Theorem erngmul-rN 38565

Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
erngset.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t-r	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e-r	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
erng.m-r	⊢ · = (.r‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erngmul-rN	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))

Proof of Theorem erngmul-rN

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erngset.h-r	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngset.t-r	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngset.e-r	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erngset.d-r	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
5		erng.m-r	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngfmul-rN 38564	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠)))
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠)))
8	7	oveqd 7230	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉))
9		coexg 7707	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑉 ∘ 𝑈) ∈ V)
10	9	ancoms 462	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑉 ∘ 𝑈) ∈ V)
11		coeq2 5727	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (𝑡 ∘ 𝑠) = (𝑡 ∘ 𝑈))
12		coeq1 5726	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → (𝑡 ∘ 𝑈) = (𝑉 ∘ 𝑈))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))
14	11, 12, 13	ovmpog 7368	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑉 ∘ 𝑈) ∈ V) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))
15	10, 14	mpd3an3 1464	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))
16	15	adantl 485	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))
17	8, 16	eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   ∘ ccom 5555  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ∈ cmpo 7215  ._rcmulr 16803  LHypclh 37735  LTrncltrn 37852  TEndoctendo 38503  EDRing_Rcedring-rN 38505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-edring-rN 38507

This theorem is referenced by:  erngdvlem3-rN  38749  erngdvlem4-rN  38750