Theorem halfpm6th 11846

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 11706	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		ax-1cn 10584	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2cn 11700	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		3ne0 11731	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
5		2ne0 11729	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6	1, 1, 2, 3, 4, 5	divmuldivi 11389	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
7	1, 4	dividi 11362	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
8	7	oveq1i 7145	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9		halfcn 11840	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	9	mulid2i 10635	. . . . . 6 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
11	8, 10	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
12	1	mulid1i 10634	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
13		3t2e6 11791	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
14	12, 13	oveq12i 7147	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
15	6, 11, 14	3eqtr3i 2829	. . . 4 ⊢ (1 / 2) = (3 / 6)
16	15	oveq1i 7145	. . 3 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17		6cn 11716	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
18		6re 11715	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		6pos 11735	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
20	18, 19	gt0ne0ii 11165	. . . . 5 ⊢ 6 ≠ 0
21	17, 20	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22		divsubdir 11323	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
23	1, 2, 21, 22	mp3an 1458	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24		3m1e2 11753	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
25	24	oveq1i 7145	. . . 4 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
26	3	mulid2i 10635	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
27	26, 13	oveq12i 7147	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
28	3, 5	dividi 11362	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
29	28	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
30	2, 1, 3, 3, 4, 5	divmuldivi 11389	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
31	1, 4	reccli 11359	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
32	31	mulid1i 10634	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
33	29, 30, 32	3eqtr3i 2829	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
34	25, 27, 33	3eqtr2i 2827	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
35	16, 23, 34	3eqtr2i 2827	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
36	1, 2, 17, 20	divdiri 11386	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37		df-4 11690	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
38	37	oveq1i 7145	. . . 4 ⊢ (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
39	15	oveq1i 7145	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
40	36, 38, 39	3eqtr4ri 2832	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41		2t2e4 11789	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
42	41, 13	oveq12i 7147	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
43	28	oveq2i 7146	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
44	3, 1, 3, 3, 4, 5	divmuldivi 11389	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
45	3, 1, 4	divcli 11371	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
46	45	mulid1i 10634	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
47	43, 44, 46	3eqtr3i 2829	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
48	40, 42, 47	3eqtr2i 2827	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
49	35, 48	pm3.2i 474	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  6c6 11684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692

This theorem is referenced by:  cos01bnd  15531  1cubrlem  25427