Theorem imasle 17577

Description: The ordering of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasle.n	⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
imasle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasle	⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))

Proof of Theorem imasle

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasbas.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7		eqid 2769	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		eqid 2769	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑅) = (·𝑖‘𝑅)
9		eqid 2769	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
10		eqid 2769	. . 3 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
11		imasle.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
12		imasbas.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
13		imasbas.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
14		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
15	1, 2, 12, 13, 3, 14	imasplusg 17571	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑈) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩})
16		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
17	1, 2, 12, 13, 4, 16	imasmulr 17572	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑈) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r‘𝑅)𝑞))⟩})
18		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19	1, 2, 12, 13, 5, 6, 7, 18	imasvsca 17574	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑈) = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠 ‘𝑅)𝑞))))
20		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩} = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩})
21		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
22	1, 2, 12, 13, 9, 21	imastset 17576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
23		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
24	1, 2, 12, 13, 10, 23	imasds 17567	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ inf(∪ 𝑢 ∈ ℕ ran (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑢)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(𝑤‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑤‘𝑢))) = 𝑦 ∧ ∀𝑣 ∈ (1...(𝑢 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑤‘𝑣))) = (𝐹‘(1st ‘(𝑤‘(𝑣 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg ((dist‘𝑅) ∘ 𝑧))), ℝ*, < )))
25		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹) = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 25, 12, 13	imasval 17565	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}))
27		eqid 2769	. . 3 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
28	27	imasvalstr 17504	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩
29		pleid 17420	. 2 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
30		snsstp2 4787	. . 3 ⊢ {⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩} ⊆ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}
31		ssun2 4140	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
32	30, 31	sstri 3954	. 2 ⊢ {⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
33		fof 6793	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
34	12, 33	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
35		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
36	2, 35	eqeltrdi 2877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
37	34, 36	fexd 7226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
38	11	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ V
39		coexg 7926	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝑁) ∈ V)
40	37, 38, 39	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑁) ∈ V)
41		cnvexg 7921	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
42	37, 41	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ V)
43		coexg 7926	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑁) ∈ V ∧ ◡𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹) ∈ V)
44	40, 42, 43	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹) ∈ V)
45		imasle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
46	26, 28, 29, 32, 44, 45	strfv3 17264	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911  {csn 4594  {ctp 4598  ⟨cop 4600  ∪ ciun 4960  ^◡ccnv 5661   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101  2c2 12295  ;cdc 12711  ndxcnx 17253  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  ·_𝑖cip 17315  TopSetcts 17316  lecple 17317  distcds 17319  TopOpenctopn 17474   “_s cimas 17558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-imas 17562

This theorem is referenced by:  imasless  17594  imasleval  17595