MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itgss3 25332
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
itgss3.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
itgss3.3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0)
itgss3.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
itgss3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘₯)
Proof of Theorem itgss3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑦if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)
2 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ 𝐴
3 nfcsb1v 3919 . . . . . . 7 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢
4 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯0
52, 3, 4nfif 4559 . . . . . 6 β„²π‘₯if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)
6 eleq1w 2817 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
7 csbeq1a 3908 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐢 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
86, 7ifbieq1d 4553 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
91, 5, 8cbvmpt 5260 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
10 itgss3.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
12 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦𝐢
1312, 3, 7cbvmpt 5260 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
14 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
1514mpteq2ia 5252 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
1613, 15eqtr4i 2764 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
17 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
1816, 17eqeltrrid 2839 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
19 iblmbf 25285 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
2110sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
22 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2321, 22syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2423fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
2524adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
2616feq1i 6709 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
2725, 26sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
2827fvmptelcdm 7113 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) ∈ β„‚)
2920, 28mbfdm2 25154 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
30 undif 4482 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
3110, 30sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
3231adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
33 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
34 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
3534ssdifssd 4143 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† ℝ)
36 itgss3.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0)
37 nulmbl 25052 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0) β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
39 unmbl 25054 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
4033, 38, 39syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
4132, 40eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
4229, 41syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
43 eldifn 4128 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
4443adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
4544iffalsed 4540 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) = 0)
4611, 42, 28, 45, 18iblss2 25323 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
479, 46eqeltrid 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
48 iftrue 4535 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
4948mpteq2ia 5252 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
501, 5, 8cbvmpt 5260 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
5149, 50eqtr3i 2763 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
5210adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
53 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
549, 53eqeltrrid 2839 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
55 iblmbf 25285 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
57 0cn 11206 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„‚
58 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
5922, 57, 58sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
6059fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
619feq1i 6709 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚ ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6260, 61sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6362adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6463fvmptelcdm 7113 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) ∈ β„‚)
6556, 64mbfdm2 25154 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
66 dfss4 4259 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
6710, 66sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
6867adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
69 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ dom vol β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
70 difmbl 25060 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ dom vol ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
7169, 38, 70syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
7268, 71eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
7365, 72syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
7452, 73, 64, 54iblss 25322 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
7551, 74eqeltrid 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7647, 75impbida 800 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1))
7767eleq2d 2820 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
7877biimpa 478 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
7978, 48syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴))) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
8059, 22, 35, 36, 79itgeqa 25331 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
8180simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1))
8276, 81bitrd 279 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1))
83 itgss2 25330 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯)
8410, 83syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯)
8580simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯)
8684, 85eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯)
8782, 86jca 513 1 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β¦‹csb 3894   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  vol*covol 24979  volcvol 24980  MblFncmbf 25131  πΏ1cibl 25134  βˆ«citg 25135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140
This theorem is referenced by:  itgioo  25333  itgsplitioo  25355  itgvol0  44732  ibliooicc  44735
  Copyright terms: Public domain W3C validator