Theorem fprodle 15931

Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodle.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodle.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodle.0l3b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fprodle.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fprodle.blec	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fprodle	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodle

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2		fprodle.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfra1 3262	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0
4	2, 3	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
5		fprodle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
7		fprodle.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		fprodle.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		rspa 3227	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
12	11	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
13	8, 10, 12	redivcld 11981	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
14	4, 6, 13	fprodreclf 15894	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
15	2, 5, 9	fprodreclf 15894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
17		fprodle.0l3b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
18	2, 5, 9, 17	fprodge0 15928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
20	17	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
21	10, 20, 12	ne0gt0d 11282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 < 𝐵)
22	10, 21	elrpd 12958	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
23		fprodle.blec	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
24	23	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
25		divge1 12987	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
26	22, 8, 24, 25	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
27	4, 6, 13, 26	fprodge1 15930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵))
28	1, 14, 16, 19, 27	lemul2ad 12094	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) ≤ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)))
29	9	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	2, 5, 29	fprodclf 15927	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	mulridd 11161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
32	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
33	7	recnd 11172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
35	29	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	4, 6, 34, 35, 12	fproddivf 15922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
37	36	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)))
38	2, 5, 33	fprodclf 15927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
40	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
41	4, 6, 35, 12	fprodn0f 15926	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
42	39, 40, 41	divcan2d 11931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
43	37, 42	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
44	28, 32, 43	3brtr3d 5131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
45		nne 2937	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
46	45	rexbii 3085	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
47		rexnal 3090	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
48		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐵 = 0
49		nfcsb1v 3875	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
50	49	nfeq1 2915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0
51		csbeq1a 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
52	51	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 0 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0))
53	48, 50, 52	cbvrexw 3281	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
54	46, 47, 53	3bitr3i 301	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
55		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
56	2, 55, 50	nf3an 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
57	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
58	29	3ad2antl1 1187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
59		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 𝑗 ∈ 𝐴)
60	52	biimparc 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0 ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
61	60	3ad2antl3 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
62	56, 57, 58, 59, 61	fprodeq0g 15929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
63	62	rexlimdv3a 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
64	63	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
65		0red 11147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
66	65, 9, 7, 17, 23	letrd 11302	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
67	2, 5, 7, 66	fprodge0 15928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
68	67	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
69	64, 68	eqbrtrd 5122	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
70	54, 69	sylan2b 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
71	44, 70	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ⦋csb 3851   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  ℝ⁺crp 12917  ∏cprod 15838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-prod 15839

This theorem is referenced by:  prmolefac  16986  aks4d1p1p2  42440  bcled  42548  bcle2d  42549  etransclem23  46615  hoidifhspdmvle  46978