Theorem imasle 17486

Description: The ordering of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasle.n	⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
imasle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasle	⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))

Proof of Theorem imasle

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasbas.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑅) = (·𝑖‘𝑅)
9		eqid 2729	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
11		imasle.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
12		imasbas.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
13		imasbas.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
14		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
15	1, 2, 12, 13, 3, 14	imasplusg 17480	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑈) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩})
16		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
17	1, 2, 12, 13, 4, 16	imasmulr 17481	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑈) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r‘𝑅)𝑞))⟩})
18		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19	1, 2, 12, 13, 5, 6, 7, 18	imasvsca 17483	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑈) = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠 ‘𝑅)𝑞))))
20		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩} = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩})
21		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
22	1, 2, 12, 13, 9, 21	imastset 17485	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
23		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
24	1, 2, 12, 13, 10, 23	imasds 17476	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ inf(∪ 𝑢 ∈ ℕ ran (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑢)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(𝑤‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑤‘𝑢))) = 𝑦 ∧ ∀𝑣 ∈ (1...(𝑢 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑤‘𝑣))) = (𝐹‘(1st ‘(𝑤‘(𝑣 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg ((dist‘𝑅) ∘ 𝑧))), ℝ*, < )))
25		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹) = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 25, 12, 13	imasval 17474	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}))
27		eqid 2729	. . 3 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
28	27	imasvalstr 17414	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩
29		pleid 17330	. 2 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
30		snsstp2 4781	. . 3 ⊢ {⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩} ⊆ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}
31		ssun2 4142	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
32	30, 31	sstri 3956	. 2 ⊢ {⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
33		fof 6772	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
34	12, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
35		fvex 6871	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
36	2, 35	eqeltrdi 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
37	34, 36	fexd 7201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
38	11	fvexi 6872	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ V
39		coexg 7905	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝑁) ∈ V)
40	37, 38, 39	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑁) ∈ V)
41		cnvexg 7900	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
42	37, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ V)
43		coexg 7905	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑁) ∈ V ∧ ◡𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹) ∈ V)
44	40, 42, 43	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹) ∈ V)
45		imasle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
46	26, 28, 29, 32, 44, 45	strfv3 17174	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∪ cun 3912  {csn 4589  {ctp 4593  ⟨cop 4595  ∪ ciun 4955  ^◡ccnv 5637   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069  2c2 12241  ;cdc 12649  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  ·_𝑖cip 17225  TopSetcts 17226  lecple 17227  distcds 17229  TopOpenctopn 17384   “_s cimas 17467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-imas 17471

This theorem is referenced by:  imasless  17503  imasleval  17504