MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgss3 25195
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
itgss3.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
itgss3.3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0)
itgss3.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
itgss3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘₯)

Proof of Theorem itgss3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑦if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)
2 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ 𝐴
3 nfcsb1v 3885 . . . . . . 7 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢
4 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘₯0
52, 3, 4nfif 4521 . . . . . 6 β„²π‘₯if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)
6 eleq1w 2821 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
7 csbeq1a 3874 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐢 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
86, 7ifbieq1d 4515 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
91, 5, 8cbvmpt 5221 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
10 itgss3.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
12 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦𝐢
1312, 3, 7cbvmpt 5221 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
14 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
1514mpteq2ia 5213 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
1613, 15eqtr4i 2768 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
17 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
1816, 17eqeltrrid 2843 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
19 iblmbf 25148 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
2110sselda 3949 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
22 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2321, 22syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2423fmpttd 7068 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
2524adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
2616feq1i 6664 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
2725, 26sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΄βŸΆβ„‚)
2827fvmptelcdm 7066 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) ∈ β„‚)
2920, 28mbfdm2 25017 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
30 undif 4446 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
3110, 30sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
3231adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
33 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
34 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
3534ssdifssd 4107 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† ℝ)
36 itgss3.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0)
37 nulmbl 24915 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 βˆ– 𝐴) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) = 0) β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol)
39 unmbl 24917 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
4033, 38, 39syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
4132, 40eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
4229, 41syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
43 eldifn 4092 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
4443adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
4544iffalsed 4502 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) = 0)
4611, 42, 28, 45, 18iblss2 25186 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
479, 46eqeltrid 2842 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
48 iftrue 4497 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
4948mpteq2ia 5213 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
501, 5, 8cbvmpt 5221 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
5149, 50eqtr3i 2767 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0))
5210adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
53 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
549, 53eqeltrrid 2843 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
55 iblmbf 25148 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ MblFn)
57 0cn 11154 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„‚
58 ifcl 4536 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
5922, 57, 58sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) ∈ β„‚)
6059fmpttd 7068 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
619feq1i 6664 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚ ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6260, 61sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6362adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)):π΅βŸΆβ„‚)
6463fvmptelcdm 7066 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0) ∈ β„‚)
6556, 64mbfdm2 25017 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
66 dfss4 4223 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
6710, 66sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
6867adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐴)
69 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ dom vol β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
70 difmbl 24923 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ dom vol ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
7169, 38, 70syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ dom vol)
7268, 71eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ dom vol) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
7365, 72syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
7452, 73, 64, 54iblss 25185 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢, 0)) ∈ 𝐿1)
7551, 74eqeltrid 2842 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7647, 75impbida 800 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1))
7767eleq2d 2824 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴)) ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
7877biimpa 478 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
7978, 48syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝐴))) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
8059, 22, 35, 36, 79itgeqa 25194 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
8180simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1))
8276, 81bitrd 279 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1))
83 itgss2 25193 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯)
8410, 83syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯)
8580simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐡if(π‘₯ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯)
8684, 85eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯)
8782, 86jca 513 1 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = ∫𝐡𝐢 dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β¦‹csb 3860   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  ifcif 4491   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  vol*covol 24842  volcvol 24843  MblFncmbf 24994  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003
This theorem is referenced by:  itgioo  25196  itgsplitioo  25218  itgvol0  44283  ibliooicc  44286
  Copyright terms: Public domain W3C validator