Theorem evls1sca 21399

Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1sca.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1sca.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1sca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1sca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evls1sca	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evls1sca

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8274	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
2		evls1sca.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evls1sca.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
6		evls1sca.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
8		evls1sca.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 21208	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
10	1, 2, 3, 9	mp3an2i 1464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
13	11, 12	rhmf 19885	. . . . 5 ⊢ (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
14	10, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15		evls1sca.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17	6	subrgring 19942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
18	3, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
19		evls1sca.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
20	19	ply1ring 21329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
21	18, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
22	19	ply1lmod 21333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
23	18, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
24		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
25		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
26	15, 16, 21, 23, 24, 25	asclf 20996	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
27	8	subrgss 19940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐵)
29	6, 8	ressbas2 16875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
31	19	ply1sca 21334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
32	18, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
33	32	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	30, 33	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
36	19, 35, 25	ply1bas 21276	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
38	37	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘𝑊))
39	34, 38	feq23d 6579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)) ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊)))
40	26, 39	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)))
41		evls1sca.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
42	40, 41	ffvelrnd 6944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
43		fvco3 6849	. . . 4 ⊢ ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈))) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))))
44	14, 42, 43	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))))
45	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (algSc‘𝑊))
46		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
47	19, 46	ply1ascl 21339	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
48	45, 47	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑈)))
49	48	fveq1d 6758	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋))
50	49	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)))
51		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘(1o mPoly 𝑈)) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
52	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
53	4, 5, 6, 8, 51, 52, 2, 3, 41	evlssca 21209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
54	50, 53	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
55	54	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})))
56		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
57		coeq1 5755	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
58	57	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
59	28, 41	sseldd 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
60		fconst6g 6647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵)
61	59, 60	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵)
62	8	fvexi 6770	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
64		ovex 7288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 1o) ∈ V)
66	63, 65	elmapd 8587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↔ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵))
67	61, 66	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)))
68		snex 5349	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑋} ∈ V
69	64, 68	xpex 7581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V
70	69	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V)
71	63	mptexd 7082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V)
72		coexg 7750	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V) → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
73	70, 71, 72	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
74	56, 58, 67, 73	fvmptd 6864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
75		fconst6g 6647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵)
76	75	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵)
77	62, 1	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
79		elmapg 8586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵))
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵))
81	76, 80	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o))
82		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
83		fconstmpt 5640	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
84	83	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
85		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
86	81, 82, 84, 85	fmptco 6983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
87	74, 86	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
88	44, 55, 87	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
89		elpwg 4533	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
90	27, 89	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
91	3, 90	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
92		evls1sca.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
93		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
94	92, 93, 8	evls1fval 21395	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
95	2, 91, 94	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
96	95	fveq1d 6758	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)))
97		fconstmpt 5640	. . 3 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
98	97	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
99	88, 96, 98	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578   ∘ ccom 5584  Oncon0 6251  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1_oc1o 8260   ↑_m cmap 8573  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Scalarcsca 16891   ↑_s cpws 17074  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699   RingHom crh 19871  SubRingcsubrg 19935  LModclmod 20038  algSccascl 20969   mPoly cmpl 21019   evalSub ces 21190  PwSer₁cps1 21256  Poly₁cpl1 21258   evalSub₁ ces1 21389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-assa 20970  df-asp 20971  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-evls 21192  df-psr1 21261  df-ply1 21263  df-evls1 21391

This theorem is referenced by:  evls1scasrng  21415