Theorem fprodle 15342

Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodle.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodle.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodle.0l3b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fprodle.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fprodle.blec	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fprodle	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodle

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10631	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2		fprodle.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfra1 3183	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0
4	2, 3	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
5		fprodle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
7		fprodle.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		fprodle.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		rspa 3171	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
12	11	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
13	8, 10, 12	redivcld 11457	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
14	4, 6, 13	fprodreclf 15305	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
15	2, 5, 9	fprodreclf 15305	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
16	15	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
17		fprodle.0l3b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
18	2, 5, 9, 17	fprodge0 15339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	18	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
20	17	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
21	10, 20, 12	ne0gt0d 10766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 < 𝐵)
22	10, 21	elrpd 12416	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
23		fprodle.blec	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
24	23	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
25		divge1 12445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
26	22, 8, 24, 25	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
27	4, 6, 13, 26	fprodge1 15341	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵))
28	1, 14, 16, 19, 27	lemul2ad 11569	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) ≤ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)))
29	9	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	2, 5, 29	fprodclf 15338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	mulid1d 10647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
32	31	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
33	7	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
35	29	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	4, 6, 34, 35, 12	fproddivf 15333	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
37	36	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)))
38	2, 5, 33	fprodclf 15338	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
39	38	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
40	30	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
41	4, 6, 35, 12	fprodn0f 15337	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
42	39, 40, 41	divcan2d 11407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
43	37, 42	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
44	28, 32, 43	3brtr3d 5061	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
45		nne 2991	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
46	45	rexbii 3210	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
47		rexnal 3201	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
48		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐵 = 0
49		nfcsb1v 3852	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
50	49	nfeq1 2970	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0
51		csbeq1a 3842	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
52	51	eqeq1d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 0 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0))
53	48, 50, 52	cbvrexw 3388	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
54	46, 47, 53	3bitr3i 304	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
55		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
56	2, 55, 50	nf3an 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
57	5	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
58	29	3ad2antl1 1182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
59		simp2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 𝑗 ∈ 𝐴)
60	52	biimparc 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0 ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
61	60	3ad2antl3 1184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
62	56, 57, 58, 59, 61	fprodeq0g 15340	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
63	62	rexlimdv3a 3245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
64	63	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
65		0red 10633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
66	65, 9, 7, 17, 23	letrd 10786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
67	2, 5, 7, 66	fprodge0 15339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
68	67	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
69	64, 68	eqbrtrd 5052	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
70	54, 69	sylan2b 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
71	44, 70	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ⦋csb 3828   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   ≤ cle 10665   / cdiv 11286  ℝ⁺crp 12377  ∏cprod 15251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252

This theorem is referenced by:  prmolefac  16372  etransclem23  42899  hoidifhspdmvle  43259