MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasle 16580
Description: The ordering of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasbas.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasbas.r (𝜑𝑅𝑍)
imasle.n 𝑁 = (le‘𝑅)
imasle.l = (le‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imasle (𝜑 = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem imasle
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasbas.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2778 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2778 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2778 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6 eqid 2778 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7 eqid 2778 . . 3 ( ·𝑠𝑅) = ( ·𝑠𝑅)
8 eqid 2778 . . 3 (·𝑖𝑅) = (·𝑖𝑅)
9 eqid 2778 . . 3 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
10 eqid 2778 . . 3 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
11 imasle.n . . 3 𝑁 = (le‘𝑅)
12 imasbas.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
13 imasbas.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑍)
14 eqid 2778 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
151, 2, 12, 13, 3, 14imasplusg 16574 . . 3 (𝜑 → (+g𝑈) = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g𝑅)𝑞))⟩})
16 eqid 2778 . . . 4 (.r𝑈) = (.r𝑈)
171, 2, 12, 13, 4, 16imasmulr 16575 . . 3 (𝜑 → (.r𝑈) = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩})
18 eqid 2778 . . . 4 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
191, 2, 12, 13, 5, 6, 7, 18imasvsca 16577 . . 3 (𝜑 → ( ·𝑠𝑈) = 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞))))
20 eqidd 2779 . . 3 (𝜑 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩} = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩})
21 eqid 2778 . . . 4 (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
221, 2, 12, 13, 9, 21imastset 16579 . . 3 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
23 eqid 2778 . . . 4 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
241, 2, 12, 13, 10, 23imasds 16570 . . 3 (𝜑 → (dist‘𝑈) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ inf( 𝑢 ∈ ℕ ran (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑𝑚 (1...𝑢)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(𝑤‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑤𝑢))) = 𝑦 ∧ ∀𝑣 ∈ (1...(𝑢 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑤𝑣))) = (𝐹‘(1st ‘(𝑤‘(𝑣 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg ((dist‘𝑅) ∘ 𝑧))), ℝ*, < )))
25 eqidd 2779 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹) = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 25, 12, 13imasval 16568 . 2 (𝜑𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}))
27 eqid 2778 . . 3 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
2827imasvalstr 16509 . 2 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) Struct ⟨1, 12⟩
29 pleid 16451 . 2 le = Slot (le‘ndx)
30 snsstp2 4581 . . 3 {⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩} ⊆ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}
31 ssun2 4000 . . 3 {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
3230, 31sstri 3830 . 2 {⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
33 fof 6368 . . . . . 6 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
3412, 33syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
35 fvex 6461 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
362, 35syl6eqel 2867 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
37 fex 6763 . . . . 5 ((𝐹:𝑉𝐵𝑉 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
3834, 36, 37syl2anc 579 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
3911fvexi 6462 . . . 4 𝑁 ∈ V
40 coexg 7398 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝐹𝑁) ∈ V)
4138, 39, 40sylancl 580 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ V)
42 cnvexg 7393 . . . 4 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
4338, 42syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
44 coexg 7398 . . 3 (((𝐹𝑁) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹) ∈ V)
4541, 43, 44syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹) ∈ V)
46 imasle.l . 2 = (le‘𝑈)
4726, 28, 29, 32, 45, 46strfv3 16315 1 (𝜑 = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  cun 3790  {csn 4398  {ctp 4402  cop 4404   ciun 4755  ccnv 5356  ccom 5361  wf 6133  ontowfo 6135  cfv 6137  (class class class)co 6924  1c1 10275  2c2 11435  cdc 11850  ndxcnx 16263  Basecbs 16266  +gcplusg 16349  .rcmulr 16350  Scalarcsca 16352   ·𝑠 cvsca 16353  ·𝑖cip 16354  TopSetcts 16355  lecple 16356  distcds 16358  TopOpenctopn 16479  s cimas 16561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-imas 16565
This theorem is referenced by:  imasless  16597  imasleval  16598
  Copyright terms: Public domain W3C validator