MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgss3 25757
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1 (𝜑𝐴𝐵)
itgss3.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
itgss3.3 (𝜑 → (vol*‘(𝐵𝐴)) = 0)
itgss3.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
itgss3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2899 . . . . . 6 𝑦if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)
2 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑥 𝑦𝐴
3 nfcsb1v 3917 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
4 nfcv 2899 . . . . . . 7 𝑥0
52, 3, 4nfif 4559 . . . . . 6 𝑥if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)
6 eleq1w 2812 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
7 csbeq1a 3906 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
86, 7ifbieq1d 4553 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
91, 5, 8cbvmpt 5259 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
10 itgss3.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴𝐵)
12 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐶
1312, 3, 7cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶)
14 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
1514mpteq2ia 5251 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶)
1613, 15eqtr4i 2759 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
17 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
1816, 17eqeltrrid 2834 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
19 iblmbf 25710 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
2110sselda 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
22 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2321, 22syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2423fmpttd 7125 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
2616feq1i 6713 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
2725, 26sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
2827fvmptelcdm 7123 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) ∈ ℂ)
2920, 28mbfdm2 25579 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
30 undif 4482 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3110, 30sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3231adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
33 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
34 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
3534ssdifssd 4141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ⊆ ℝ)
36 itgss3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (vol*‘(𝐵𝐴)) = 0)
37 nulmbl 25477 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵𝐴)) = 0) → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
3835, 36, 37syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
39 unmbl 25479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵𝐴) ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
4033, 38, 39syl2anr 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
4132, 40eqeltrrd 2830 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom vol) → 𝐵 ∈ dom vol)
4229, 41syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
43 eldifn 4126 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐵𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
4443adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)) → ¬ 𝑦𝐴)
4544iffalsed 4540 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) = 0)
4611, 42, 28, 45, 18iblss2 25748 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
479, 46eqeltrid 2833 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
48 iftrue 4535 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
4948mpteq2ia 5251 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥𝐴𝐶)
501, 5, 8cbvmpt 5259 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
5149, 50eqtr3i 2758 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0))
5210adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴𝐵)
53 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
549, 53eqeltrrid 2834 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
55 iblmbf 25710 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ MblFn)
57 0cn 11237 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
58 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5922, 57, 58sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
6059fmpttd 7125 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
619feq1i 6713 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ ↔ (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
6260, 61sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
6362adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐵 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
6463fvmptelcdm 7123 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0) ∈ ℂ)
6556, 64mbfdm2 25579 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
66 dfss4 4259 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) = 𝐴)
6710, 66sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) = 𝐴)
6867adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) = 𝐴)
69 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ∈ dom vol)
70 difmbl 25485 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐵𝐴) ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
7169, 38, 70syl2anr 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) ∈ dom vol)
7268, 71eqeltrrd 2830 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
7365, 72syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
7452, 73, 64, 54iblss 25747 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, 𝑦 / 𝑥𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
7551, 74eqeltrid 2833 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7647, 75impbida 800 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1))
7767eleq2d 2815 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐴))
7877biimpa 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴))) → 𝑥𝐴)
7978, 48syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵𝐴))) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
8059, 22, 35, 36, 79itgeqa 25756 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
8180simpld 494 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1))
8276, 81bitrd 279 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1))
83 itgss2 25755 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
8410, 83syl 17 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
8580simprd 495 . . 3 (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
8684, 85eqtrd 2768 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
8782, 86jca 511 1 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  csb 3892  cdif 3944  cun 3945  wss 3947  ifcif 4529  cmpt 5231  dom cdm 5678  wf 6544  cfv 6548  cc 11137  cr 11138  0cc0 11139  vol*covol 25404  volcvol 25405  MblFncmbf 25556  𝐿1cibl 25559  citg 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-rest 17404  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cmp 23304  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562  df-itg2 25563  df-ibl 25564  df-itg 25565
This theorem is referenced by:  itgioo  25758  itgsplitioo  25780  itgvol0  45356  ibliooicc  45359
  Copyright terms: Public domain W3C validator