Theorem dvhmulr 41532

Description: Ring multiplication operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhfmul.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhfmul.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhfmul.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhfmul.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhfmul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvhfmul.m	⊢ · = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvhmulr	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → (𝑅 · 𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))

Proof of Theorem dvhmulr

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhfmul.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvhfmul.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvhfmul.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvhfmul.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dvhfmul.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6		dvhfmul.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvhfmulr 41531	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠)))
8	7	oveqd 7384	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅 · 𝑆) = (𝑅(𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))𝑆))
9		coexg 7880	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑅 ∘ 𝑆) ∈ V)
10		coeq1 5812	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ∘ 𝑠) = (𝑅 ∘ 𝑠))
11		coeq2 5813	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑅 ∘ 𝑠) = (𝑅 ∘ 𝑆))
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠)) = (𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))
13	10, 11, 12	ovmpog 7526	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑅 ∘ 𝑆) ∈ V) → (𝑅(𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))
14	9, 13	mpd3an3 1465	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑅(𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))
15	8, 14	sylan9eq 2791	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → (𝑅 · 𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223  LHypclh 40430  LTrncltrn 40547  TEndoctendo 41198  DVecHcdvh 41524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-edring 41203  df-dvech 41525

This theorem is referenced by:  tendolinv  41551  tendorinv  41552  dvhlveclem  41554