MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasle 17583
Description: The ordering of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasbas.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasbas.r (𝜑𝑅𝑍)
imasle.n 𝑁 = (le‘𝑅)
imasle.l = (le‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imasle (𝜑 = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem imasle
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasbas.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2740 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2740 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2740 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6 eqid 2740 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7 eqid 2740 . . 3 ( ·𝑠𝑅) = ( ·𝑠𝑅)
8 eqid 2740 . . 3 (·𝑖𝑅) = (·𝑖𝑅)
9 eqid 2740 . . 3 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
10 eqid 2740 . . 3 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
11 imasle.n . . 3 𝑁 = (le‘𝑅)
12 imasbas.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
13 imasbas.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑍)
14 eqid 2740 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
151, 2, 12, 13, 3, 14imasplusg 17577 . . 3 (𝜑 → (+g𝑈) = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g𝑅)𝑞))⟩})
16 eqid 2740 . . . 4 (.r𝑈) = (.r𝑈)
171, 2, 12, 13, 4, 16imasmulr 17578 . . 3 (𝜑 → (.r𝑈) = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩})
18 eqid 2740 . . . 4 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
191, 2, 12, 13, 5, 6, 7, 18imasvsca 17580 . . 3 (𝜑 → ( ·𝑠𝑈) = 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞))))
20 eqidd 2741 . . 3 (𝜑 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩} = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩})
21 eqid 2740 . . . 4 (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
221, 2, 12, 13, 9, 21imastset 17582 . . 3 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
23 eqid 2740 . . . 4 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
241, 2, 12, 13, 10, 23imasds 17573 . . 3 (𝜑 → (dist‘𝑈) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ inf( 𝑢 ∈ ℕ ran (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑢)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(𝑤‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑤𝑢))) = 𝑦 ∧ ∀𝑣 ∈ (1...(𝑢 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑤𝑣))) = (𝐹‘(1st ‘(𝑤‘(𝑣 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg ((dist‘𝑅) ∘ 𝑧))), ℝ*, < )))
25 eqidd 2741 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹) = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 25, 12, 13imasval 17571 . 2 (𝜑𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}))
27 eqid 2740 . . 3 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
2827imasvalstr 17511 . 2 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) Struct ⟨1, 12⟩
29 pleid 17426 . 2 le = Slot (le‘ndx)
30 snsstp2 4842 . . 3 {⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩} ⊆ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}
31 ssun2 4202 . . 3 {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
3230, 31sstri 4018 . 2 {⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
33 fof 6834 . . . . . 6 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
3412, 33syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
35 fvex 6933 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
362, 35eqeltrdi 2852 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
3734, 36fexd 7264 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
3811fvexi 6934 . . . 4 𝑁 ∈ V
39 coexg 7969 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝐹𝑁) ∈ V)
4037, 38, 39sylancl 585 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ V)
41 cnvexg 7964 . . . 4 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
4237, 41syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
43 coexg 7969 . . 3 (((𝐹𝑁) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹) ∈ V)
4440, 42, 43syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹) ∈ V)
45 imasle.l . 2 = (le‘𝑈)
4626, 28, 29, 32, 44, 45strfv3 17252 1 (𝜑 = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2108  Vcvv 3488  cun 3974  {csn 4648  {ctp 4652  cop 4654   ciun 5015  ccnv 5699  ccom 5704  wf 6569  ontowfo 6571  cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185  2c2 12348  cdc 12758  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  +gcplusg 17311  .rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·𝑠 cvsca 17315  ·𝑖cip 17316  TopSetcts 17317  lecple 17318  distcds 17320  TopOpenctopn 17481  s cimas 17564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-imas 17568
This theorem is referenced by:  imasless  17600  imasleval  17601
  Copyright terms: Public domain W3C validator