Theorem dvdsdivcl 16229

Description: The complement of a divisor of 𝑁 is also a divisor of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsdivcl	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvdsdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝐴 ∥ 𝑁))
2	1	elrab 3643	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁))
3		nndivdvds 16174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
4	3	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
5	4	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
6	5	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
7	6	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
8		nnne0 12166	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
9	8	anim1ci 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝐴 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ≠ 0))
10		divconjdvds 16228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
12	7, 11	jctird 526	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
13	2, 12	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
14	13	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
15		breq1 5096	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁 / 𝐴) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
16	15	elrab 3643	. 2 ⊢ ((𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
17	14, 16	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  {crab 3396   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  0cc0 11013   / cdiv 11781  ℕcn 12132   ∥ cdvds 16165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-z 12476  df-dvds 16166

This theorem is referenced by:  dvdsflip  16230  fsumdvdsdiaglem  27121  fsumdvdsdiag  27122  fsumdvdscom  27123  muinv  27131  logsqvma  27481  logsqvma2  27482  selberg  27487  selberg34r  27510  pntsval2  27515  pntrlog2bndlem1  27516