Theorem dvhmulr 41893

Description: Ring multiplication operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhfmul.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhfmul.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhfmul.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhfmul.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhfmul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvhfmul.m	⊢ · = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvhmulr	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → (𝑅 · 𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))

Proof of Theorem dvhmulr

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhfmul.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvhfmul.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvhfmul.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvhfmul.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dvhfmul.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6		dvhfmul.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvhfmulr 41892	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = (𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠)))
8	7	oveqd 7433	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅 · 𝑆) = (𝑅(𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))𝑆))
9		coexg 7928	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑅 ∘ 𝑆) ∈ V)
10		coeq1 5845	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ∘ 𝑠) = (𝑅 ∘ 𝑠))
11		coeq2 5846	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑅 ∘ 𝑠) = (𝑅 ∘ 𝑆))
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠)) = (𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))
13	10, 11, 12	ovmpog 7575	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑅 ∘ 𝑆) ∈ V) → (𝑅(𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))
14	9, 13	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑅(𝑟 ∈ 𝐸, 𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑟 ∘ 𝑠))𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))
15	8, 14	sylan9eq 2820	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → (𝑅 · 𝑆) = (𝑅 ∘ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  ._rcmulr 17328  Scalarcsca 17330  LHypclh 40791  LTrncltrn 40908  TEndoctendo 41559  DVecHcdvh 41885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-struct 17224  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-edring 41564  df-dvech 41886

This theorem is used by:  tendolinv  41912  tendorinv  41913  dvhlveclem  41915