Theorem itgss3 25216

Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgss3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
itgss3.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
itgss3.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0)
itgss3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
itgss3	⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)
2		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
3		nfcsb1v 3883	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
4		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥0
5	2, 3, 4	nfif 4521	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)
6		eleq1w 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
7		csbeq1a 3872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
8	6, 7	ifbieq1d 4515	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
10		itgss3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
12		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
13	12, 3, 7	cbvmpt 5221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
14		iftrue 4497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
15	14	mpteq2ia 5213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
16	13, 15	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
17		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
18	16, 17	eqeltrrid 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
19		iblmbf 25169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
21	10	sselda 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22		itgss3.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	21, 22	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	23	fmpttd 7068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
26	16	feq1i 6664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
27	25, 26	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
28	27	fvmptelcdm 7066	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
29	20, 28	mbfdm2 25038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
30		undif 4446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
31	10, 30	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
33		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
34		itgss3.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
35	34	ssdifssd 4107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
36		itgss3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0)
37		nulmbl 24936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
38	35, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
39		unmbl 24938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
40	33, 38, 39	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
41	32, 40	eqeltrrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐵 ∈ dom vol)
42	29, 41	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
43		eldifn 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
44	43	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
45	44	iffalsed 4502	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) = 0)
46	11, 42, 28, 45, 18	iblss2 25207	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
47	9, 46	eqeltrid 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
48		iftrue 4497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
49	48	mpteq2ia 5213	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
50	1, 5, 8	cbvmpt 5221	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
51	49, 50	eqtr3i 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
52	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
53		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
54	9, 53	eqeltrrid 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
55		iblmbf 25169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
57		0cn 11156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
58		ifcl 4536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
59	22, 57, 58	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
60	59	fmpttd 7068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
61	9	feq1i 6664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
62	60, 61	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
63	62	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
64	63	fvmptelcdm 7066	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
65	56, 64	mbfdm2 25038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
66		dfss4 4223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
67	10, 66	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
68	67	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
69		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ∈ dom vol)
70		difmbl 24944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
71	69, 38, 70	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
72	68, 71	eqeltrrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
73	65, 72	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
74	52, 73, 64, 54	iblss 25206	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
75	51, 74	eqeltrid 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
76	47, 75	impbida 799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1))
77	67	eleq2d 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
78	77	biimpa 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
79	78, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴))) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
80	59, 22, 35, 36, 79	itgeqa 25215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
81	80	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
82	76, 81	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
83		itgss2 25214	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
84	10, 83	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
85	80	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
86	84, 85	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
87	82, 86	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⦋csb 3858   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ifcif 4491   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  ℂcc 11058  ℝcr 11059  0cc0 11060  vol*covol 24863  volcvol 24864  MblFncmbf 25015  𝐿¹cibl 25018  ∫citg 25019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-dju 9846  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-mod 13785  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-sum 15583  df-rest 17318  df-topgen 17339  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-top 22280  df-topon 22297  df-bases 22333  df-cmp 22775  df-ovol 24865  df-vol 24866  df-mbf 25020  df-itg1 25021  df-itg2 25022  df-ibl 25023  df-itg 25024

This theorem is referenced by:  itgioo  25217  itgsplitioo  25239  itgvol0  44329  ibliooicc  44332