MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1sca 21689
Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1sca.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
evls1sca.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1sca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1sca.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1sca.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1sca.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
evls1sca (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evls1sca
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8424 . . . . . 6 1o ∈ On
2 evls1sca.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evls1sca.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 eqid 2736 . . . . . . 7 ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
6 evls1sca.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
7 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐵m 1o)) = (𝑆s (𝐵m 1o))
8 evls1sca.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 21498 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))))
101, 2, 3, 9mp3an2i 1466 . . . . 5 (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))))
11 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
12 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))) = (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o)))
1311, 12rhmf 20158 . . . . 5 (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
1410, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
15 evls1sca.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16 eqid 2736 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
176subrgring 20225 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
183, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
19 evls1sca.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (Poly1𝑈)
2019ply1ring 21619 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
2219ply1lmod 21623 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
2318, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
24 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
25 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2615, 16, 21, 23, 24, 25asclf 21285 . . . . . 6 (𝜑𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
278subrgss 20223 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
283, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐵)
296, 8ressbas2 17120 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘𝑈))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Base‘𝑈))
3119ply1sca 21624 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ Ring → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
3218, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (Scalar‘𝑊))
3332fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3430, 33eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (PwSer1𝑈) = (PwSer1𝑈)
3619, 35, 25ply1bas 21566 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
3837eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(1o mPoly 𝑈)) = (Base‘𝑊))
3934, 38feq23d 6663 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)) ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊)))
4026, 39mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝐴:𝑅⟶(Base‘(1o mPoly 𝑈)))
41 evls1sca.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑅)
4240, 41ffvelcdmd 7036 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
43 fvco3 6940 . . . 4 ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1o mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))) ∧ (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑈))) → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))))
4414, 42, 43syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))))
4515a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (algSc‘𝑊))
46 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
4719, 46ply1ascl 21629 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑊) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
4845, 47eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑈)))
4948fveq1d 6844 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋))
5049fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)))
51 eqid 2736 . . . . . 6 (algSc‘(1o mPoly 𝑈)) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
521a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1o ∈ On)
534, 5, 6, 8, 51, 52, 2, 3, 41evlssca 21499 . . . . 5 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly 𝑈))‘𝑋)) = ((𝐵m 1o) × {𝑋}))
5450, 53eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵m 1o) × {𝑋}))
5554fveq2d 6846 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵m 1o) × {𝑋})))
56 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
57 coeq1 5813 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝐵m 1o) × {𝑋}) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
5857adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = ((𝐵m 1o) × {𝑋})) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
5928, 41sseldd 3945 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
60 fconst6g 6731 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}):(𝐵m 1o)⟶𝐵)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}):(𝐵m 1o)⟶𝐵)
628fvexi 6856 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
64 ovex 7390 . . . . . . . 8 (𝐵m 1o) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵m 1o) ∈ V)
6663, 65elmapd 8779 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↔ ((𝐵m 1o) × {𝑋}):(𝐵m 1o)⟶𝐵))
6761, 66mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)))
68 snex 5388 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ V
6964, 68xpex 7687 . . . . . . 7 ((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ V
7069a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ V)
7163mptexd 7174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V)
72 coexg 7866 . . . . . 6 ((((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V) → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
7370, 71, 72syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V)
7456, 58, 67, 73fvmptd 6955 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵m 1o) × {𝑋})) = (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
75 fconst6g 6731 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → (1o × {𝑦}):1o𝐵)
7675adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (1o × {𝑦}):1o𝐵)
7762, 1pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On)
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On))
79 elmapg 8778 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o𝐵))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → ((1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o𝐵))
8176, 80mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o))
82 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
83 fconstmpt 5694 . . . . . 6 ((𝐵m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ 𝑋)
8483a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵m 1o) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ 𝑋))
85 eqidd 2737 . . . . 5 (𝑧 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
8681, 82, 84, 85fmptco 7075 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦𝐵𝑋))
8774, 86eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐵m 1o) × {𝑋})) = (𝑦𝐵𝑋))
8844, 55, 873eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = (𝑦𝐵𝑋))
89 elpwg 4563 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
9027, 89mpbird 256 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
913, 90syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
92 evls1sca.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
93 eqid 2736 . . . . 5 (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
9492, 93, 8evls1fval 21685 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
952, 91, 94syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
9695fveq1d 6844 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)))
97 fconstmpt 5694 . . 3 (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋)
9897a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋))
9988, 96, 983eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  ccom 5637  Oncon0 6317  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  1oc1o 8405  m cmap 8765  Basecbs 17083  s cress 17112  Scalarcsca 17136  s cpws 17328  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   RingHom crh 20143  SubRingcsubrg 20218  LModclmod 20322  algSccascl 21258   mPoly cmpl 21308   evalSub ces 21480  PwSer1cps1 21546  Poly1cpl1 21548   evalSub1 ces1 21679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-evls 21482  df-psr1 21551  df-ply1 21553  df-evls1 21681
This theorem is referenced by:  evls1scasrng  21705  evls1scafv  32268
  Copyright terms: Public domain W3C validator