . 5 (𝜑𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)))
42 evls1sca.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑅)
4341, 42ffvelrnd 6609 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
44 fvco3 6522 . . . 4 ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))) ∧ (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈))) → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))))
4515, 43, 44syl2anc 581 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))))
4616a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (algSc‘𝑊))
47 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
4820, 47ply1ascl 19988 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑊) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
4946, 48syl6eq 2877 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑈)))
5049fveq1d 6435 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋))
5150fveq2d 6437 . . . . 5 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)))
52 eqid 2825 . . . . . 6 (algSc‘(1o mPoly 𝑈)) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
535, 6, 7, 9, 52, 2, 3, 4, 42evlssca 19882 . . . . 5 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)) = ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}))
5451, 53eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}))
5554fveq2d 6437 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵𝑚 1o) × {𝑋})))
56 eqidd 2826 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
57 coeq1 5512 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
5857adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋})) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
5929, 42sseldd 3828 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
60 fconst6g 6331 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}):(𝐵𝑚 1o)⟶𝐵)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}):(𝐵𝑚 1o)⟶𝐵)
629fvexi 6447 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
64 ovex 6937 . . . . . . . 8 (𝐵𝑚 1o) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑚 1o) ∈ V)
6663, 65elmapd 8136 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↔ ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}):(𝐵𝑚 1o)⟶𝐵))
6761, 66mpbird 249 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)))
68 snex 5129 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ V
6964, 68xpex 7223 . . . . . . 7 ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∈ V
7069a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∈ V)
71 mptexg 6740 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V)
7263, 71syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V)
73 coexg 7379 . . . . . 6 ((((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V) → (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
7470, 72, 73syl2anc 581 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
7556, 58, 67, 74fvmptd 6535 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵𝑚 1o) × {𝑋})) = (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
76 fconst6g 6331 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → (1o × {𝑦}):1o𝐵)
7776adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (1o × {𝑦}):1o𝐵)
7862, 1pm3.2i 464 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
7978a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
80 elmapg 8135 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o𝐵))
8179, 80syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o𝐵))
8277, 81mpbird 249 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1o))
83 eqidd 2826 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
84 fconstmpt 5398 . . . . . 6 ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ 𝑋)
8584a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ 𝑋))
86 eqidd 2826 . . . . 5 (𝑧 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
8782, 83, 85, 86fmptco 6646 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦𝐵𝑋))
8875, 87eqtrd 2861 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵𝑚 1o) × {𝑋})) = (𝑦𝐵𝑋))
8945, 55, 883eqtrd 2865 . 2 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = (𝑦𝐵𝑋))
90 elpwg 4386 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
9128, 90mpbird 249 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
924, 91syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
93 evls1sca.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
94 eqid 2825 . . . . 5 (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
9593, 94, 9evls1fval 20044 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
963, 92, 95syl2anc 581 . . 3 (𝜑𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
9796fveq1d 6435 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)))
98 fconstmpt 5398 . . 3 (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋)
9998a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋))
10089, 97, 993eqtr4d 2871 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  𝒫 cpw 4378  {csn 4397   ↦ cmpt 4952   × cxp 5340   ∘ ccom 5346  Oncon0 5963  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  1oc1o 7819   ↑𝑚 cmap 8122  Basecbs 16222   ↾s cress 16223  Scalarcsca 16308   ↑s cpws 16460  Ringcrg 18901  CRingccrg 18902   RingHom crh 19068  SubRingcsubrg 19132  LModclmod 19219  algSccascl 19672   mPoly cmpl 19714   evalSub ces 19864  PwSer1cps1 19905  Poly1cpl1 19907   evalSub1 ces1 20038 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-ofr 7158  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-prds 16461  df-pws 16463  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-ghm 18009  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-srg 18860  df-ring 18903  df-cring 18904  df-rnghom 19071  df-subrg 19134  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-assa 19673  df-asp 19674  df-ascl 19675  df-psr 19717  df-mvr 19718  df-mpl 19719  df-opsr 19721  df-evls 19866  df-psr1 19910  df-ply1 19912  df-evls1 20040 This theorem is referenced by:  evls1scasrng  20063
 Copyright terms: Public domain W3C validator