MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgss3 25862
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1 (𝜑𝐴𝐵)
itgss3.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
itgss3.3 (𝜑 → (vol*‘(𝐵𝐴)) = 0)
itgss3.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
itgss3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑦if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)
2 nfv 1913 . . . . . . 7 𝑥 𝑦𝐴
3 nfcsb1v 3940 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
4 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑥0
52, 3, 4nfif 4578 . . . . . 6 𝑥if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)
6 eleq1w 2821 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
7 csbeq1a 3929 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
86, 7ifbieq1d 4572 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
91, 5, 8cbvmpt 5280 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
10 itgss3.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴𝐵)
12 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐶
1312, 3, 7cbvmpt 5280 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶)
14 iftrue 4554 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
1514mpteq2ia 5272 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶)
1613, 15eqtr4i 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
17 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
1816, 17eqeltrrid 2843 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
19 iblmbf 25815 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
2110sselda 4002 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
22 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2321, 22syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2423fmpttd 7147 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
2616feq1i 6737 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
2725, 26sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
2827fvmptelcdm 7145 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) ∈ ℂ)
2920, 28mbfdm2 25684 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
30 undif 4501 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3110, 30sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3231adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
33 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
34 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
3534ssdifssd 4164 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ⊆ ℝ)
36 itgss3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (vol*‘(𝐵𝐴)) = 0)
37 nulmbl 25582 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵𝐴)) = 0) → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
3835, 36, 37syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
39 unmbl 25584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵𝐴) ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
4033, 38, 39syl2anr 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
4132, 40eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom vol) → 𝐵 ∈ dom vol)
4229, 41syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
43 eldifn 4149 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐵𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
4443adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)) → ¬ 𝑦𝐴)
4544iffalsed 4559 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) = 0)
4611, 42, 28, 45, 18iblss2 25853 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
479, 46eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
48 iftrue 4554 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
4948mpteq2ia 5272 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥𝐴𝐶)
501, 5, 8cbvmpt 5280 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
5149, 50eqtr3i 2764 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
5210adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴𝐵)
53 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
549, 53eqeltrrid 2843 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
55 iblmbf 25815 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
57 0cn 11278 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
58 ifcl 4593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5922, 57, 58sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
6059fmpttd 7147 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
619feq1i 6737 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ ↔ (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
6260, 61sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
6362adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
6463fvmptelcdm 7145 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) ∈ ℂ)
6556, 64mbfdm2 25684 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
66 dfss4 4282 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) = 𝐴)
6710, 66sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) = 𝐴)
6867adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) = 𝐴)
69 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ∈ dom vol)
70 difmbl 25590 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐵𝐴) ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
7169, 38, 70syl2anr 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
7268, 71eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
7365, 72syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
7452, 73, 64, 54iblss 25852 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
7551, 74eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7647, 75impbida 800 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1))
7767eleq2d 2824 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐴))
7877biimpa 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴))) → 𝑥𝐴)
7978, 48syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴))) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
8059, 22, 35, 36, 79itgeqa 25861 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
8180simpld 494 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1))
8276, 81bitrd 279 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1))
83 itgss2 25860 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
8410, 83syl 17 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
8580simprd 495 . . 3 (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
8684, 85eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
8782, 86jca 511 1 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  csb 3915  cdif 3967  cun 3968  wss 3970  ifcif 4548  cmpt 5252  dom cdm 5699  wf 6568  cfv 6572  cc 11178  cr 11179  0cc0 11180  vol*covol 25509  volcvol 25510  MblFncmbf 25661  𝐿1cibl 25664  citg 25665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-symdif 4266  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-disj 5137  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-ofr 7711  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fi 9476  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-ioo 13407  df-ico 13409  df-icc 13410  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-sum 15731  df-rest 17477  df-topgen 17498  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22914  df-topon 22931  df-bases 22967  df-cmp 23409  df-ovol 25511  df-vol 25512  df-mbf 25666  df-itg1 25667  df-itg2 25668  df-ibl 25669  df-itg 25670
This theorem is referenced by:  itgioo  25863  itgsplitioo  25885  itgvol0  45823  ibliooicc  45826
  Copyright terms: Public domain W3C validator