Theorem halfpm6th 12383

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12243	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		ax-1cn 11118	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2cn 12237	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		3ne0 12268	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
5		2ne0 12266	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6	1, 1, 2, 3, 4, 5	divmuldivi 11924	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
7	1, 4	dividi 11897	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
8	7	oveq1i 7372	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9		halfcn 12377	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	9	mullidi 11169	. . . . . 6 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
11	8, 10	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
12	1	mulridi 11168	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
13		3t2e6 12328	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
14	12, 13	oveq12i 7374	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
15	6, 11, 14	3eqtr3i 2767	. . . 4 ⊢ (1 / 2) = (3 / 6)
16	15	oveq1i 7372	. . 3 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17		6cn 12253	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
18		6re 12252	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		6pos 12272	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
20	18, 19	gt0ne0ii 11700	. . . . 5 ⊢ 6 ≠ 0
21	17, 20	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22		divsubdir 11858	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
23	1, 2, 21, 22	mp3an 1461	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24		3m1e2 12290	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
25	24	oveq1i 7372	. . . 4 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
26	3	mullidi 11169	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
27	26, 13	oveq12i 7374	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
28	3, 5	dividi 11897	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
29	28	oveq2i 7373	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
30	2, 1, 3, 3, 4, 5	divmuldivi 11924	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
31	1, 4	reccli 11894	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
32	31	mulridi 11168	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
33	29, 30, 32	3eqtr3i 2767	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
34	25, 27, 33	3eqtr2i 2765	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
35	16, 23, 34	3eqtr2i 2765	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
36	1, 2, 17, 20	divdiri 11921	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37		df-4 12227	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
38	37	oveq1i 7372	. . . 4 ⊢ (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
39	15	oveq1i 7372	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
40	36, 38, 39	3eqtr4ri 2770	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41		2t2e4 12326	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
42	41, 13	oveq12i 7374	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
43	28	oveq2i 7373	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
44	3, 1, 3, 3, 4, 5	divmuldivi 11924	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
45	3, 1, 4	divcli 11906	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
46	45	mulridi 11168	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
47	43, 44, 46	3eqtr3i 2767	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
48	40, 42, 47	3eqtr2i 2765	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
49	35, 48	pm3.2i 471	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065   − cmin 11394   / cdiv 11821  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  6c6 12221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229

This theorem is referenced by:  cos01bnd  16079  1cubrlem  26228