Theorem imasle 16580

Description: The ordering of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasle.n	⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
imasle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasle	⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))

Proof of Theorem imasle

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasbas.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		eqid 2778	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2778	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7		eqid 2778	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		eqid 2778	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑅) = (·𝑖‘𝑅)
9		eqid 2778	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
10		eqid 2778	. . 3 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
11		imasle.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (le‘𝑅)
12		imasbas.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
13		imasbas.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
14		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
15	1, 2, 12, 13, 3, 14	imasplusg 16574	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑈) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩})
16		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
17	1, 2, 12, 13, 4, 16	imasmulr 16575	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑈) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r‘𝑅)𝑞))⟩})
18		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19	1, 2, 12, 13, 5, 6, 7, 18	imasvsca 16577	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑈) = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠 ‘𝑅)𝑞))))
20		eqidd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩} = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩})
21		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
22	1, 2, 12, 13, 9, 21	imastset 16579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
23		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
24	1, 2, 12, 13, 10, 23	imasds 16570	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ inf(∪ 𝑢 ∈ ℕ ran (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑𝑚 (1...𝑢)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(𝑤‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑤‘𝑢))) = 𝑦 ∧ ∀𝑣 ∈ (1...(𝑢 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑤‘𝑣))) = (𝐹‘(1st ‘(𝑤‘(𝑣 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg ((dist‘𝑅) ∘ 𝑧))), ℝ*, < )))
25		eqidd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹) = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 25, 12, 13	imasval 16568	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}))
27		eqid 2778	. . 3 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
28	27	imasvalstr 16509	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩
29		pleid 16451	. 2 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
30		snsstp2 4581	. . 3 ⊢ {⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩} ⊆ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}
31		ssun2 4000	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
32	30, 31	sstri 3830	. 2 ⊢ {⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖‘𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
33		fof 6368	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
34	12, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
35		fvex 6461	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
36	2, 35	syl6eqel 2867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
37		fex 6763	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶𝐵 ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
38	34, 36, 37	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
39	11	fvexi 6462	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ V
40		coexg 7398	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝑁) ∈ V)
41	38, 39, 40	sylancl 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑁) ∈ V)
42		cnvexg 7393	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
43	38, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ V)
44		coexg 7398	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑁) ∈ V ∧ ◡𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹) ∈ V)
45	41, 43, 44	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹) ∈ V)
46		imasle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
47	26, 28, 29, 32, 45, 46	strfv3 16315	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ 𝑁) ∘ ◡𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ∪ cun 3790  {csn 4398  {ctp 4402  ⟨cop 4404  ∪ ciun 4755  ^◡ccnv 5356   ∘ ccom 5361  ⟶wf 6133  –onto→wfo 6135  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  1c1 10275  2c2 11435  ;cdc 11850  ndxcnx 16263  Basecbs 16266  +_gcplusg 16349  ._rcmulr 16350  Scalarcsca 16352   ·_𝑠 cvsca 16353  ·_𝑖cip 16354  TopSetcts 16355  lecple 16356  distcds 16358  TopOpenctopn 16479   “_s cimas 16561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-imas 16565

This theorem is referenced by:  imasless  16597  imasleval  16598