Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalsucov Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itcovalsucov 45496
 Description: The value of the function that returns the n-th iterate of a function with regard to composition at a successor. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcovalsucov ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐹𝐺))

Proof of Theorem itcovalsucov
Dummy variables 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itcovalsuc 45495 . 2 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔))𝐹))
2 eqidd 2759 . . 3 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)))
3 coeq2 5704 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (𝐹𝑔) = (𝐹𝐺))
43ad2antrl 727 . . 3 (((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ (𝑔 = 𝐺𝑗 = 𝐹)) → (𝐹𝑔) = (𝐹𝐺))
5 id 22 . . . . . 6 (𝐺 = ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) → 𝐺 = ((IterComp‘𝐹)‘𝑌))
6 fvex 6676 . . . . . 6 ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) ∈ V
75, 6eqeltrdi 2860 . . . . 5 (𝐺 = ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) → 𝐺 ∈ V)
87eqcoms 2766 . . . 4 (((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺𝐺 ∈ V)
983ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝐺 ∈ V)
10 elex 3428 . . . 4 (𝐹𝑉𝐹 ∈ V)
11103ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝐹 ∈ V)
128anim2i 619 . . . . 5 ((𝐹𝑉 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝐹𝑉𝐺 ∈ V))
13123adant2 1128 . . . 4 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝐹𝑉𝐺 ∈ V))
14 coexg 7645 . . . 4 ((𝐹𝑉𝐺 ∈ V) → (𝐹𝐺) ∈ V)
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝐹𝐺) ∈ V)
162, 4, 9, 11, 15ovmpod 7303 . 2 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔))𝐹) = (𝐹𝐺))
171, 16eqtrd 2793 1 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐹𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∘ ccom 5532  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  1c1 10589   + caddc 10591  ℕ0cn0 11947  IterCompcitco 45485 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-seq 13432  df-itco 45487 This theorem is referenced by:  itcovalendof  45497  itcovalpclem2  45499  itcovalt2lem2  45504  ackvalsucsucval  45516
 Copyright terms: Public domain W3C validator