Theorem evls1sca 22668

Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1sca.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1sca.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1sca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1sca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evls1sca	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evls1sca

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8514	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
2		evls1sca.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evls1sca.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
6		evls1sca.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
8		evls1sca.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 22424	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
10	1, 2, 3, 9	mp3an2i 1496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
13	11, 12	rhmf 20742	. . . . 5 ⊢ (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
14	10, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15		evls1sca.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17	6	subrgring 20853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
18	3, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
19		evls1sca.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
20	19	ply1ring 22592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
21	18, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
22	19	ply1lmod 22596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
23	18, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
24		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
25		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
26	15, 16, 21, 23, 24, 25	asclf 22216	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
27	8	subrgss 20851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
28	3, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐵)
29	6, 8	ressbas2 17442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
31	19	ply1sca 22597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
32	18, 31	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
33	32	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	30, 33	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	19, 25	ply1bas 22540	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
37	36	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘𝑊))
38	34, 37	feq23d 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)) ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊)))
39	26, 38	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)))
40		evls1sca.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
41	39, 40	ffvelcdmd 7106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
42		fvco3 7005	. . . 4 ⊢ ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈))) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))))
43	14, 41, 42	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))))
44	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (algSc‘𝑊))
45		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
46	19, 45	ply1ascl 22604	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
47	44, 46	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑈)))
48	47	fveq1d 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋))
49	48	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)))
50		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘(1o mPoly 𝑈)) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
51	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
52	4, 5, 6, 8, 50, 51, 2, 3, 40	evlssca 22430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
53	49, 52	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
54	53	fveq2d 6909	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴‘𝑋))) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})))
55		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
56		coeq1 5840	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
57	56	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
58	28, 40	sseldd 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
59		fconst6g 6790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵)
60	58, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵)
61	8	fvexi 6919	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
63		ovex 7473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 1o) ∈ V)
65	62, 64	elmapd 8885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↔ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵))
66	60, 65	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)))
67		snex 5401	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑋} ∈ V
68	63, 67	xpex 7788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V)
70	62	mptexd 7250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V)
71		coexg 7962	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V) → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
72	69, 70, 71	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
73	55, 57, 66, 72	fvmptd 7021	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
74		fconst6g 6790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵)
75	74	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵)
76	61, 1	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
78		elmapg 8884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵))
79	77, 78	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶𝐵))
80	75, 79	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o))
81		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
82		fconstmpt 5717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
83	82	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
84		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
85	80, 81, 83, 84	fmptco 7151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
86	73, 85	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
87	43, 54, 86	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
88		elpwg 4563	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
89	27, 88	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
90	3, 89	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
91		evls1sca.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
92		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
93	91, 92, 8	evls1fval 22664	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
94	2, 90, 93	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
95	94	fveq1d 6907	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴‘𝑋)))
96		fconstmpt 5717	. . 3 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
97	96	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
98	87, 95, 97	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653   ∘ ccom 5659  Oncon0 6377  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1_oc1o 8494   ↑_m cmap 8872  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  Scalarcsca 17457   ↑_s cpws 17643  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487   RingHom crh 20726  SubRingcsubrg 20848  LModclmod 21162  algSccascl 22187   mPoly cmpl 22241   evalSub ces 22408  Poly₁cpl1 22522   evalSub₁ ces1 22658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-srg 20440  df-ring 20488  df-cring 20489  df-rhm 20729  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-assa 22188  df-asp 22189  df-ascl 22190  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-evls 22410  df-psr1 22525  df-ply1 22527  df-evls1 22660

This theorem is used by:  evls1scasrng  22684  evls1scafv  22711  evls1maprnss  22723