Theorem dvdsdivcl 15953

Description: The complement of a divisor of 𝑁 is also a divisor of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsdivcl	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvdsdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5073	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝐴 ∥ 𝑁))
2	1	elrab 3617	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁))
3		nndivdvds 15900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
4	3	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
5	4	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
6	5	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
7	6	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
8		nnne0 11937	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
9	8	anim1ci 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝐴 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ≠ 0))
10		divconjdvds 15952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
12	7, 11	jctird 526	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
13	2, 12	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
14	13	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
15		breq1 5073	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁 / 𝐴) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
16	15	elrab 3617	. 2 ⊢ ((𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
17	14, 16	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  0cc0 10802   / cdiv 11562  ℕcn 11903   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-z 12250  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  dvdsflip  15954  fsumdvdsdiaglem  26237  fsumdvdsdiag  26238  fsumdvdscom  26239  muinv  26247  logsqvma  26595  logsqvma2  26596  selberg  26601  selberg34r  26624  pntsval2  26629  pntrlog2bndlem1  26630