Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvavadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvavadd 40520
Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dvafvadd.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafvadd.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafvadd.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafvadd.v + = (+g𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvavadd (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹𝐺))

Proof of Theorem dvavadd
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvafvadd.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvafvadd.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 dvafvadd.u . . . 4 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4 dvafvadd.v . . . 4 + = (+g𝑈)
51, 2, 3, 4dvafvadd 40519 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → + = (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)))
65oveqd 7443 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹(𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))𝐺))
7 coexg 7943 . . 3 ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ V)
8 coeq1 5864 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑔) = (𝐹𝑔))
9 coeq2 5865 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (𝐹𝑔) = (𝐹𝐺))
10 eqid 2728 . . . 4 (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)) = (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))
118, 9, 10ovmpog 7586 . . 3 ((𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹𝐺) ∈ V) → (𝐹(𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))𝐺) = (𝐹𝐺))
127, 11mpd3an3 1458 . 2 ((𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹(𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))𝐺) = (𝐹𝐺))
136, 12sylan9eq 2788 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  ccom 5686  cfv 6553  (class class class)co 7426  cmpo 7428  +gcplusg 17240  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  DVecAcdveca 40507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-dveca 40508
This theorem is referenced by:  dvalveclem  40530  dva0g  40532  dialss  40551  dia2dimlem5  40573  diblsmopel  40676
  Copyright terms: Public domain W3C validator