MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdseq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdseq 16131
Description: If two nonnegative integers divide each other, they must be equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdseq (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝑁𝑁𝑀)) → 𝑀 = 𝑁)

Proof of Theorem dvdseq
StepHypRef Expression
1 dvdsabseq 16130 . 2 ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))
2 nn0re 12356 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
3 nn0ge0 12372 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
42, 3absidd 15242 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (abs‘𝑀) = 𝑀)
54adantr 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
65eqcomd 2744 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 = (abs‘𝑀))
76adantr 482 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → 𝑀 = (abs‘𝑀))
8 simpr 486 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))
9 nn0re 12356 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
10 nn0ge0 12372 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
119, 10absidd 15242 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
1211ad2antlr 726 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
137, 8, 123eqtrd 2782 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
141, 13sylan2 594 1 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝑁𝑁𝑀)) → 𝑀 = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5104  cfv 6492  0cn0 12347  abscabs 15053  cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  dvds1  16136  dvdsext  16138  mulgcd  16364  lcmgcdeq  16423  rpmulgcd2  16467  isprm6  16525  pc11  16687  pcprmpw2  16689  odeq  19264  odadd  19557  gexexlem  19559  lt6abl  19601  cyggex2  19603  ablfacrp2  19775  ablfac1c  19779  ablfac1eu  19781  znidomb  20891  dvdsmulf1o  26465
  Copyright terms: Public domain W3C validator