Theorem dvavadd 42040

Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvafvadd.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafvadd.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafvadd.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafvadd.v	⊢ + = (+g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvavadd	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))

Proof of Theorem dvavadd

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvafvadd.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvafvadd.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvafvadd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4		dvafvadd.v	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dvafvadd 42039	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
6	5	oveqd 7429	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹(𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))𝐺))
7		coexg 7930	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
8		coeq1 5835	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝑔))
9		coeq2 5836	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐺))
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
11	8, 9, 10	ovmpog 7571	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V) → (𝐹(𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
12	7, 11	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹(𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
13	6, 12	sylan9eq 2816	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  +_gcplusg 17408  LHypclh 41009  LTrncltrn 41126  DVecAcdveca 42027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-dveca 42028

This theorem is used by:  dvalveclem  42050  dva0g  42052  dialss  42071  dia2dimlem5  42093  diblsmopel  42196