MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodle 15944
Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodle.kph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodle.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodle.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fprodle.0l3b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
fprodle.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
fprodle.blec ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
fprodle (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodle
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11219 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2 fprodle.kph . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
3 nfra1 3279 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0
42, 3nfan 1900 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
5 fprodle.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
65adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
7 fprodle.c . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
87adantlr 711 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
9 fprodle.b . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
109adantlr 711 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
11 rspa 3243 . . . . . . 7 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰  0)
1211adantll 710 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰  0)
138, 10, 12redivcld 12046 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
144, 6, 13fprodreclf 15907 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
152, 5, 9fprodreclf 15907 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„)
1615adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„)
17 fprodle.0l3b . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
182, 5, 9, 17fprodge0 15941 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
1918adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
2017adantlr 711 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
2110, 20, 12ne0gt0d 11355 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 < ๐ต)
2210, 21elrpd 13017 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
23 fprodle.blec . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
2423adantlr 711 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
25 divge1 13046 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โ†’ 1 โ‰ค (๐ถ / ๐ต))
2622, 8, 24, 25syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (๐ถ / ๐ต))
274, 6, 13, 26fprodge1 15943 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ 1 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ / ๐ต))
281, 14, 16, 19, 27lemul2ad 12158 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท 1) โ‰ค (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ / ๐ต)))
299recnd 11246 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
302, 5, 29fprodclf 15940 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
3130mulridd 11235 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
3231adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
337recnd 11246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3433adantlr 711 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3529adantlr 711 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
364, 6, 34, 35, 12fproddivf 15935 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ / ๐ต) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ / โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต))
3736oveq2d 7427 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ / ๐ต)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ / โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)))
382, 5, 33fprodclf 15940 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3938adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4030adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
414, 6, 35, 12fprodn0f 15939 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
4239, 40, 41divcan2d 11996 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ / โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
4337, 42eqtrd 2770 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ / ๐ต)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
4428, 32, 433brtr3d 5178 . 2 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
45 nne 2942 . . . . 5 (ยฌ ๐ต โ‰  0 โ†” ๐ต = 0)
4645rexbii 3092 . . . 4 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ยฌ ๐ต โ‰  0 โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
47 rexnal 3098 . . . 4 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ยฌ ๐ต โ‰  0 โ†” ยฌ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
48 nfv 1915 . . . . 5 โ„ฒ๐‘— ๐ต = 0
49 nfcsb1v 3917 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต
5049nfeq1 2916 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0
51 csbeq1a 3906 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
5251eqeq1d 2732 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ต = 0 โ†” โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0))
5348, 50, 52cbvrexw 3302 . . . 4 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0 โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0)
5446, 47, 533bitr3i 300 . . 3 (ยฌ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0 โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0)
55 nfv 1915 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘— โˆˆ ๐ด
562, 55, 50nf3an 1902 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0)
5753ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
58293ad2antl1 1183 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
59 simp2 1135 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐ด)
6052biimparc 478 . . . . . . . 8 ((โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0 โˆง ๐‘˜ = ๐‘—) โ†’ ๐ต = 0)
61603ad2antl3 1185 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โˆง ๐‘˜ = ๐‘—) โ†’ ๐ต = 0)
6256, 57, 58, 59, 61fprodeq0g 15942 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
6362rexlimdv3a 3157 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0 โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0))
6463imp 405 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
65 0red 11221 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
6665, 9, 7, 17, 23letrd 11375 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
672, 5, 7, 66fprodge0 15941 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
6867adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
6964, 68eqbrtrd 5169 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
7054, 69sylan2b 592 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
7144, 70pm2.61dan 809 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539  โ„ฒwnf 1783   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068  โฆ‹csb 3892   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„+crp 12978  โˆcprod 15853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854
This theorem is referenced by:  prmolefac  16983  aks4d1p1p2  41241  etransclem23  45271  hoidifhspdmvle  45634
  Copyright terms: Public domain W3C validator