Theorem itcoval2 48624

Description: A function iterated twice. (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcoval2	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (𝐹 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem itcoval2

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval 48621	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
2	1	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2))
4		nn0uz 12899	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		1nn0 12522	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℕ0)
7		df-2 12308	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
8	1	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterComp‘𝐹))
9	8	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = ((IterComp‘𝐹)‘1))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = ((IterComp‘𝐹)‘1))
11		itcoval1 48623	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = 𝐹)
12	10, 11	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = 𝐹)
13		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
14		2ne0 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
15		neeq1 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑖 ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
16	14, 15	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → 𝑖 ≠ 0)
17	16	neneqd 2938	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 2 → ¬ 𝑖 = 0)
18	17	iffalsed 4516	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 2 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 2) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20		2nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 2 ∈ ℕ0)
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	13, 19, 21, 22	fvmptd 6998	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘2) = 𝐹)
24	4, 6, 7, 12, 23	seqp1d 14041	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘2) = (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26		coeq2 5843	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐹))
27	26	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = 𝐹 ∧ 𝑗 = 𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐹))
28		elex 3485	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
29		coexg 7930	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
30	29	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
31	25, 27, 28, 28, 30	ovmpod 7564	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐹))
32	31	adantl 481	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐹))
33	3, 24, 32	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘2) = (𝐹 ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  Vcvv 3464  ifcif 4505   ↦ cmpt 5206   I cid 5552  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  Rel wrel 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  0cc0 11134  1c1 11135  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  seqcseq 14024  IterCompcitco 48617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-itco 48619

This theorem is referenced by:  itcoval3  48625