Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhmulr 40469
Description: Ring multiplication operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfmul.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhfmul.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfmul.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfmul.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfmul.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
dvhfmul.m Β· = (.rβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dvhmulr (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 Β· 𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))

Proof of Theorem dvhmulr
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvhfmul.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvhfmul.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvhfmul.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 dvhfmul.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dvhfmul.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 dvhfmul.m . . . 4 Β· = (.rβ€˜πΉ)
71, 2, 3, 4, 5, 6dvhfmulr 40468 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Β· = (π‘Ÿ ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (π‘Ÿ ∘ 𝑠)))
87oveqd 7421 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 Β· 𝑆) = (𝑅(π‘Ÿ ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (π‘Ÿ ∘ 𝑠))𝑆))
9 coexg 7916 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (𝑅 ∘ 𝑆) ∈ V)
10 coeq1 5850 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘Ÿ ∘ 𝑠) = (𝑅 ∘ 𝑠))
11 coeq2 5851 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑅 ∘ 𝑠) = (𝑅 ∘ 𝑆))
12 eqid 2726 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (π‘Ÿ ∘ 𝑠)) = (π‘Ÿ ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (π‘Ÿ ∘ 𝑠))
1310, 11, 12ovmpog 7562 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑅 ∘ 𝑆) ∈ V) β†’ (𝑅(π‘Ÿ ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (π‘Ÿ ∘ 𝑠))𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))
149, 13mpd3an3 1458 . 2 ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (𝑅(π‘Ÿ ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (π‘Ÿ ∘ 𝑠))𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))
158, 14sylan9eq 2786 1 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 Β· 𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  .rcmulr 17204  Scalarcsca 17206  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484  TEndoctendo 40135  DVecHcdvh 40461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-edring 40140  df-dvech 40462
This theorem is referenced by:  tendolinv  40488  tendorinv  40489  dvhlveclem  40491
  Copyright terms: Public domain W3C validator