MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsdivcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsdivcl 16133
Description: The complement of a divisor of 𝑁 is also a divisor of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsdivcl ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvdsdivcl
StepHypRef Expression
1 breq1 5107 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑁𝐴𝑁))
21elrab 3644 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁))
3 nndivdvds 16080 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
43biimpd 228 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
54expcom 415 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
65com23 86 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
76imp 408 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
8 nnne0 12121 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
98anim1ci 617 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝐴𝑁𝐴 ≠ 0))
10 divconjdvds 16132 . . . . . 6 ((𝐴𝑁𝐴 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
127, 11jctird 528 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
132, 12sylbi 216 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
1413impcom 409 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
15 breq1 5107 . . 3 (𝑥 = (𝑁 / 𝐴) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
1615elrab 3644 . 2 ((𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
1714, 16sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wne 2942  {crab 3406   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  0cc0 10985   / cdiv 11746  cn 12087  cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-z 12434  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  dvdsflip  16134  fsumdvdsdiaglem  26454  fsumdvdsdiag  26455  fsumdvdscom  26456  muinv  26464  logsqvma  26812  logsqvma2  26813  selberg  26818  selberg34r  26841  pntsval2  26846  pntrlog2bndlem1  26847
  Copyright terms: Public domain W3C validator