Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalsucov Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itcovalsucov 46907
Description: The value of the function that returns the n-th iterate of a function with regard to composition at a successor. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcovalsucov ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (𝐹 ∘ 𝐺))
Proof of Theorem itcovalsucov
Dummy variables 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itcovalsuc 46906 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
2 eqidd 2732 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
3 coeq2 5834 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐺))
43ad2antrl 726 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ (𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑗 = 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐺))
5 id 22 . . . . . 6 (𝐺 = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) β†’ 𝐺 = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ))
6 fvex 6875 . . . . . 6 ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) ∈ V
75, 6eqeltrdi 2840 . . . . 5 (𝐺 = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ V)
87eqcoms 2739 . . . 4 (((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺 β†’ 𝐺 ∈ V)
983ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ 𝐺 ∈ V)
10 elex 3477 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ V)
11103ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ 𝐹 ∈ V)
128anim2i 617 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ V))
13123adant2 1131 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ V))
14 coexg 7886 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ V) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
162, 4, 9, 11, 15ovmpod 7527 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐺))
171, 16eqtrd 2771 1 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (𝐹 ∘ 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3459   ∘ ccom 5657  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ∈ cmpo 7379  1c1 11076   + caddc 11078  β„•0cn0 12437  IterCompcitco 46896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-seq 13932  df-itco 46898
This theorem is referenced by:  itcovalendof  46908  itcovalpclem2  46910  itcovalt2lem2  46915  ackvalsucsucval  46927
  Copyright terms: Public domain W3C validator