Theorem itcoval2 49602

Description: A function iterated twice. (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcoval2	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (𝐹 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem itcoval2

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval 49599	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
2	1	fveq1d 6884	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2))
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2))
4		nn0uz 12929	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		1nn0 12548	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℕ0)
7		df-2 12331	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
8	1	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterComp‘𝐹))
9	8	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = ((IterComp‘𝐹)‘1))
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = ((IterComp‘𝐹)‘1))
11		itcoval1 49601	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = 𝐹)
12	10, 11	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = 𝐹)
13		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
14		2ne0 12375	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
15		neeq1 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑖 ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
16	14, 15	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → 𝑖 ≠ 0)
17	16	neneqd 2962	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 2 → ¬ 𝑖 = 0)
18	17	iffalsed 4496	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 2 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 2) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20		2nn0 12549	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 2 ∈ ℕ0)
22		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	13, 19, 21, 22	fvmptd 6998	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘2) = 𝐹)
24	4, 6, 7, 12, 23	seqp1d 14086	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26		coeq2 5842	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐹))
27	26	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = 𝐹 ∧ 𝑗 = 𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐹))
28		elex 3474	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
29		coexg 7930	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
30	29	anidms 577	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
31	25, 27, 28, 28, 30	ovmpod 7569	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐹))
32	31	adantl 487	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐹))
33	3, 24, 32	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (𝐹 ∘ 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  ifcif 4485   ↦ cmpt 5190   I cid 5553  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  Rel wrel 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  0cc0 11128  1c1 11129  2c2 12323  ℕ₀cn0 12532  seqcseq 14069  IterCompcitco 49595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070  df-itco 49597

This theorem is used by:  itcoval3  49603