Theorem inmbl 25562

Description: An intersection of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inmbl	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem inmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difundi 4281	. . 3 ⊢ (ℝ ∖ ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵))) = ((ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) ∩ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐵)))
2		mblss 25551	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		dfss4 4260	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = 𝐴)
4	2, 3	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = 𝐴)
5		mblss 25551	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
6		dfss4 4260	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐵)) = 𝐵)
7	5, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐵)) = 𝐵)
8	4, 7	ineqan12d 4215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → ((ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) ∩ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐵))) = (𝐴 ∩ 𝐵))
9	1, 8	eqtrid 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (ℝ ∖ ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵))) = (𝐴 ∩ 𝐵))
10		cmmbl 25554	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
11		cmmbl 25554	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
12		unmbl 25557	. . . 4 ⊢ (((ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol ∧ (ℝ ∖ 𝐵) ∈ dom vol) → ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol)
13	10, 11, 12	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol)
14		cmmbl 25554	. . 3 ⊢ (((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol → (ℝ ∖ ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵))) ∈ dom vol)
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (ℝ ∖ ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵))) ∈ dom vol)
16	9, 15	eqeltrrd 2827	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  dom cdm 5682  ℝcr 11157  volcvol 25483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-ovol 25484  df-vol 25485

This theorem is referenced by:  difmbl  25563  volinun  25566  uniioombllem4  25606  subopnmbl  25624  volsup2  25625  volcn  25626  volivth  25627  mbfid  25655  ismbfd  25659  mbfres  25664  mbfmax  25669  mbfimaopnlem  25675  mbfimaopn2  25677  mbfaddlem  25680  mbfadd  25681  mbfsub  25682  i1fadd  25715  i1fmul  25716  itg1addlem2  25717  itg1addlem4  25719  itg1addlem4OLD  25720  itg1addlem5  25721  i1fres  25726  itg1climres  25735  mbfi1fseqlem4  25739  mbfmul  25747  itg2monolem1  25771  itg2cnlem2  25783  mbfposadd  37368  itg2addnclem2  37373  ftc1anclem6  37399