MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1sca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evls1sca 21842
Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1sca.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
evls1sca.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evls1sca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evls1sca.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
evls1sca.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evls1sca.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
evls1sca (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝐡 Γ— {𝑋}))
Proof of Theorem evls1sca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8478 . . . . . 6 1o ∈ On
2 evls1sca.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3 evls1sca.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
4 eqid 2733 . . . . . . 7 ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) = ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (1o mPoly π‘ˆ) = (1o mPoly π‘ˆ)
6 evls1sca.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
7 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))
8 evls1sca.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 21651 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
101, 2, 3, 9mp3an2i 1467 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
11 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
12 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))
1311, 12rhmf 20263 . . . . 5 (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
1410, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
15 evls1sca.a . . . . . . 7 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
16 eqid 2733 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
176subrgring 20322 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
183, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
19 evls1sca.w . . . . . . . . 9 π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
2019ply1ring 21770 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Ring)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
2219ply1lmod 21774 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ LMod)
2318, 22syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
24 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
25 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2615, 16, 21, 23, 24, 25asclf 21436 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢(Baseβ€˜π‘Š))
278subrgss 20320 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
283, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
296, 8ressbas2 17182 . . . . . . . . 9 (𝑅 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3119ply1sca 21775 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
3218, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
3332fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3430, 33eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
35 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (PwSer1β€˜π‘ˆ) = (PwSer1β€˜π‘ˆ)
3619, 35, 25ply1bas 21719 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
3837eqcomd 2739 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜π‘Š))
3934, 38feq23d 6713 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴:π‘…βŸΆ(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) ↔ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢(Baseβ€˜π‘Š)))
4026, 39mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘…βŸΆ(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
41 evls1sca.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
4240, 41ffvelcdmd 7088 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
43 fvco3 6991 . . . 4 ((((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜(((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹))))
4414, 42, 43syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜(((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹))))
4515a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š))
46 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜π‘Š)
4719, 46ply1ascl 21780 . . . . . . . 8 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
4845, 47eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
4948fveq1d 6894 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘‹) = ((algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))β€˜π‘‹))
5049fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))β€˜π‘‹)))
51 eqid 2733 . . . . . 6 (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)) = (algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
521a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1o ∈ On)
534, 5, 6, 8, 51, 52, 2, 3, 41evlssca 21652 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}))
5450, 53eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}))
5554fveq2d 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜(((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜(π΄β€˜π‘‹))) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})))
56 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) = (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))))
57 coeq1 5858 . . . . . 6 (π‘₯ = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) β†’ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
5857adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})) β†’ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
5928, 41sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
60 fconst6g 6781 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}):(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}):(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
628fvexi 6906 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
64 ovex 7442 . . . . . . . 8 (𝐡 ↑m 1o) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 ↑m 1o) ∈ V)
6663, 65elmapd 8834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↔ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}):(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡))
6761, 66mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)))
68 snex 5432 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ V
6964, 68xpex 7740 . . . . . . 7 ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ V
7069a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ V)
7163mptexd 7226 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) ∈ V)
72 coexg 7920 . . . . . 6 ((((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) ∈ V) β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ V)
7370, 71, 72syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ V)
7456, 58, 67, 73fvmptd 7006 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
75 fconst6g 6781 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡)
7675adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡)
7762, 1pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
79 elmapg 8833 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ V ∧ 1o ∈ On) β†’ ((1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {𝑦}):1o⟢𝐡))
8176, 80mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o))
82 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))
83 fconstmpt 5739 . . . . . 6 ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
8483a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
85 eqidd 2734 . . . . 5 (𝑧 = (1o Γ— {𝑦}) β†’ 𝑋 = 𝑋)
8681, 82, 84, 85fmptco 7127 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
8774, 86eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋})) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
8844, 55, 873eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
89 elpwg 4606 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑅 βŠ† 𝐡))
9027, 89mpbird 257 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡)
913, 90syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡)
92 evls1sca.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
93 eqid 2733 . . . . 5 (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
9492, 93, 8evls1fval 21838 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)))
952, 91, 94syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)))
9695fveq1d 6894 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…))β€˜(π΄β€˜π‘‹)))
97 fconstmpt 5739 . . 3 (𝐡 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋)
9897a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
9988, 96, 983eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝐡 Γ— {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   ∘ ccom 5681  Oncon0 6365  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1oc1o 8459   ↑m cmap 8820  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  Scalarcsca 17200   ↑s cpws 17392  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057   RingHom crh 20248  SubRingcsubrg 20315  LModclmod 20471  algSccascl 21407   mPoly cmpl 21459   evalSub ces 21633  PwSer1cps1 21699  Poly1cpl1 21701   evalSub1 ces1 21832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-cring 20059  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-assa 21408  df-asp 21409  df-ascl 21410  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-evls 21635  df-psr1 21704  df-ply1 21706  df-evls1 21834
This theorem is referenced by:  evls1scasrng  21858  evls1scafv  32643  evls1maprnss  32761
  Copyright terms: Public domain W3C validator