Theorem itgss3 26029

Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgss3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
itgss3.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
itgss3.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0)
itgss3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
itgss3	⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)
2		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
3		nfcsb1v 3878	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
4		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥0
5	2, 3, 4	nfif 4520	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)
6		eleq1w 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
7		csbeq1a 3868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
8	6, 7	ifbieq1d 4514	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5215	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
10		itgss3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
12		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
13	12, 3, 7	cbvmpt 5215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
14		iftrue 4495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
15	14	mpteq2ia 5208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
16	13, 15	eqtr4i 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
17		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
18	16, 17	eqeltrrid 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
19		iblmbf 25981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
21	10	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22		itgss3.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	21, 22	syldan 603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	23	fmpttd 7114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
26	16	feq1i 6700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
27	25, 26	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐴⟶ℂ)
28	27	fvmptelcdm 7112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
29	20, 28	mbfdm2 25851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
30		undif 4445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
31	10, 30	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
33		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
34		itgss3.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
35	34	ssdifssd 4101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
36		itgss3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0)
37		nulmbl 25749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)) = 0) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
38	35, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
39		unmbl 25751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
40	33, 38, 39	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
41	32, 40	eqeltrrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐵 ∈ dom vol)
42	29, 41	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
43		eldifn 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
44	43	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
45	44	iffalsed 4500	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) = 0)
46	11, 42, 28, 45, 18	iblss2 26020	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
47	9, 46	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
48		iftrue 4495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
49	48	mpteq2ia 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
50	1, 5, 8	cbvmpt 5215	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
51	49, 50	eqtr3i 2790	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0))
52	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
53		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
54	9, 53	eqeltrrid 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
55		iblmbf 25981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
56	54, 55	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ MblFn)
57		0cn 11217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
58		ifcl 4535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
59	22, 57, 58	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
60	59	fmpttd 7114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
61	9	feq1i 6700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
62	60, 61	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
63	62	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)):𝐵⟶ℂ)
64	63	fvmptelcdm 7112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
65	56, 64	mbfdm2 25851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐵 ∈ dom vol)
66		dfss4 4222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
67	10, 66	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
68	67	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
69		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ∈ dom vol)
70		difmbl 25757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
71	69, 38, 70	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ dom vol)
72	68, 71	eqeltrrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
73	65, 72	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → 𝐴 ∈ dom vol)
74	52, 73, 64, 54	iblss 26019	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
75	51, 74	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
76	47, 75	impbida 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1))
77	67	eleq2d 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
78	77	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
79	78, 48	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴))) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
80	59, 22, 35, 36, 79	itgeqa 26028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))
81	80	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
82	76, 81	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
83		itgss2 26027	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
84	10, 83	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
85	80	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
86	84, 85	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
87	82, 86	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⦋csb 3854   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ifcif 4489   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℂcc 11117  ℝcr 11118  0cc0 11119  vol*covol 25676  volcvol 25677  MblFncmbf 25828  𝐿¹cibl 25831  ∫citg 25832

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197  ax-addf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-q 12993  df-rp 13037  df-xneg 13157  df-xadd 13158  df-xmul 13159  df-ioo 13396  df-ico 13398  df-icc 13399  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-fl 13847  df-mod 13925  df-seq 14060  df-exp 14120  df-hash 14389  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-clim 15567  df-sum 15766  df-rest 17501  df-topgen 17522  df-psmet 21568  df-xmet 21569  df-met 21570  df-bl 21571  df-mopn 21572  df-top 23105  df-topon 23122  df-bases 23157  df-cmp 23598  df-ovol 25678  df-vol 25679  df-mbf 25833  df-itg1 25834  df-itg2 25835  df-ibl 25836  df-itg 25837

This theorem is used by:  itgioo  26030  itgsplitioo  26052  itgvol0  46759  ibliooicc  46762