Theorem dvdseq 15453

Description: If two nonnegative integers divide each other, they must be equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdseq	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = 𝑁)

Proof of Theorem dvdseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsabseq 15452	. 2 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))
2		nn0re 11657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
3		nn0ge0 11674	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
4	2, 3	absidd 14576	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (abs‘𝑀) = 𝑀)
5	4	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
6	5	eqcomd 2784	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 = (abs‘𝑀))
7	6	adantr 474	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → 𝑀 = (abs‘𝑀))
8		simpr 479	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))
9		nn0re 11657	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
10		nn0ge0 11674	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
11	9, 10	absidd 14576	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
12	11	ad2antlr 717	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
13	7, 8, 12	3eqtrd 2818	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
14	1, 13	sylan2 586	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  ℕ₀cn0 11647  abscabs 14387   ∥ cdvds 15396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-dvds 15397

This theorem is referenced by:  dvds1  15458  dvdsext  15460  mulgcd  15681  lcmgcdeq  15741  rpmulgcd2  15785  isprm6  15841  pc11  15999  pcprmpw2  16001  odeq  18364  odadd  18650  gexexlem  18652  lt6abl  18693  cyggex2  18695  ablfacrp2  18864  ablfac1c  18868  ablfac1eu  18870  znidomb  20316  dvdsmulf1o  25383