MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfpm6th Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfpm6th 11847
Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 11707 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 10584 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 11701 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3ne0 11732 . . . . . 6 3 ≠ 0
5 2ne0 11730 . . . . . 6 2 ≠ 0
61, 1, 2, 3, 4, 5divmuldivi 11389 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
71, 4dividi 11362 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
87oveq1i 7158 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9 halfcn 11841 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
109mulid2i 10635 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
118, 10eqtri 2849 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
121mulid1i 10634 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
13 3t2e6 11792 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1412, 13oveq12i 7160 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
156, 11, 143eqtr3i 2857 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1615oveq1i 7158 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17 6cn 11717 . . . . 5 6 ∈ ℂ
18 6re 11716 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
19 6pos 11736 . . . . . 6 0 < 6
2018, 19gt0ne0ii 11165 . . . . 5 6 ≠ 0
2117, 20pm3.2i 471 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22 divsubdir 11323 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
231, 2, 21, 22mp3an 1454 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24 3m1e2 11754 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2524oveq1i 7158 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
263mulid2i 10635 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2726, 13oveq12i 7160 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
283, 5dividi 11362 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
2928oveq2i 7159 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
302, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 11389 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
311, 4reccli 11359 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3231mulid1i 10634 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3329, 30, 323eqtr3i 2857 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3425, 27, 333eqtr2i 2855 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3516, 23, 343eqtr2i 2855 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
361, 2, 17, 20divdiri 11386 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37 df-4 11691 . . . . 5 4 = (3 + 1)
3837oveq1i 7158 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
3915oveq1i 7158 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4036, 38, 393eqtr4ri 2860 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41 2t2e4 11790 . . . 4 (2 · 2) = 4
4241, 13oveq12i 7160 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4328oveq2i 7159 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
443, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 11389 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
453, 1, 4divcli 11371 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4645mulid1i 10634 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4743, 44, 463eqtr3i 2857 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
4840, 42, 473eqtr2i 2855 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
4935, 48pm3.2i 471 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  (class class class)co 7148  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11681  3c3 11682  4c4 11683  6c6 11685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693
This theorem is referenced by:  cos01bnd  15529  1cubrlem  25332
  Copyright terms: Public domain W3C validator