Theorem fprodle 15940

Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodle.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodle.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodle.0l3b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fprodle.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fprodle.blec	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fprodle	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodle

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11215	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2		fprodle.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfra1 3282	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0
4	2, 3	nfan 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
5		fprodle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6	5	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
7		fprodle.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		fprodle.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		rspa 3246	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
12	11	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
13	8, 10, 12	redivcld 12042	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
14	4, 6, 13	fprodreclf 15903	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
15	2, 5, 9	fprodreclf 15903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
16	15	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
17		fprodle.0l3b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
18	2, 5, 9, 17	fprodge0 15937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	18	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
20	17	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
21	10, 20, 12	ne0gt0d 11351	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 < 𝐵)
22	10, 21	elrpd 13013	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
23		fprodle.blec	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
24	23	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
25		divge1 13042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
26	22, 8, 24, 25	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
27	4, 6, 13, 26	fprodge1 15939	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵))
28	1, 14, 16, 19, 27	lemul2ad 12154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) ≤ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)))
29	9	recnd 11242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	2, 5, 29	fprodclf 15936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	mulridd 11231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
32	31	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
33	7	recnd 11242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
35	29	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	4, 6, 34, 35, 12	fproddivf 15931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
37	36	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)))
38	2, 5, 33	fprodclf 15936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
39	38	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
40	30	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
41	4, 6, 35, 12	fprodn0f 15935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
42	39, 40, 41	divcan2d 11992	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
43	37, 42	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
44	28, 32, 43	3brtr3d 5180	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
45		nne 2945	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
46	45	rexbii 3095	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
47		rexnal 3101	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
48		nfv 1918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐵 = 0
49		nfcsb1v 3919	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
50	49	nfeq1 2919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0
51		csbeq1a 3908	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
52	51	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 0 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0))
53	48, 50, 52	cbvrexw 3305	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
54	46, 47, 53	3bitr3i 301	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
55		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
56	2, 55, 50	nf3an 1905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
57	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
58	29	3ad2antl1 1186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
59		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 𝑗 ∈ 𝐴)
60	52	biimparc 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0 ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
61	60	3ad2antl3 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
62	56, 57, 58, 59, 61	fprodeq0g 15938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
63	62	rexlimdv3a 3160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
64	63	imp 408	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
65		0red 11217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
66	65, 9, 7, 17, 23	letrd 11371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
67	2, 5, 7, 66	fprodge0 15937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
68	67	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
69	64, 68	eqbrtrd 5171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
70	54, 69	sylan2b 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
71	44, 70	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  ⦋csb 3894   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   ≤ cle 11249   / cdiv 11871  ℝ⁺crp 12974  ∏cprod 15849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850

This theorem is referenced by:  prmolefac  16979  aks4d1p1p2  40935  etransclem23  44973  hoidifhspdmvle  45336