Theorem inmbl 25868

Description: An intersection of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inmbl	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem inmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difundi 4235	. . 3 ⊢ (ℝ ∖ ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵))) = ((ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) ∩ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐵)))
2		mblss 25857	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		dfss4 4214	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = 𝐴)
4	2, 3	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = 𝐴)
5		mblss 25857	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
6		dfss4 4214	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐵)) = 𝐵)
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐵)) = 𝐵)
8	4, 7	ineqan12d 4119	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → ((ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) ∩ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐵))) = (𝐴 ∩ 𝐵))
9	1, 8	eqtrid 2807	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (ℝ ∖ ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵))) = (𝐴 ∩ 𝐵))
10		cmmbl 25860	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
11		cmmbl 25860	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
12		unmbl 25863	. . . 4 ⊢ (((ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol ∧ (ℝ ∖ 𝐵) ∈ dom vol) → ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol)
13	10, 11, 12	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol)
14		cmmbl 25860	. . 3 ⊢ (((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol → (ℝ ∖ ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵))) ∈ dom vol)
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (ℝ ∖ ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵))) ∈ dom vol)
16	9, 15	eqeltrrd 2861	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  dom cdm 5650  ℝcr 11202  volcvol 25789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-ioo 13483  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-ovol 25790  df-vol 25791

This theorem is used by:  difmbl  25869  volinun  25872  uniioombllem4  25912  subopnmbl  25930  volsup2  25931  volcn  25932  volivth  25933  mbfid  25961  ismbfd  25965  mbfres  25970  mbfmax  25975  mbfimaopnlem  25981  mbfimaopn2  25983  mbfaddlem  25986  mbfadd  25987  mbfsub  25988  i1fadd  26021  i1fmul  26022  itg1addlem2  26023  itg1addlem4  26025  itg1addlem5  26026  i1fres  26031  itg1climres  26040  mbfi1fseqlem4  26044  mbfmul  26052  itg2monolem1  26076  itg2cnlem2  26088  mbfposadd  38678  itg2addnclem2  38683  ftc1anclem6  38709