MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itgss3 25731
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
itgss3.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
itgss3.3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0)
itgss3.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
itgss3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘₯)
Proof of Theorem itgss3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2898 . . . . . 6 Ⅎ𝑦if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)
2 nfv 1910 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ 𝐴
3 nfcsb1v 3914 . . . . . . 7 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢
4 nfcv 2898 . . . . . . 7 β„²π‘₯0
52, 3, 4nfif 4554 . . . . . 6 β„²π‘₯if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)
6 eleq1w 2811 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
7 csbeq1a 3903 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐢 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
86, 7ifbieq1d 4548 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
91, 5, 8cbvmpt 5253 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
10 itgss3.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
12 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦𝐢
1312, 3, 7cbvmpt 5253 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
14 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
1514mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
1613, 15eqtr4i 2758 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
17 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
1816, 17eqeltrrid 2833 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
19 iblmbf 25684 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
2110sselda 3978 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
22 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2321, 22syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2423fmpttd 7119 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
2616feq1i 6707 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
2725, 26sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
2827fvmptelcdm 7117 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) ∈ β„‚)
2920, 28mbfdm2 25553 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
30 undif 4477 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
3110, 30sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
3231adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
33 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
34 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
3534ssdifssd 4138 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† ℝ)
36 itgss3.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0)
37 nulmbl 25451 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0) β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
3835, 36, 37syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
39 unmbl 25453 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
4033, 38, 39syl2anr 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
4132, 40eqeltrrd 2829 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
4229, 41syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
43 eldifn 4123 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
4443adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
4544iffalsed 4535 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) = 0)
4611, 42, 28, 45, 18iblss2 25722 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
479, 46eqeltrid 2832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
48 iftrue 4530 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
4948mpteq2ia 5245 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
501, 5, 8cbvmpt 5253 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
5149, 50eqtr3i 2757 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
5210adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
53 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
549, 53eqeltrrid 2833 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
55 iblmbf 25684 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
57 0cn 11228 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„‚
58 ifcl 4569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
5922, 57, 58sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
6059fmpttd 7119 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
619feq1i 6707 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚ ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6260, 61sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6362adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6463fvmptelcdm 7117 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) ∈ β„‚)
6556, 64mbfdm2 25553 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
66 dfss4 4254 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
6710, 66sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
6867adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
69 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ dom vol β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
70 difmbl 25459 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ dom vol ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
7169, 38, 70syl2anr 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
7268, 71eqeltrrd 2829 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
7365, 72syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
7452, 73, 64, 54iblss 25721 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
7551, 74eqeltrid 2832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7647, 75impbida 800 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1))
7767eleq2d 2814 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
7877biimpa 476 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
7978, 48syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴))) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
8059, 22, 35, 36, 79itgeqa 25730 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
8180simpld 494 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1))
8276, 81bitrd 279 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1))
83 itgss2 25729 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯)
8410, 83syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯)
8580simprd 495 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯)
8684, 85eqtrd 2767 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯)
8782, 86jca 511 1 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β¦‹csb 3889   βˆ– cdif 3941   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  ifcif 4524   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  vol*covol 25378  volcvol 25379  MblFncmbf 25530  πΏ1cibl 25533  βˆ«citg 25534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-rest 17395  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cmp 23278  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539
This theorem is referenced by:  itgioo  25732  itgsplitioo  25754  itgvol0  45279  ibliooicc  45282
  Copyright terms: Public domain W3C validator