Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodle 15129
 Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodle.kph 𝑘𝜑
fprodle.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodle.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodle.0l3b ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fprodle.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fprodle.blec ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
fprodle (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10377 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2 fprodle.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
3 nfra1 3123 . . . . . 6 𝑘𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0
42, 3nfan 1946 . . . . 5 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
5 fprodle.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
65adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
7 fprodle.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
87adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 fprodle.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
109adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 rspa 3112 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
1211adantll 704 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
138, 10, 12redivcld 11203 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
144, 6, 13fprodreclf 15092 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
152, 5, 9fprodreclf 15092 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
1615adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
17 fprodle.0l3b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
182, 5, 9, 17fprodge0 15126 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
1918adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
2017adantlr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
2110, 20, 12ne0gt0d 10513 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 0 < 𝐵)
2210, 21elrpd 12178 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
23 fprodle.blec . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
2423adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
25 divge1 12207 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐶) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
2622, 8, 24, 25syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
274, 6, 13, 26fprodge1 15128 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵))
281, 14, 16, 19, 27lemul2ad 11318 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · 1) ≤ (∏𝑘𝐴 𝐵 · ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵)))
299recnd 10405 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
302, 5, 29fprodclf 15125 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
3130mulid1d 10394 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
3231adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
337recnd 10405 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3433adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3529adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
364, 6, 34, 35, 12fproddivf 15120 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵) = (∏𝑘𝐴 𝐶 / ∏𝑘𝐴 𝐵))
3736oveq2d 6938 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = (∏𝑘𝐴 𝐵 · (∏𝑘𝐴 𝐶 / ∏𝑘𝐴 𝐵)))
382, 5, 33fprodclf 15125 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
3938adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
4030adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
414, 6, 35, 12fprodn0f 15124 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
4239, 40, 41divcan2d 11153 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · (∏𝑘𝐴 𝐶 / ∏𝑘𝐴 𝐵)) = ∏𝑘𝐴 𝐶)
4337, 42eqtrd 2814 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = ∏𝑘𝐴 𝐶)
4428, 32, 433brtr3d 4917 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
45 nne 2973 . . . . 5 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
4645rexbii 3224 . . . 4 (∃𝑘𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑘𝐴 𝐵 = 0)
47 rexnal 3176 . . . 4 (∃𝑘𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
48 nfv 1957 . . . . 5 𝑗 𝐵 = 0
49 nfcsb1v 3767 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
5049nfeq1 2947 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 0
51 csbeq1a 3760 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
5251eqeq1d 2780 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 0 ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0))
5348, 50, 52cbvrex 3364 . . . 4 (∃𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0)
5446, 47, 533bitr3i 293 . . 3 (¬ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0)
55 nfv 1957 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
562, 55, 50nf3an 1948 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0)
5753ad2ant1 1124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
58293ad2antl1 1193 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
59 simp2 1128 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → 𝑗𝐴)
6052biimparc 473 . . . . . . . 8 ((𝑗 / 𝑘𝐵 = 0 ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
61603ad2antl3 1195 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
6256, 57, 58, 59, 61fprodeq0g 15127 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
6362rexlimdv3a 3215 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0))
6463imp 397 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
65 0red 10380 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ ℝ)
6665, 9, 7, 17, 23letrd 10533 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
672, 5, 7, 66fprodge0 15126 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
6867adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
6964, 68eqbrtrd 4908 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
7054, 69sylan2b 587 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
7144, 70pm2.61dan 803 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601  Ⅎwnf 1827   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  ⦋csb 3751   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   ≤ cle 10412   / cdiv 11032  ℝ+crp 12137  ∏cprod 15038 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-prod 15039 This theorem is referenced by:  prmolefac  16154  etransclem23  41405  hoidifhspdmvle  41765
 Copyright terms: Public domain W3C validator