Theorem erngmul-rN 40838

Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
erngset.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t-r	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e-r	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
erng.m-r	⊢ · = (.r‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erngmul-rN	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))

Proof of Theorem erngmul-rN

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erngset.h-r	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngset.t-r	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngset.e-r	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erngset.d-r	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
5		erng.m-r	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngfmul-rN 40837	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠)))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠)))
8	7	oveqd 7427	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉))
9		coexg 7930	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑉 ∘ 𝑈) ∈ V)
10	9	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑉 ∘ 𝑈) ∈ V)
11		coeq2 5843	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (𝑡 ∘ 𝑠) = (𝑡 ∘ 𝑈))
12		coeq1 5842	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → (𝑡 ∘ 𝑈) = (𝑉 ∘ 𝑈))
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))
14	11, 12, 13	ovmpog 7571	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑉 ∘ 𝑈) ∈ V) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))
15	10, 14	mpd3an3 1464	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))
17	8, 16	eqtrd 2771	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  ._rcmulr 17277  LHypclh 40008  LTrncltrn 40125  TEndoctendo 40776  EDRing_Rcedring-rN 40778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-edring-rN 40780

This theorem is referenced by:  erngdvlem3-rN  41022  erngdvlem4-rN  41023