Theorem itgss3 26135

Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgss3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
itgss3.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
itgss3.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0)
itgss3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
itgss3	⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)
2		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
3		nfcsb1v 3871	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
4		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥0
5	2, 3, 4	nfif 4513	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)
6		eleq1w 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
7		csbeq1a 3861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
8	6, 7	ifbieq1d 4507	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5207	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
10		itgss3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
12		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
13	12, 3, 7	cbvmpt 5207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
14		iftrue 4488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
15	14	mpteq2ia 5200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
16	13, 15	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
17		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
18	16, 17	eqeltrrid 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
19		iblmbf 26088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
21	10	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22		itgss3.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	21, 22	syldan 603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	23	fmpttd 7115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
26	16	feq1i 6700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
27	25, 26	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
28	27	fvmptelcdm 7113	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
29	20, 28	mbfdm2 25958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
30		undif 4438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
31	10, 30	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
33		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
34		itgss3.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
35	34	ssdifssd 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
36		itgss3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0)
37		nulmbl 25856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
38	35, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
39		unmbl 25858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
40	33, 38, 39	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
41	32, 40	eqeltrrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐵 ∈ dom vol)
42	29, 41	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
43		eldifn 4079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
44	43	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
45	44	iffalsed 4493	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) = 0)
46	11, 42, 28, 45, 18	iblss2 26126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
47	9, 46	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
48		iftrue 4488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
49	48	mpteq2ia 5200	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
50	1, 5, 8	cbvmpt 5207	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
51	49, 50	eqtr3i 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
52	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
53		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
54	9, 53	eqeltrrid 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
55		iblmbf 26088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
56	54, 55	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
57		0cn 11298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
58		ifcl 4528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
59	22, 57, 58	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
60	59	fmpttd 7115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
61	9	feq1i 6700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
62	60, 61	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
63	62	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
64	63	fvmptelcdm 7113	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
65	56, 64	mbfdm2 25958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
66		dfss4 4215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
67	10, 66	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
68	67	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
69		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ∈ dom vol)
70		difmbl 25864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
71	69, 38, 70	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
72	68, 71	eqeltrrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
73	65, 72	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
74	52, 73, 64, 54	iblss 26125	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
75	51, 74	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
76	47, 75	impbida 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1))
77	67	eleq2d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
78	77	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
79	78, 48	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴))) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
80	59, 22, 35, 36, 79	itgeqa 26134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
81	80	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
82	76, 81	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
83		itgss2 26133	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
84	10, 83	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
85	80	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
86	84, 85	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
87	82, 86	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⦋csb 3847   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  vol*covol 25783  volcvol 25784  MblFncmbf 25935  𝐿¹cibl 25938  ∫citg 25939

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-rest 17593  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cmp 23705  df-ovol 25785  df-vol 25786  df-mbf 25940  df-itg1 25941  df-itg2 25942  df-ibl 25943  df-itg 25944

This theorem is used by:  itgioo  26136  itgsplitioo  26158  itgvol0  46977  ibliooicc  46980