Theorem itcovalsucov 48535

Description: The value of the function that returns the n-th iterate of a function with regard to composition at a successor. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcovalsucov	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐹 ∘ 𝐺))

Proof of Theorem itcovalsucov

Dummy variables 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcovalsuc 48534	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
2		eqidd 2735	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
3		coeq2 5851	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐺))
4	3	ad2antrl 728	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ (𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑗 = 𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐺))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) → 𝐺 = ((IterComp‘𝐹)‘𝑌))
6		fvex 6900	. . . . . 6 ⊢ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) ∈ V
7	5, 6	eqeltrdi 2841	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) → 𝐺 ∈ V)
8	7	eqcoms 2742	. . . 4 ⊢ (((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺 → 𝐺 ∈ V)
9	8	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝐺 ∈ V)
10		elex 3485	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
11	10	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝐹 ∈ V)
12	8	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ V))
13	12	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ V))
14		coexg 7934	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
16	2, 4, 9, 11, 15	ovmpod 7568	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐺))
17	1, 16	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐹 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3464   ∘ ccom 5671  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  1c1 11139   + caddc 11141  ℕ₀cn0 12510  IterCompcitco 48524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-seq 14026  df-itco 48526

This theorem is referenced by:  itcovalendof  48536  itcovalpclem2  48538  itcovalt2lem2  48543  ackvalsucsucval  48555