MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodle 15884
Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodle.kph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodle.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodle.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fprodle.0l3b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
fprodle.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
fprodle.blec ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
fprodle (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodle
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11161 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2 fprodle.kph . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
3 nfra1 3266 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0
42, 3nfan 1903 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
5 fprodle.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
65adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
7 fprodle.c . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
87adantlr 714 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
9 fprodle.b . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
109adantlr 714 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
11 rspa 3230 . . . . . . 7 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰  0)
1211adantll 713 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰  0)
138, 10, 12redivcld 11988 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
144, 6, 13fprodreclf 15847 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
152, 5, 9fprodreclf 15847 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„)
1615adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„)
17 fprodle.0l3b . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
182, 5, 9, 17fprodge0 15881 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
1918adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
2017adantlr 714 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
2110, 20, 12ne0gt0d 11297 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 < ๐ต)
2210, 21elrpd 12959 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
23 fprodle.blec . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
2423adantlr 714 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
25 divge1 12988 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โ†’ 1 โ‰ค (๐ถ / ๐ต))
2622, 8, 24, 25syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (๐ถ / ๐ต))
274, 6, 13, 26fprodge1 15883 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ 1 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ / ๐ต))
281, 14, 16, 19, 27lemul2ad 12100 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท 1) โ‰ค (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ / ๐ต)))
299recnd 11188 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
302, 5, 29fprodclf 15880 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
3130mulid1d 11177 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
3231adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
337recnd 11188 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3433adantlr 714 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3529adantlr 714 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
364, 6, 34, 35, 12fproddivf 15875 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ / ๐ต) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ / โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต))
3736oveq2d 7374 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ / ๐ต)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ / โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)))
382, 5, 33fprodclf 15880 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3938adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4030adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
414, 6, 35, 12fprodn0f 15879 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
4239, 40, 41divcan2d 11938 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ / โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
4337, 42eqtrd 2773 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ / ๐ต)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
4428, 32, 433brtr3d 5137 . 2 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
45 nne 2944 . . . . 5 (ยฌ ๐ต โ‰  0 โ†” ๐ต = 0)
4645rexbii 3094 . . . 4 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ยฌ ๐ต โ‰  0 โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
47 rexnal 3100 . . . 4 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ยฌ ๐ต โ‰  0 โ†” ยฌ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
48 nfv 1918 . . . . 5 โ„ฒ๐‘— ๐ต = 0
49 nfcsb1v 3881 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต
5049nfeq1 2919 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0
51 csbeq1a 3870 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
5251eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ต = 0 โ†” โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0))
5348, 50, 52cbvrexw 3289 . . . 4 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0 โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0)
5446, 47, 533bitr3i 301 . . 3 (ยฌ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0 โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0)
55 nfv 1918 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘— โˆˆ ๐ด
562, 55, 50nf3an 1905 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0)
5753ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
58293ad2antl1 1186 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
59 simp2 1138 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐ด)
6052biimparc 481 . . . . . . . 8 ((โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0 โˆง ๐‘˜ = ๐‘—) โ†’ ๐ต = 0)
61603ad2antl3 1188 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โˆง ๐‘˜ = ๐‘—) โ†’ ๐ต = 0)
6256, 57, 58, 59, 61fprodeq0g 15882 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
6362rexlimdv3a 3153 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0 โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0))
6463imp 408 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
65 0red 11163 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
6665, 9, 7, 17, 23letrd 11317 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
672, 5, 7, 66fprodge0 15881 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
6867adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
6964, 68eqbrtrd 5128 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = 0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
7054, 69sylan2b 595 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
7144, 70pm2.61dan 812 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โ„ฒwnf 1786   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โฆ‹csb 3856   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   โ‰ค cle 11195   / cdiv 11817  โ„+crp 12920  โˆcprod 15793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794
This theorem is referenced by:  prmolefac  16923  aks4d1p1p2  40573  etransclem23  44584  hoidifhspdmvle  44947
  Copyright terms: Public domain W3C validator