Theorem itgss3 24417

Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgss3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
itgss3.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
itgss3.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0)
itgss3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
itgss3	⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2979	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)
2		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
3		nfcsb1v 3909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
4		nfcv 2979	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥0
5	2, 3, 4	nfif 4498	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)
6		eleq1w 2897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
7		csbeq1a 3899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
8	6, 7	ifbieq1d 4492	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5169	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
10		itgss3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
11	10	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
12		nfcv 2979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
13	12, 3, 7	cbvmpt 5169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
14		iftrue 4475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
15	14	mpteq2ia 5159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
16	13, 15	eqtr4i 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
17		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
18	16, 17	eqeltrrid 2920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
19		iblmbf 24370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
21	10	sselda 3969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22		itgss3.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	21, 22	syldan 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	23	fmpttd 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
25	24	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
26	16	feq1i 6507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
27	25, 26	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
28	27	fvmptelrn 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
29	20, 28	mbfdm2 24240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
30		undif 4432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
31	10, 30	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
32	31	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
33		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
34		itgss3.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
35	34	ssdifssd 4121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
36		itgss3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0)
37		nulmbl 24138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
38	35, 36, 37	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
39		unmbl 24140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
40	33, 38, 39	syl2anr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
41	32, 40	eqeltrrd 2916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐵 ∈ dom vol)
42	29, 41	syldan 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
43		eldifn 4106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
44	43	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
45	44	iffalsed 4480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) = 0)
46	11, 42, 28, 45, 18	iblss2 24408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
47	9, 46	eqeltrid 2919	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
48		iftrue 4475	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
49	48	mpteq2ia 5159	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
50	1, 5, 8	cbvmpt 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
51	49, 50	eqtr3i 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
52	10	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
53		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
54	9, 53	eqeltrrid 2920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
55		iblmbf 24370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
57		0cn 10635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
58		ifcl 4513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
59	22, 57, 58	sylancl 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
60	59	fmpttd 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
61	9	feq1i 6507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
62	60, 61	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
63	62	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
64	63	fvmptelrn 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
65	56, 64	mbfdm2 24240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
66		dfss4 4237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
67	10, 66	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
68	67	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
69		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ∈ dom vol)
70		difmbl 24146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
71	69, 38, 70	syl2anr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
72	68, 71	eqeltrrd 2916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
73	65, 72	syldan 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
74	52, 73, 64, 54	iblss 24407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
75	51, 74	eqeltrid 2919	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
76	47, 75	impbida 799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1))
77	67	eleq2d 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
78	77	biimpa 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
79	78, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴))) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
80	59, 22, 35, 36, 79	itgeqa 24416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
81	80	simpld 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
82	76, 81	bitrd 281	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
83		itgss2 24415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
84	10, 83	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
85	80	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
86	84, 85	eqtrd 2858	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
87	82, 86	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3885   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  ifcif 4469   ↦ cmpt 5148  dom cdm 5557  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  vol*covol 24065  volcvol 24066  MblFncmbf 24217  𝐿¹cibl 24220  ∫citg 24221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-symdif 4221  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-rest 16698  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-cmp 21997  df-ovol 24067  df-vol 24068  df-mbf 24222  df-itg1 24223  df-itg2 24224  df-ibl 24225  df-itg 24226

This theorem is referenced by:  itgioo  24418  itgsplitioo  24440  itgvol0  42260  ibliooicc  42263