Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcoval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itcoval2 47821
Description: A function iterated twice. (Contributed by AV, 2-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcoval2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
Proof of Theorem itcoval2
Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itcoval 47818 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (IterCompβ€˜πΉ) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))))
21fveq1d 6892 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2))
32adantl 480 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2))
4 nn0uz 12892 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5 1nn0 12516 . . . 4 1 ∈ β„•0
65a1i 11 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 1 ∈ β„•0)
7 df-2 12303 . . 3 2 = (1 + 1)
81eqcomd 2731 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterCompβ€˜πΉ))
98fveq1d 6892 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜1) = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜1))
109adantl 480 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜1) = ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜1))
11 itcoval1 47820 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜1) = 𝐹)
1210, 11eqtrd 2765 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜1) = 𝐹)
13 eqidd 2726 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))
14 2ne0 12344 . . . . . . . 8 2 β‰  0
15 neeq1 2993 . . . . . . . 8 (𝑖 = 2 β†’ (𝑖 β‰  0 ↔ 2 β‰  0))
1614, 15mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 β†’ 𝑖 β‰  0)
1716neneqd 2935 . . . . . 6 (𝑖 = 2 β†’ Β¬ 𝑖 = 0)
1817iffalsed 4533 . . . . 5 (𝑖 = 2 β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
1918adantl 480 . . . 4 (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 2) β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20 2nn0 12517 . . . . 5 2 ∈ β„•0
2120a1i 11 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 2 ∈ β„•0)
22 simpr 483 . . . 4 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
2313, 19, 21, 22fvmptd 7005 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))β€˜2) = 𝐹)
244, 6, 7, 12, 23seqp1d 14013 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜2) = (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25 eqidd 2726 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26 coeq2 5853 . . . . 5 (𝑔 = 𝐹 β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐹))
2726ad2antrl 726 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = 𝐹 ∧ 𝑗 = 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐹))
28 elex 3482 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ V)
29 coexg 7933 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
3029anidms 565 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∘ 𝐹) ∈ V)
3125, 27, 28, 28, 30ovmpod 7568 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐹))
3231adantl 480 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐹))
333, 24, 323eqtrd 2769 1 ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜2) = (𝐹 ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463  ifcif 4522   ↦ cmpt 5224   I cid 5567  dom cdm 5670   β†Ύ cres 5672   ∘ ccom 5674  Rel wrel 5675  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  0cc0 11136  1c1 11137  2c2 12295  β„•0cn0 12500  seqcseq 13996  IterCompcitco 47814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 13997  df-itco 47816
This theorem is referenced by:  itcoval3  47822
  Copyright terms: Public domain W3C validator