MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmlbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmlbs 20412
Description: The unit vectors comprise a basis for a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmlbs.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmlbs.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmlbs.j 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
frlmlbs ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran 𝑈𝐽)

Proof of Theorem frlmlbs
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmlbs.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2 frlmlbs.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3 eqid 2765 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
41, 2, 3uvcff 20406 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
54frnd 6230 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
6 suppssdm 7510 . . . . . 6 (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ dom 𝑎
7 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
82, 7, 3frlmbasf 20380 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
98adantll 705 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
106, 9fssdm 6239 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼)
1110ralrimiva 3113 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐹)(𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼)
12 rabid2 3266 . . . 4 ((Base‘𝐹) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼} ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐹)(𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼)
1311, 12sylibr 225 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘𝐹) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼})
14 ssid 3783 . . . 4 𝐼𝐼
15 eqid 2765 . . . . 5 (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
16 eqid 2765 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
17 eqid 2765 . . . . 5 {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼} = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼}
182, 1, 15, 3, 16, 17frlmsslsp 20411 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐼𝐼) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈𝐼)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼})
1914, 18mp3an3 1574 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈𝐼)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼})
20 ffn 6223 . . . . 5 (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹) → 𝑈 Fn 𝐼)
21 fnima 6188 . . . . 5 (𝑈 Fn 𝐼 → (𝑈𝐼) = ran 𝑈)
224, 20, 213syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝑈𝐼) = ran 𝑈)
2322fveq2d 6379 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈𝐼)) = ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈))
2413, 19, 233eqtr2rd 2806 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
25 eqid 2765 . . . . . 6 ( ·𝑠𝐹) = ( ·𝑠𝐹)
26 eqid 2765 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})} = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})}
27 simpll 783 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑅 ∈ Ring)
28 simplr 785 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝐼𝑉)
29 difssd 3900 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝐼 ∖ {𝑐}) ⊆ 𝐼)
30 vsnid 4367 . . . . . . 7 𝑐 ∈ {𝑐}
31 snssi 4493 . . . . . . . . 9 (𝑐𝐼 → {𝑐} ⊆ 𝐼)
3231ad2antrl 719 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → {𝑐} ⊆ 𝐼)
33 dfss4 4023 . . . . . . . 8 ({𝑐} ⊆ 𝐼 ↔ (𝐼 ∖ (𝐼 ∖ {𝑐})) = {𝑐})
3432, 33sylib 209 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝐼 ∖ (𝐼 ∖ {𝑐})) = {𝑐})
3530, 34syl5eleqr 2851 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑐 ∈ (𝐼 ∖ (𝐼 ∖ {𝑐})))
362frlmsca 20373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
3736fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
3836fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝐹)))
3938sneqd 4346 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → {(0g𝑅)} = {(0g‘(Scalar‘𝐹))})
4037, 39difeq12d 3891 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}) = ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))
4140eleq2d 2830 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝑏 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}) ↔ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))})))
4241biimpar 469 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))})) → 𝑏 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
4342adantrl 707 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑏 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
442, 1, 3, 7, 25, 16, 26, 27, 28, 29, 35, 43frlmssuvc2 20410 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})})
4516, 7ringelnzr 19540 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑅 ∈ NzRing)
4627, 43, 45syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑅 ∈ NzRing)
471, 2, 3uvcf1 20407 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹))
4846, 28, 47syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹))
49 df-f1 6073 . . . . . . . . . 10 (𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹) ↔ (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹) ∧ Fun 𝑈))
5049simprbi 490 . . . . . . . . 9 (𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹) → Fun 𝑈)
51 imadif 6151 . . . . . . . . 9 (Fun 𝑈 → (𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐})) = ((𝑈𝐼) ∖ (𝑈 “ {𝑐})))
5248, 50, 513syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐})) = ((𝑈𝐼) ∖ (𝑈 “ {𝑐})))
53 f1fn 6284 . . . . . . . . . 10 (𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹) → 𝑈 Fn 𝐼)
5448, 53, 213syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝑈𝐼) = ran 𝑈)
5548, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑈 Fn 𝐼)
56 simprl 787 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑐𝐼)
57 fnsnfv 6447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 Fn 𝐼𝑐𝐼) → {(𝑈𝑐)} = (𝑈 “ {𝑐}))
5855, 56, 57syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → {(𝑈𝑐)} = (𝑈 “ {𝑐}))
5958eqcomd 2771 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝑈 “ {𝑐}) = {(𝑈𝑐)})
6054, 59difeq12d 3891 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ((𝑈𝐼) ∖ (𝑈 “ {𝑐})) = (ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))
6152, 60eqtr2d 2800 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}) = (𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐})))
6261fveq2d 6379 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})) = ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐}))))
632, 1, 15, 3, 16, 26frlmsslsp 20411 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉 ∧ (𝐼 ∖ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐}))) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})})
6427, 28, 29, 63syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐}))) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})})
6562, 64eqtrd 2799 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})})
6644, 65neleqtrrd 2866 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})))
6766ralrimivva 3118 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ∀𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})))
68 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑈𝑐) → (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) = (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)))
69 sneq 4344 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑈𝑐) → {𝑎} = {(𝑈𝑐)})
7069difeq2d 3890 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑈𝑐) → (ran 𝑈 ∖ {𝑎}) = (ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))
7170fveq2d 6379 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑈𝑐) → ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) = ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})))
7268, 71eleq12d 2838 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑈𝑐) → ((𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
7372notbid 309 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑈𝑐) → (¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
7473ralbidv 3133 . . . . 5 (𝑎 = (𝑈𝑐) → (∀𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ ∀𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
7574ralrn 6552 . . . 4 (𝑈 Fn 𝐼 → (∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ ∀𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
764, 20, 753syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ ∀𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
7767, 76mpbird 248 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})))
78 ovex 6874 . . . 4 (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ V
792, 78eqeltri 2840 . . 3 𝐹 ∈ V
80 eqid 2765 . . . 4 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
81 eqid 2765 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
82 frlmlbs.j . . . 4 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
83 eqid 2765 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝐹)) = (0g‘(Scalar‘𝐹))
843, 80, 25, 81, 82, 15, 83islbs 19348 . . 3 (𝐹 ∈ V → (ran 𝑈𝐽 ↔ (ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹) ∧ ∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})))))
8579, 84ax-mp 5 . 2 (ran 𝑈𝐽 ↔ (ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹) ∧ ∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎}))))
865, 24, 77, 85syl3anbrc 1443 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran 𝑈𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3729  wss 3732  {csn 4334  ccnv 5276  ran crn 5278  cima 5280  Fun wfun 6062   Fn wfn 6063  wf 6064  1-1wf1 6065  cfv 6068  (class class class)co 6842   supp csupp 7497  Basecbs 16132  Scalarcsca 16219   ·𝑠 cvsca 16220  0gc0g 16368  Ringcrg 18814  LSpanclspn 19243  LBasisclbs 19346  NzRingcnzr 19531   freeLMod cfrlm 20366   unitVec cuvc 20397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-hom 16240  df-cco 16241  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-prds 16376  df-pws 16378  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-ghm 17924  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-lmhm 19294  df-lbs 19347  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-nzr 19532  df-dsmm 20352  df-frlm 20367  df-uvc 20398
This theorem is referenced by:  frlmup3  20415  frlmup4  20416  lmisfree  20457  frlmisfrlm  20463  lindsdom  33759  aacllem  43151
  Copyright terms: Public domain W3C validator