Theorem halfpm6th 12493

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Proof shortened by SN, 22-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12349	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		3ne0 12377	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
3	1, 2	reccli 11972	. . 3 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
4		6cn 12359	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
5		6re 12358	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
6		6pos 12381	. . . . 5 ⊢ 0 < 6
7	5, 6	gt0ne0ii 11777	. . . 4 ⊢ 6 ≠ 0
8	4, 7	reccli 11972	. . 3 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
9		halfcn 12485	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	3, 9	pncan3i 11562	. . . 4 ⊢ ((1 / 3) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = (1 / 2)
11		halfthird 12492	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
12	11	oveq2i 7425	. . . 4 ⊢ ((1 / 3) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 3) + (1 / 6))
13	10, 12	eqtr3i 2785	. . 3 ⊢ (1 / 2) = ((1 / 3) + (1 / 6))
14	3, 8, 13	mvrraddi 11501	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
15	11	oveq2i 7425	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 2) + (1 / 6))
16	9, 9, 3	addsubassi 11576	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 2)) − (1 / 3)) = ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3)))
17		2cn 12343	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17, 1, 2	divcli 11984	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
19		ax-1cn 11185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		2halves 12489	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
22		2p1e3 12409	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	oveq1i 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) / 3) = (3 / 3)
24	1, 2	dividi 11975	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
25	23, 24	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = 1
26	17, 19, 1, 2	divdiri 11999	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
27	21, 25, 26	3eqtr2i 2789	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = ((2 / 3) + (1 / 3))
28	18, 3, 27	mvrraddi 11501	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 2)) − (1 / 3)) = (2 / 3)
29	16, 28	eqtr3i 2785	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = (2 / 3)
30	15, 29	eqtr3i 2785	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
31	14, 30	pm3.2i 476	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  1c1 11128   + caddc 11130   − cmin 11468   / cdiv 11898  2c2 12322  3c3 12323  6c6 12326

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334

This theorem is used by:  cos01bnd  16277  1cubrlem  27081