Theorem fprodle 15903

Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodle.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodle.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodle.0l3b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fprodle.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fprodle.blec	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fprodle	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodle

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2		fprodle.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfra1 3256	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0
4	2, 3	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
5		fprodle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
7		fprodle.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		fprodle.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		rspa 3221	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
12	11	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
13	8, 10, 12	redivcld 11949	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
14	4, 6, 13	fprodreclf 15866	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
15	2, 5, 9	fprodreclf 15866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
17		fprodle.0l3b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
18	2, 5, 9, 17	fprodge0 15900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
20	17	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
21	10, 20, 12	ne0gt0d 11250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 < 𝐵)
22	10, 21	elrpd 12931	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
23		fprodle.blec	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
24	23	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
25		divge1 12960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
26	22, 8, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
27	4, 6, 13, 26	fprodge1 15902	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵))
28	1, 14, 16, 19, 27	lemul2ad 12062	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) ≤ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)))
29	9	recnd 11140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	2, 5, 29	fprodclf 15899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	mulridd 11129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
32	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
33	7	recnd 11140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
35	29	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	4, 6, 34, 35, 12	fproddivf 15894	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
37	36	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)))
38	2, 5, 33	fprodclf 15899	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
40	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
41	4, 6, 35, 12	fprodn0f 15898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
42	39, 40, 41	divcan2d 11899	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
43	37, 42	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
44	28, 32, 43	3brtr3d 5120	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
45		nne 2932	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
46	45	rexbii 3079	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
47		rexnal 3084	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
48		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐵 = 0
49		nfcsb1v 3869	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
50	49	nfeq1 2910	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0
51		csbeq1a 3859	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
52	51	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 0 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0))
53	48, 50, 52	cbvrexw 3275	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
54	46, 47, 53	3bitr3i 301	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
55		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
56	2, 55, 50	nf3an 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
57	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
58	29	3ad2antl1 1186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
59		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 𝑗 ∈ 𝐴)
60	52	biimparc 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0 ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
61	60	3ad2antl3 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
62	56, 57, 58, 59, 61	fprodeq0g 15901	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
63	62	rexlimdv3a 3137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
64	63	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
65		0red 11115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
66	65, 9, 7, 17, 23	letrd 11270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
67	2, 5, 7, 66	fprodge0 15900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
68	67	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
69	64, 68	eqbrtrd 5111	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
70	54, 69	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
71	44, 70	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ⦋csb 3845   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011   ≤ cle 11147   / cdiv 11774  ℝ⁺crp 12890  ∏cprod 15810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-prod 15811

This theorem is referenced by:  prmolefac  16958  aks4d1p1p2  42111  bcled  42219  bcle2d  42220  etransclem23  46303  hoidifhspdmvle  46666