Theorem itgss3 25804

Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgss3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
itgss3.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
itgss3.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0)
itgss3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
itgss3	⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)
2		nfv 1922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
3		nfcsb1v 3857	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
4		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥0
5	2, 3, 4	nfif 4488	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)
6		eleq1w 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
7		csbeq1a 3847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
8	6, 7	ifbieq1d 4482	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5177	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
10		itgss3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
11	10	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
12		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
13	12, 3, 7	cbvmpt 5177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
14		iftrue 4463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
15	14	mpteq2ia 5170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
16	13, 15	eqtr4i 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
17		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
18	16, 17	eqeltrrid 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
19		iblmbf 25756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
21	10	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22		itgss3.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	21, 22	syldan 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	23	fmpttd 7060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
25	24	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
26	16	feq1i 6650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
27	25, 26	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
28	27	fvmptelcdm 7058	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
29	20, 28	mbfdm2 25626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
30		undif 4413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
31	10, 30	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
32	31	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
33		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
34		itgss3.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
35	34	ssdifssd 4080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
36		itgss3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0)
37		nulmbl 25524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
38	35, 36, 37	syl2anc 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
39		unmbl 25526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
40	33, 38, 39	syl2anr 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
41	32, 40	eqeltrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐵 ∈ dom vol)
42	29, 41	syldan 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
43		eldifn 4065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
44	43	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
45	44	iffalsed 4468	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) = 0)
46	11, 42, 28, 45, 18	iblss2 25795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
47	9, 46	eqeltrid 2845	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
48		iftrue 4463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
49	48	mpteq2ia 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
50	1, 5, 8	cbvmpt 5177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
51	49, 50	eqtr3i 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
52	10	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
53		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
54	9, 53	eqeltrrid 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
55		iblmbf 25756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
57		0cn 11131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
58		ifcl 4503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
59	22, 57, 58	sylancl 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
60	59	fmpttd 7060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
61	9	feq1i 6650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
62	60, 61	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
63	62	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
64	63	fvmptelcdm 7058	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
65	56, 64	mbfdm2 25626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
66		dfss4 4200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
67	10, 66	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
68	67	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
69		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ∈ dom vol)
70		difmbl 25532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
71	69, 38, 70	syl2anr 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
72	68, 71	eqeltrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
73	65, 72	syldan 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
74	52, 73, 64, 54	iblss 25794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
75	51, 74	eqeltrid 2845	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
76	47, 75	impbida 807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1))
77	67	eleq2d 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
78	77	biimpa 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
79	78, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴))) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
80	59, 22, 35, 36, 79	itgeqa 25803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
81	80	simpld 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
82	76, 81	bitrd 281	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
83		itgss2 25802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
84	10, 83	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
85	80	simprd 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
86	84, 85	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
87	82, 86	jca 517	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ⦋csb 3833   ∖ cdif 3882   ∪ cun 3883   ⊆ wss 3885  ifcif 4457   ↦ cmpt 5156  dom cdm 5621  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  vol*covol 25451  volcvol 25452  MblFncmbf 25603  𝐿¹cibl 25606  ∫citg 25607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-symdif 4184  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-disj 5043  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-rest 17380  df-topgen 17401  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22933  df-cmp 23374  df-ovol 25453  df-vol 25454  df-mbf 25608  df-itg1 25609  df-itg2 25610  df-ibl 25611  df-itg 25612

This theorem is referenced by:  itgioo  25805  itgsplitioo  25827  itgvol0  46425  ibliooicc  46428