MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgss3 24407
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1 (𝜑𝐴𝐵)
itgss3.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
itgss3.3 (𝜑 → (vol*‘(𝐵𝐴)) = 0)
itgss3.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
itgss3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2975 . . . . . 6 𝑦if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)
2 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑥 𝑦𝐴
3 nfcsb1v 3905 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
4 nfcv 2975 . . . . . . 7 𝑥0
52, 3, 4nfif 4494 . . . . . 6 𝑥if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)
6 eleq1w 2893 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
7 csbeq1a 3895 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
86, 7ifbieq1d 4488 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
91, 5, 8cbvmpt 5158 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
10 itgss3.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
1110adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴𝐵)
12 nfcv 2975 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐶
1312, 3, 7cbvmpt 5158 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶)
14 iftrue 4471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
1514mpteq2ia 5148 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶)
1613, 15eqtr4i 2845 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
17 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
1816, 17eqeltrrid 2916 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
19 iblmbf 24360 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
2110sselda 3965 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
22 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2321, 22syldan 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2423fmpttd 6872 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
2524adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
2616feq1i 6498 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
2725, 26sylib 220 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
2827fvmptelrn 6870 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) ∈ ℂ)
2920, 28mbfdm2 24230 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
30 undif 4428 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3110, 30sylib 220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3231adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
33 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
34 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
3534ssdifssd 4117 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ⊆ ℝ)
36 itgss3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (vol*‘(𝐵𝐴)) = 0)
37 nulmbl 24128 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵𝐴)) = 0) → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
3835, 36, 37syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
39 unmbl 24130 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵𝐴) ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
4033, 38, 39syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
4132, 40eqeltrrd 2912 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom vol) → 𝐵 ∈ dom vol)
4229, 41syldan 593 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
43 eldifn 4102 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐵𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
4443adantl 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)) → ¬ 𝑦𝐴)
4544iffalsed 4476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) = 0)
4611, 42, 28, 45, 18iblss2 24398 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
479, 46eqeltrid 2915 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
48 iftrue 4471 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
4948mpteq2ia 5148 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥𝐴𝐶)
501, 5, 8cbvmpt 5158 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
5149, 50eqtr3i 2844 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
5210adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴𝐵)
53 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
549, 53eqeltrrid 2916 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
55 iblmbf 24360 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
57 0cn 10625 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
58 ifcl 4509 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5922, 57, 58sylancl 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
6059fmpttd 6872 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
619feq1i 6498 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ ↔ (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
6260, 61sylib 220 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
6362adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
6463fvmptelrn 6870 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) ∈ ℂ)
6556, 64mbfdm2 24230 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
66 dfss4 4233 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) = 𝐴)
6710, 66sylib 220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) = 𝐴)
6867adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) = 𝐴)
69 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ∈ dom vol)
70 difmbl 24136 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐵𝐴) ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
7169, 38, 70syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
7268, 71eqeltrrd 2912 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
7365, 72syldan 593 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
7452, 73, 64, 54iblss 24397 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
7551, 74eqeltrid 2915 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7647, 75impbida 799 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1))
7767eleq2d 2896 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐴))
7877biimpa 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴))) → 𝑥𝐴)
7978, 48syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴))) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
8059, 22, 35, 36, 79itgeqa 24406 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
8180simpld 497 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1))
8276, 81bitrd 281 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1))
83 itgss2 24405 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
8410, 83syl 17 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
8580simprd 498 . . 3 (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
8684, 85eqtrd 2854 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
8782, 86jca 514 1 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  csb 3881  cdif 3931  cun 3932  wss 3934  ifcif 4465  cmpt 5137  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  vol*covol 24055  volcvol 24056  MblFncmbf 24207  𝐿1cibl 24210  citg 24211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-symdif 4217  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546  df-cmp 21987  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-mbf 24212  df-itg1 24213  df-itg2 24214  df-ibl 24215  df-itg 24216
This theorem is referenced by:  itgioo  24408  itgsplitioo  24430  itgvol0  42237  ibliooicc  42240
  Copyright terms: Public domain W3C validator