Theorem inmbl 25450

Description: An intersection of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inmbl	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem inmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difundi 4256	. . 3 ⊢ (ℝ ∖ ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵))) = ((ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) ∩ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐵)))
2		mblss 25439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		dfss4 4235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = 𝐴)
4	2, 3	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = 𝐴)
5		mblss 25439	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
6		dfss4 4235	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐵)) = 𝐵)
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐵)) = 𝐵)
8	4, 7	ineqan12d 4188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → ((ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) ∩ (ℝ ∖ (ℝ ∖ 𝐵))) = (𝐴 ∩ 𝐵))
9	1, 8	eqtrid 2777	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (ℝ ∖ ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵))) = (𝐴 ∩ 𝐵))
10		cmmbl 25442	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
11		cmmbl 25442	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
12		unmbl 25445	. . . 4 ⊢ (((ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol ∧ (ℝ ∖ 𝐵) ∈ dom vol) → ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol)
13	10, 11, 12	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol)
14		cmmbl 25442	. . 3 ⊢ (((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol → (ℝ ∖ ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵))) ∈ dom vol)
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (ℝ ∖ ((ℝ ∖ 𝐴) ∪ (ℝ ∖ 𝐵))) ∈ dom vol)
16	9, 15	eqeltrrd 2830	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  dom cdm 5641  ℝcr 11074  volcvol 25371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-ovol 25372  df-vol 25373

This theorem is referenced by:  difmbl  25451  volinun  25454  uniioombllem4  25494  subopnmbl  25512  volsup2  25513  volcn  25514  volivth  25515  mbfid  25543  ismbfd  25547  mbfres  25552  mbfmax  25557  mbfimaopnlem  25563  mbfimaopn2  25565  mbfaddlem  25568  mbfadd  25569  mbfsub  25570  i1fadd  25603  i1fmul  25604  itg1addlem2  25605  itg1addlem4  25607  itg1addlem5  25608  i1fres  25613  itg1climres  25622  mbfi1fseqlem4  25626  mbfmul  25634  itg2monolem1  25658  itg2cnlem2  25670  mbfposadd  37668  itg2addnclem2  37673  ftc1anclem6  37699