MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodle 15129
Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodle.kph 𝑘𝜑
fprodle.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodle.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodle.0l3b ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fprodle.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fprodle.blec ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
fprodle (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10377 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2 fprodle.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
3 nfra1 3123 . . . . . 6 𝑘𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0
42, 3nfan 1946 . . . . 5 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
5 fprodle.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
65adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
7 fprodle.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
87adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 fprodle.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
109adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 rspa 3112 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
1211adantll 704 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
138, 10, 12redivcld 11203 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
144, 6, 13fprodreclf 15092 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
152, 5, 9fprodreclf 15092 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
1615adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
17 fprodle.0l3b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
182, 5, 9, 17fprodge0 15126 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
1918adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
2017adantlr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
2110, 20, 12ne0gt0d 10513 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 0 < 𝐵)
2210, 21elrpd 12178 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
23 fprodle.blec . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
2423adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
25 divge1 12207 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐶) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
2622, 8, 24, 25syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
274, 6, 13, 26fprodge1 15128 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵))
281, 14, 16, 19, 27lemul2ad 11318 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · 1) ≤ (∏𝑘𝐴 𝐵 · ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵)))
299recnd 10405 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
302, 5, 29fprodclf 15125 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
3130mulid1d 10394 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
3231adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
337recnd 10405 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3433adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3529adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
364, 6, 34, 35, 12fproddivf 15120 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵) = (∏𝑘𝐴 𝐶 / ∏𝑘𝐴 𝐵))
3736oveq2d 6938 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = (∏𝑘𝐴 𝐵 · (∏𝑘𝐴 𝐶 / ∏𝑘𝐴 𝐵)))
382, 5, 33fprodclf 15125 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
3938adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
4030adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
414, 6, 35, 12fprodn0f 15124 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
4239, 40, 41divcan2d 11153 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · (∏𝑘𝐴 𝐶 / ∏𝑘𝐴 𝐵)) = ∏𝑘𝐴 𝐶)
4337, 42eqtrd 2814 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = ∏𝑘𝐴 𝐶)
4428, 32, 433brtr3d 4917 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
45 nne 2973 . . . . 5 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
4645rexbii 3224 . . . 4 (∃𝑘𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑘𝐴 𝐵 = 0)
47 rexnal 3176 . . . 4 (∃𝑘𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
48 nfv 1957 . . . . 5 𝑗 𝐵 = 0
49 nfcsb1v 3767 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
5049nfeq1 2947 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 0
51 csbeq1a 3760 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
5251eqeq1d 2780 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 0 ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0))
5348, 50, 52cbvrex 3364 . . . 4 (∃𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0)
5446, 47, 533bitr3i 293 . . 3 (¬ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0)
55 nfv 1957 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
562, 55, 50nf3an 1948 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0)
5753ad2ant1 1124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
58293ad2antl1 1193 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
59 simp2 1128 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → 𝑗𝐴)
6052biimparc 473 . . . . . . . 8 ((𝑗 / 𝑘𝐵 = 0 ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
61603ad2antl3 1195 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
6256, 57, 58, 59, 61fprodeq0g 15127 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
6362rexlimdv3a 3215 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0))
6463imp 397 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
65 0red 10380 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ ℝ)
6665, 9, 7, 17, 23letrd 10533 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
672, 5, 7, 66fprodge0 15126 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
6867adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
6964, 68eqbrtrd 4908 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
7054, 69sylan2b 587 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
7144, 70pm2.61dan 803 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wnf 1827  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  csb 3751   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277  cle 10412   / cdiv 11032  +crp 12137  cprod 15038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-prod 15039
This theorem is referenced by:  prmolefac  16154  etransclem23  41405  hoidifhspdmvle  41765
  Copyright terms: Public domain W3C validator