Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcoval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itcoval2 47625
Description: A function iterated twice. (Contributed by AV, 2-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcoval2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
Proof of Theorem itcoval2
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itcoval 47622 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (IterCompβ€˜πΉ) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))))
21fveq1d 6887 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2))
32adantl 481 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2))
4 nn0uz 12868 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5 1nn0 12492 . . . 4 1 ∈ β„•0
65a1i 11 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 1 ∈ β„•0)
7 df-2 12279 . . 3 2 = (1 + 1)
81eqcomd 2732 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterCompβ€˜πΉ))
98fveq1d 6887 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜1) = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜1))
109adantl 481 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜1) = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜1))
11 itcoval1 47624 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜1) = 𝐹)
1210, 11eqtrd 2766 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜1) = 𝐹)
13 eqidd 2727 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))
14 2ne0 12320 . . . . . . . 8 2 β‰  0
15 neeq1 2997 . . . . . . . 8 (𝑖 = 2 β†’ (𝑖 β‰  0 ↔ 2 β‰  0))
1614, 15mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 β†’ 𝑖 β‰  0)
1716neneqd 2939 . . . . . 6 (𝑖 = 2 β†’ Β¬ 𝑖 = 0)
1817iffalsed 4534 . . . . 5 (𝑖 = 2 β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
1918adantl 481 . . . 4 (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 2) β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20 2nn0 12493 . . . . 5 2 ∈ β„•0
2120a1i 11 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 2 ∈ β„•0)
22 simpr 484 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
2313, 19, 21, 22fvmptd 6999 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))β€˜2) = 𝐹)
244, 6, 7, 12, 23seqp1d 13989 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2) = (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25 eqidd 2727 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26 coeq2 5852 . . . . 5 (𝑔 = 𝐹 β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐹))
2726ad2antrl 725 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = 𝐹 ∧ 𝑗 = 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐹))
28 elex 3487 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ V)
29 coexg 7919 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
3029anidms 566 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
3125, 27, 28, 28, 30ovmpod 7556 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐹))
3231adantl 481 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐹))
333, 24, 323eqtrd 2770 1 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224   I cid 5566  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  Rel wrel 5674  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12271  β„•0cn0 12476  seqcseq 13972  IterCompcitco 47618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-itco 47620
This theorem is referenced by:  itcoval3  47626
  Copyright terms: Public domain W3C validator