MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfpm6th Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfpm6th 12487
Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 12347 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 11213 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 12341 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3ne0 12372 . . . . . 6 3 ≠ 0
5 2ne0 12370 . . . . . 6 2 ≠ 0
61, 1, 2, 3, 4, 5divmuldivi 12027 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
71, 4dividi 12000 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
87oveq1i 7441 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9 halfcn 12481 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
109mullidi 11266 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
118, 10eqtri 2765 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
121mulridi 11265 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
13 3t2e6 12432 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1412, 13oveq12i 7443 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
156, 11, 143eqtr3i 2773 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1615oveq1i 7441 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17 6cn 12357 . . . . 5 6 ∈ ℂ
18 6re 12356 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
19 6pos 12376 . . . . . 6 0 < 6
2018, 19gt0ne0ii 11799 . . . . 5 6 ≠ 0
2117, 20pm3.2i 470 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22 divsubdir 11961 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
231, 2, 21, 22mp3an 1463 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24 3m1e2 12394 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2524oveq1i 7441 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
263mullidi 11266 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2726, 13oveq12i 7443 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
283, 5dividi 12000 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
2928oveq2i 7442 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
302, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 12027 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
311, 4reccli 11997 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3231mulridi 11265 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3329, 30, 323eqtr3i 2773 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3425, 27, 333eqtr2i 2771 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3516, 23, 343eqtr2i 2771 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
361, 2, 17, 20divdiri 12024 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37 df-4 12331 . . . . 5 4 = (3 + 1)
3837oveq1i 7441 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
3915oveq1i 7441 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4036, 38, 393eqtr4ri 2776 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41 2t2e4 12430 . . . 4 (2 · 2) = 4
4241, 13oveq12i 7443 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4328oveq2i 7442 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
443, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 12027 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
453, 1, 4divcli 12009 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4645mulridi 11265 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4743, 44, 463eqtr3i 2773 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
4840, 42, 473eqtr2i 2771 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
4935, 48pm3.2i 470 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333
This theorem is referenced by:  cos01bnd  16222  1cubrlem  26884
  Copyright terms: Public domain W3C validator