MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1sca 22327
Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1sca.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
evls1sca.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1sca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1sca.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1sca.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1sca.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
evls1sca (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evls1sca
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8518 . . . . . 6 1o ∈ On
2 evls1sca.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evls1sca.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 eqid 2737 . . . . . . 7 ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
6 evls1sca.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
7 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐵m 1o)) = (𝑆s (𝐵m 1o))
8 evls1sca.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 22112 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))))
101, 2, 3, 9mp3an2i 1468 . . . . 5 (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))))
11 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
12 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))) = (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o)))
1311, 12rhmf 20485 . . . . 5 (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
1410, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
15 evls1sca.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16 eqid 2737 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
176subrgring 20574 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
183, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
19 evls1sca.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (Poly1𝑈)
2019ply1ring 22249 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
2219ply1lmod 22253 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
2318, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
25 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2615, 16, 21, 23, 24, 25asclf 21902 . . . . . 6 (𝜑𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
278subrgss 20572 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
283, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐵)
296, 8ressbas2 17283 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘𝑈))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Base‘𝑈))
3119ply1sca 22254 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ Ring → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
3218, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (Scalar‘𝑊))
3332fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3430, 33eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3519, 25ply1bas 22196 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
3736eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘𝑊))
3834, 37feq23d 6731 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)) ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊)))
3926, 38mpbird 257 . . . . 5 (𝜑𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)))
40 evls1sca.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑅)
4139, 40ffvelcdmd 7105 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
42 fvco3 7008 . . . 4 ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))) ∧ (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈))) → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))))
4314, 41, 42syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))))
4415a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (algSc‘𝑊))
45 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
4619, 45ply1ascl 22261 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑊) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
4744, 46eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑈)))
4847fveq1d 6908 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋))
4948fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)))
50 eqid 2737 . . . . . 6 (algSc‘(1o mPoly 𝑈)) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
511a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1o ∈ On)
524, 5, 6, 8, 50, 51, 2, 3, 40evlssca 22113 . . . . 5 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)) = ((𝐵m 1o) × {𝑋}))
5349, 52eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵m 1o) × {𝑋}))
5453fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵m 1o) × {𝑋})))
55 eqidd 2738 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
56 coeq1 5868 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝐵m 1o) × {𝑋}) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
5756adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = ((𝐵m 1o) × {𝑋})) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
5828, 40sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
59 fconst6g 6797 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}):(𝐵m 1o)⟶𝐵)
6058, 59syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}):(𝐵m 1o)⟶𝐵)
618fvexi 6920 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
63 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝐵m 1o) ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵m 1o) ∈ V)
6562, 64elmapd 8880 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↔ ((𝐵m 1o) × {𝑋}):(𝐵m 1o)⟶𝐵))
6660, 65mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)))
67 snex 5436 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ V
6863, 67xpex 7773 . . . . . . 7 ((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ V
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ V)
7062mptexd 7244 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V)
71 coexg 7951 . . . . . 6 ((((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V) → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
7269, 70, 71syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
7355, 57, 66, 72fvmptd 7023 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵m 1o) × {𝑋})) = (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
74 fconst6g 6797 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → (1o × {𝑦}):1o𝐵)
7574adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (1o × {𝑦}):1o𝐵)
7661, 1pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
7776a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
78 elmapg 8879 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o𝐵))
7977, 78syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o𝐵))
8075, 79mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o))
81 eqidd 2738 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
82 fconstmpt 5747 . . . . . 6 ((𝐵m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ 𝑋)
8382a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ 𝑋))
84 eqidd 2738 . . . . 5 (𝑧 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
8580, 81, 83, 84fmptco 7149 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦𝐵𝑋))
8673, 85eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵m 1o) × {𝑋})) = (𝑦𝐵𝑋))
8743, 54, 863eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = (𝑦𝐵𝑋))
88 elpwg 4603 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
8927, 88mpbird 257 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
903, 89syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
91 evls1sca.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
92 eqid 2737 . . . . 5 (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
9391, 92, 8evls1fval 22323 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
942, 90, 93syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
9594fveq1d 6908 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)))
96 fconstmpt 5747 . . 3 (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋)
9796a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋))
9887, 95, 973eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  cmpt 5225   × cxp 5683  ccom 5689  Oncon0 6384  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  1oc1o 8499  m cmap 8866  Basecbs 17247  s cress 17274  Scalarcsca 17300  s cpws 17491  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  SubRingcsubrg 20569  LModclmod 20858  algSccascl 21872   mPoly cmpl 21926   evalSub ces 22096  Poly1cpl1 22178   evalSub1 ces1 22317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-evls1 22319
This theorem is referenced by:  evls1scasrng  22343  evls1scafv  22370  evls1maprnss  22382
  Copyright terms: Public domain W3C validator