Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalsucov Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itcovalsucov 47002
Description: The value of the function that returns the n-th iterate of a function with regard to composition at a successor. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcovalsucov ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐹𝐺))

Proof of Theorem itcovalsucov
Dummy variables 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itcovalsuc 47001 . 2 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔))𝐹))
2 eqidd 2732 . . 3 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔)))
3 coeq2 5850 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (𝐹𝑔) = (𝐹𝐺))
43ad2antrl 726 . . 3 (((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ (𝑔 = 𝐺𝑗 = 𝐹)) → (𝐹𝑔) = (𝐹𝐺))
5 id 22 . . . . . 6 (𝐺 = ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) → 𝐺 = ((IterComp‘𝐹)‘𝑌))
6 fvex 6891 . . . . . 6 ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) ∈ V
75, 6eqeltrdi 2840 . . . . 5 (𝐺 = ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) → 𝐺 ∈ V)
87eqcoms 2739 . . . 4 (((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺𝐺 ∈ V)
983ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝐺 ∈ V)
10 elex 3491 . . . 4 (𝐹𝑉𝐹 ∈ V)
11103ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝐹 ∈ V)
128anim2i 617 . . . . 5 ((𝐹𝑉 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝐹𝑉𝐺 ∈ V))
13123adant2 1131 . . . 4 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝐹𝑉𝐺 ∈ V))
14 coexg 7902 . . . 4 ((𝐹𝑉𝐺 ∈ V) → (𝐹𝐺) ∈ V)
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝐹𝐺) ∈ V)
162, 4, 9, 11, 15ovmpod 7543 . 2 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹𝑔))𝐹) = (𝐹𝐺))
171, 16eqtrd 2771 1 ((𝐹𝑉𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐹𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3473  ccom 5673  cfv 6532  (class class class)co 7393  cmpo 7395  1c1 11093   + caddc 11095  0cn0 12454  IterCompcitco 46991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-seq 13949  df-itco 46993
This theorem is referenced by:  itcovalendof  47003  itcovalpclem2  47005  itcovalt2lem2  47010  ackvalsucsucval  47022
  Copyright terms: Public domain W3C validator