Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcoval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itcoval2 47303
Description: A function iterated twice. (Contributed by AV, 2-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcoval2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
Proof of Theorem itcoval2
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itcoval 47300 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (IterCompβ€˜πΉ) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))))
21fveq1d 6890 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2))
32adantl 482 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2))
4 nn0uz 12860 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5 1nn0 12484 . . . 4 1 ∈ β„•0
65a1i 11 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 1 ∈ β„•0)
7 df-2 12271 . . 3 2 = (1 + 1)
81eqcomd 2738 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterCompβ€˜πΉ))
98fveq1d 6890 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜1) = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜1))
109adantl 482 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜1) = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜1))
11 itcoval1 47302 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜1) = 𝐹)
1210, 11eqtrd 2772 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜1) = 𝐹)
13 eqidd 2733 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))
14 2ne0 12312 . . . . . . . 8 2 β‰  0
15 neeq1 3003 . . . . . . . 8 (𝑖 = 2 β†’ (𝑖 β‰  0 ↔ 2 β‰  0))
1614, 15mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 β†’ 𝑖 β‰  0)
1716neneqd 2945 . . . . . 6 (𝑖 = 2 β†’ Β¬ 𝑖 = 0)
1817iffalsed 4538 . . . . 5 (𝑖 = 2 β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
1918adantl 482 . . . 4 (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 2) β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20 2nn0 12485 . . . . 5 2 ∈ β„•0
2120a1i 11 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 2 ∈ β„•0)
22 simpr 485 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
2313, 19, 21, 22fvmptd 7002 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))β€˜2) = 𝐹)
244, 6, 7, 12, 23seqp1d 13979 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2) = (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25 eqidd 2733 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26 coeq2 5856 . . . . 5 (𝑔 = 𝐹 β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐹))
2726ad2antrl 726 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = 𝐹 ∧ 𝑗 = 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐹))
28 elex 3492 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ V)
29 coexg 7916 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
3029anidms 567 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
3125, 27, 28, 28, 30ovmpod 7556 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐹))
3231adantl 482 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐹))
333, 24, 323eqtrd 2776 1 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230   I cid 5572  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  Rel wrel 5680  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  0cc0 11106  1c1 11107  2c2 12263  β„•0cn0 12468  seqcseq 13962  IterCompcitco 47296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-itco 47298
This theorem is referenced by:  itcoval3  47304
  Copyright terms: Public domain W3C validator