MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itgss3 25566
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
itgss3.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
itgss3.3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0)
itgss3.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
itgss3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘₯)
Proof of Theorem itgss3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2901 . . . . . 6 Ⅎ𝑦if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)
2 nfv 1915 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ 𝐴
3 nfcsb1v 3919 . . . . . . 7 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢
4 nfcv 2901 . . . . . . 7 β„²π‘₯0
52, 3, 4nfif 4559 . . . . . 6 β„²π‘₯if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)
6 eleq1w 2814 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
7 csbeq1a 3908 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐢 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
86, 7ifbieq1d 4553 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
91, 5, 8cbvmpt 5260 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
10 itgss3.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
12 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦𝐢
1312, 3, 7cbvmpt 5260 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
14 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
1514mpteq2ia 5252 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
1613, 15eqtr4i 2761 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
17 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
1816, 17eqeltrrid 2836 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
19 iblmbf 25519 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
2110sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
22 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2321, 22syldan 589 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2423fmpttd 7117 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
2524adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
2616feq1i 6709 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
2725, 26sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
2827fvmptelcdm 7115 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) ∈ β„‚)
2920, 28mbfdm2 25388 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
30 undif 4482 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
3110, 30sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
3231adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
33 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
34 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
3534ssdifssd 4143 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† ℝ)
36 itgss3.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0)
37 nulmbl 25286 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0) β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
3835, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
39 unmbl 25288 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
4033, 38, 39syl2anr 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
4132, 40eqeltrrd 2832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
4229, 41syldan 589 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
43 eldifn 4128 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
4443adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
4544iffalsed 4540 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) = 0)
4611, 42, 28, 45, 18iblss2 25557 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
479, 46eqeltrid 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
48 iftrue 4535 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
4948mpteq2ia 5252 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
501, 5, 8cbvmpt 5260 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
5149, 50eqtr3i 2760 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
5210adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
53 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
549, 53eqeltrrid 2836 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
55 iblmbf 25519 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
57 0cn 11212 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„‚
58 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
5922, 57, 58sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
6059fmpttd 7117 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
619feq1i 6709 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚ ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6260, 61sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6362adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6463fvmptelcdm 7115 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) ∈ β„‚)
6556, 64mbfdm2 25388 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
66 dfss4 4259 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
6710, 66sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
6867adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
69 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ dom vol β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
70 difmbl 25294 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ dom vol ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
7169, 38, 70syl2anr 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
7268, 71eqeltrrd 2832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
7365, 72syldan 589 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
7452, 73, 64, 54iblss 25556 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
7551, 74eqeltrid 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7647, 75impbida 797 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1))
7767eleq2d 2817 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
7877biimpa 475 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
7978, 48syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴))) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
8059, 22, 35, 36, 79itgeqa 25565 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
8180simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1))
8276, 81bitrd 278 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1))
83 itgss2 25564 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯)
8410, 83syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯)
8580simprd 494 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯)
8684, 85eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯)
8782, 86jca 510 1 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β¦‹csb 3894   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  vol*covol 25213  volcvol 25214  MblFncmbf 25365  πΏ1cibl 25368  βˆ«citg 25369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-cmp 23113  df-ovol 25215  df-vol 25216  df-mbf 25370  df-itg1 25371  df-itg2 25372  df-ibl 25373  df-itg 25374
This theorem is referenced by:  itgioo  25567  itgsplitioo  25589  itgvol0  44984  ibliooicc  44987
  Copyright terms: Public domain W3C validator