MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1sca 21705
Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1sca.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
evls1sca.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evls1sca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evls1sca.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
evls1sca.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evls1sca.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
evls1sca (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝐡 Γ— {𝑋}))

Proof of Theorem evls1sca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8429 . . . . . 6 1o ∈ On
2 evls1sca.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3 evls1sca.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
4 eqid 2737 . . . . . . 7 ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) = ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (1o mPoly π‘ˆ) = (1o mPoly π‘ˆ)
6 evls1sca.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
7 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))
8 evls1sca.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 21514 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
101, 2, 3, 9mp3an2i 1467 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
11 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
12 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))
1311, 12rhmf 20167 . . . . 5 (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
1410, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
15 evls1sca.a . . . . . . 7 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
16 eqid 2737 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
176subrgring 20241 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
183, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
19 evls1sca.w . . . . . . . . 9 π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
2019ply1ring 21635 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Ring)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
2219ply1lmod 21639 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ LMod)
2318, 22syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
25 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2615, 16, 21, 23, 24, 25asclf 21301 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢(Baseβ€˜π‘Š))
278subrgss 20239 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
283, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
296, 8ressbas2 17127 . . . . . . . . 9 (𝑅 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3119ply1sca 21640 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
3218, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
3332fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3430, 33eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
35 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (PwSer1β€˜π‘ˆ) = (PwSer1β€˜π‘ˆ)
3619, 35, 25ply1bas 21582 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
3837eqcomd 2743 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜π‘Š))
3934, 38feq23d 6668 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴:π‘…βŸΆ(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) ↔ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢(Baseβ€˜π‘Š)))
4026, 39mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘…βŸΆ(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
41 evls1sca.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
4240, 41ffvelcdmd 7041 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
43 fvco3 6945 . . . 4 ((((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜(((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹))))
4414, 42, 43syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜(((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹))))
4515a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š))
46 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜π‘Š)
4719, 46ply1ascl 21645 . . . . . . . 8 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
4845, 47eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
4948fveq1d 6849 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘‹) = ((algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))β€˜π‘‹))
5049fveq2d 6851 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))β€˜π‘‹)))
51 eqid 2737 . . . . . 6 (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) = (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
521a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1o ∈ On)
534, 5, 6, 8, 51, 52, 2, 3, 41evlssca 21515 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}))
5450, 53eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}))
5554fveq2d 6851 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜(((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹))) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})))
56 eqidd 2738 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) = (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))))
57 coeq1 5818 . . . . . 6 (π‘₯ = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) β†’ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
5857adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})) β†’ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
5928, 41sseldd 3950 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
60 fconst6g 6736 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}):(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}):(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
628fvexi 6861 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
64 ovex 7395 . . . . . . . 8 (𝐡 ↑m 1o) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 ↑m 1o) ∈ V)
6663, 65elmapd 8786 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↔ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}):(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡))
6761, 66mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)))
68 snex 5393 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ V
6964, 68xpex 7692 . . . . . . 7 ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ V
7069a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ V)
7163mptexd 7179 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) ∈ V)
72 coexg 7871 . . . . . 6 ((((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) ∈ V) β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ V)
7370, 71, 72syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ V)
7456, 58, 67, 73fvmptd 6960 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
75 fconst6g 6736 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡)
7675adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡)
7762, 1pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
79 elmapg 8785 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ V ∧ 1o ∈ On) β†’ ((1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡))
8176, 80mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o))
82 eqidd 2738 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))
83 fconstmpt 5699 . . . . . 6 ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
8483a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
85 eqidd 2738 . . . . 5 (𝑧 = (1o Γ— {𝑦}) β†’ 𝑋 = 𝑋)
8681, 82, 84, 85fmptco 7080 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
8774, 86eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
8844, 55, 873eqtrd 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
89 elpwg 4568 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑅 βŠ† 𝐡))
9027, 89mpbird 257 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡)
913, 90syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡)
92 evls1sca.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
93 eqid 2737 . . . . 5 (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
9492, 93, 8evls1fval 21701 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)))
952, 91, 94syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)))
9695fveq1d 6849 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)))
97 fconstmpt 5699 . . 3 (𝐡 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋)
9897a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
9988, 96, 983eqtr4d 2787 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝐡 Γ— {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636   ∘ ccom 5642  Oncon0 6322  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1oc1o 8410   ↑m cmap 8772  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  Scalarcsca 17143   ↑s cpws 17335  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972   RingHom crh 20152  SubRingcsubrg 20234  LModclmod 20338  algSccascl 21274   mPoly cmpl 21324   evalSub ces 21496  PwSer1cps1 21562  Poly1cpl1 21564   evalSub1 ces1 21695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-evls1 21697
This theorem is referenced by:  evls1scasrng  21721  evls1scafv  32308
  Copyright terms: Public domain W3C validator