Theorem erngmul-rN 40816

Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
erngset.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t-r	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e-r	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
erng.m-r	⊢ · = (.r‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erngmul-rN	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))

Proof of Theorem erngmul-rN

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erngset.h-r	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngset.t-r	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngset.e-r	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erngset.d-r	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
5		erng.m-r	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngfmul-rN 40815	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠)))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → · = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠)))
8	7	oveqd 7448	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉))
9		coexg 7951	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑉 ∘ 𝑈) ∈ V)
10	9	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑉 ∘ 𝑈) ∈ V)
11		coeq2 5869	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (𝑡 ∘ 𝑠) = (𝑡 ∘ 𝑈))
12		coeq1 5868	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → (𝑡 ∘ 𝑈) = (𝑉 ∘ 𝑈))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠)) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))
14	11, 12, 13	ovmpog 7592	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑉 ∘ 𝑈) ∈ V) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))
15	10, 14	mpd3an3 1464	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈(𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑡 ∘ 𝑠))𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))
17	8, 16	eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 · 𝑉) = (𝑉 ∘ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ._rcmulr 17298  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  TEndoctendo 40754  EDRing_Rcedring-rN 40756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-edring-rN 40758

This theorem is referenced by:  erngdvlem3-rN  41000  erngdvlem4-rN  41001