Theorem imasle 17419

Description: The ordering of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasle.n	⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
imasle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasle	⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))

Proof of Theorem imasle

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasbas.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7		eqid 2731	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑅) = (·𝑖‘𝑅)
9		eqid 2731	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
10		eqid 2731	. . 3 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
11		imasle.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
12		imasbas.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
13		imasbas.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
14		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
15	1, 2, 12, 13, 3, 14	imasplusg 17413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑈) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩})
16		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
17	1, 2, 12, 13, 4, 16	imasmulr 17414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑈) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r‘𝑅)𝑞))⟩})
18		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19	1, 2, 12, 13, 5, 6, 7, 18	imasvsca 17416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑈) = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠 ‘𝑅)𝑞))))
20		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩} = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩})
21		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
22	1, 2, 12, 13, 9, 21	imastset 17418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
23		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
24	1, 2, 12, 13, 10, 23	imasds 17409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ inf(∪ 𝑢 ∈ ℕ ran (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑢)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(𝑤‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑤‘𝑢))) = 𝑦 ∧ ∀𝑣 ∈ (1...(𝑢 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑤‘𝑣))) = (𝐹‘(1st ‘(𝑤‘(𝑣 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg ((dist‘𝑅) ∘ 𝑧))), ℝ*, < )))
25		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹) = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 25, 12, 13	imasval 17407	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}))
27		eqid 2731	. . 3 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
28	27	imasvalstr 17347	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩
29		pleid 17262	. 2 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
30		snsstp2 4782	. . 3 ⊢ {⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩} ⊆ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}
31		ssun2 4138	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
32	30, 31	sstri 3956	. 2 ⊢ {⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
33		fof 6761	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
34	12, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
35		fvex 6860	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
36	2, 35	eqeltrdi 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
37	34, 36	fexd 7182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
38	11	fvexi 6861	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ V
39		coexg 7871	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝑁) ∈ V)
40	37, 38, 39	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑁) ∈ V)
41		cnvexg 7866	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
42	37, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ V)
43		coexg 7871	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑁) ∈ V ∧ ◡𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹) ∈ V)
44	40, 42, 43	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹) ∈ V)
45		imasle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
46	26, 28, 29, 32, 44, 45	strfv3 17088	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3446   ∪ cun 3911  {csn 4591  {ctp 4595  ⟨cop 4597  ∪ ciun 4959  ^◡ccnv 5637   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6497  –onto→wfo 6499  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11061  2c2 12217  ;cdc 12627  ndxcnx 17076  Basecbs 17094  +_gcplusg 17147  ._rcmulr 17148  Scalarcsca 17150   ·_𝑠 cvsca 17151  ·_𝑖cip 17152  TopSetcts 17153  lecple 17154  distcds 17156  TopOpenctopn 17317   “_s cimas 17400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-fz 13435  df-struct 17030  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-imas 17404

This theorem is referenced by:  imasless  17436  imasleval  17437