MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itgss3 25774
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
itgss3.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
itgss3.3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0)
itgss3.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
itgss3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘₯)
Proof of Theorem itgss3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2892 . . . . . 6 Ⅎ𝑦if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)
2 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ 𝐴
3 nfcsb1v 3915 . . . . . . 7 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢
4 nfcv 2892 . . . . . . 7 β„²π‘₯0
52, 3, 4nfif 4559 . . . . . 6 β„²π‘₯if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)
6 eleq1w 2808 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
7 csbeq1a 3904 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐢 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
86, 7ifbieq1d 4553 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
91, 5, 8cbvmpt 5259 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
10 itgss3.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
12 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦𝐢
1312, 3, 7cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
14 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
1514mpteq2ia 5251 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
1613, 15eqtr4i 2756 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
17 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
1816, 17eqeltrrid 2830 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
19 iblmbf 25727 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
2110sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
22 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2321, 22syldan 589 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2423fmpttd 7122 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
2524adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
2616feq1i 6712 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
2725, 26sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
2827fvmptelcdm 7120 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) ∈ β„‚)
2920, 28mbfdm2 25596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
30 undif 4482 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
3110, 30sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
3231adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
33 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
34 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
3534ssdifssd 4140 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† ℝ)
36 itgss3.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0)
37 nulmbl 25494 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0) β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
3835, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
39 unmbl 25496 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
4033, 38, 39syl2anr 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
4132, 40eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
4229, 41syldan 589 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
43 eldifn 4125 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
4443adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
4544iffalsed 4540 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) = 0)
4611, 42, 28, 45, 18iblss2 25765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
479, 46eqeltrid 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
48 iftrue 4535 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
4948mpteq2ia 5251 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
501, 5, 8cbvmpt 5259 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
5149, 50eqtr3i 2755 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
5210adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
53 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
549, 53eqeltrrid 2830 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
55 iblmbf 25727 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
57 0cn 11236 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„‚
58 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
5922, 57, 58sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
6059fmpttd 7122 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
619feq1i 6712 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚ ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6260, 61sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6362adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6463fvmptelcdm 7120 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) ∈ β„‚)
6556, 64mbfdm2 25596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
66 dfss4 4258 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
6710, 66sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
6867adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
69 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ dom vol β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
70 difmbl 25502 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ dom vol ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
7169, 38, 70syl2anr 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
7268, 71eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
7365, 72syldan 589 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
7452, 73, 64, 54iblss 25764 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
7551, 74eqeltrid 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7647, 75impbida 799 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1))
7767eleq2d 2811 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
7877biimpa 475 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
7978, 48syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴))) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
8059, 22, 35, 36, 79itgeqa 25773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
8180simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1))
8276, 81bitrd 278 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1))
83 itgss2 25772 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯)
8410, 83syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯)
8580simprd 494 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯)
8684, 85eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯)
8782, 86jca 510 1 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β¦‹csb 3890   βˆ– cdif 3942   βˆͺ cun 3943   βŠ† wss 3945  ifcif 4529   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5677  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  vol*covol 25421  volcvol 25422  MblFncmbf 25573  πΏ1cibl 25576  βˆ«citg 25577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-symdif 4242  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-ofr 7684  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22826  df-topon 22843  df-bases 22879  df-cmp 23321  df-ovol 25423  df-vol 25424  df-mbf 25578  df-itg1 25579  df-itg2 25580  df-ibl 25581  df-itg 25582
This theorem is referenced by:  itgioo  25775  itgsplitioo  25797  itgvol0  45419  ibliooicc  45422
  Copyright terms: Public domain W3C validator