Theorem fprodle 16029

Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodle.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodle.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodle.0l3b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fprodle.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fprodle.blec	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fprodle	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodle

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2		fprodle.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfra1 3282	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0
4	2, 3	nfan 1897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
5		fprodle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
7		fprodle.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		fprodle.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		rspa 3246	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
12	11	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
13	8, 10, 12	redivcld 12093	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
14	4, 6, 13	fprodreclf 15992	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
15	2, 5, 9	fprodreclf 15992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
17		fprodle.0l3b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
18	2, 5, 9, 17	fprodge0 16026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
20	17	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
21	10, 20, 12	ne0gt0d 11396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 < 𝐵)
22	10, 21	elrpd 13072	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
23		fprodle.blec	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
24	23	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
25		divge1 13101	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
26	22, 8, 24, 25	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
27	4, 6, 13, 26	fprodge1 16028	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵))
28	1, 14, 16, 19, 27	lemul2ad 12206	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) ≤ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)))
29	9	recnd 11287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	2, 5, 29	fprodclf 16025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	mulridd 11276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
32	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
33	7	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
35	29	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	4, 6, 34, 35, 12	fproddivf 16020	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
37	36	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)))
38	2, 5, 33	fprodclf 16025	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
40	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
41	4, 6, 35, 12	fprodn0f 16024	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
42	39, 40, 41	divcan2d 12043	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
43	37, 42	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
44	28, 32, 43	3brtr3d 5179	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
45		nne 2942	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
46	45	rexbii 3092	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
47		rexnal 3098	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
48		nfv 1912	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐵 = 0
49		nfcsb1v 3933	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
50	49	nfeq1 2919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0
51		csbeq1a 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
52	51	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 0 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0))
53	48, 50, 52	cbvrexw 3305	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
54	46, 47, 53	3bitr3i 301	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
55		nfv 1912	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
56	2, 55, 50	nf3an 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
57	5	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
58	29	3ad2antl1 1184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
59		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 𝑗 ∈ 𝐴)
60	52	biimparc 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0 ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
61	60	3ad2antl3 1186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
62	56, 57, 58, 59, 61	fprodeq0g 16027	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
63	62	rexlimdv3a 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
64	63	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
65		0red 11262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
66	65, 9, 7, 17, 23	letrd 11416	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
67	2, 5, 7, 66	fprodge0 16026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
68	67	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
69	64, 68	eqbrtrd 5170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
70	54, 69	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
71	44, 70	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  ⦋csb 3908   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   ≤ cle 11294   / cdiv 11918  ℝ⁺crp 13032  ∏cprod 15936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937

This theorem is referenced by:  prmolefac  17080  aks4d1p1p2  42052  bcled  42160  bcle2d  42161  etransclem23  46213  hoidifhspdmvle  46576