Theorem erngmul-rN 38755

Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
erngset.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t-r	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e-r	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
erng.m-r	⊢ · = (.r‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erngmul-rN	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))

Proof of Theorem erngmul-rN

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erngset.h-r	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngset.t-r	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngset.e-r	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erngset.d-r	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
5		erng.m-r	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngfmul-rN 38754	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠)))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠)))
8	7	oveqd 7272	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉))
9		coexg 7750	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑉 ∘ 𝑈) ∈ V)
10	9	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑉 ∘ 𝑈) ∈ V)
11		coeq2 5756	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (𝑡 ∘ 𝑠) = (𝑡 ∘ 𝑈))
12		coeq1 5755	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → (𝑡 ∘ 𝑈) = (𝑉 ∘ 𝑈))
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))
14	11, 12, 13	ovmpog 7410	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑉 ∘ 𝑈) ∈ V) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))
15	10, 14	mpd3an3 1460	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))
17	8, 16	eqtrd 2778	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ._rcmulr 16889  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  TEndoctendo 38693  EDRing_Rcedring-rN 38695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-edring-rN 38697

This theorem is referenced by:  erngdvlem3-rN  38939  erngdvlem4-rN  38940