Theorem halfpm6th 11580

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 11433	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		ax-1cn 10311	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2cn 11427	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		3ne0 11465	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
5		2ne0 11463	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6	1, 1, 2, 3, 4, 5	divmuldivi 11112	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
7	1, 4	dividi 11085	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
8	7	oveq1i 6916	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9		halfcn 11574	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	9	mulid2i 10363	. . . . . 6 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
11	8, 10	eqtri 2850	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
12	1	mulid1i 10362	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
13		3t2e6 11525	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
14	12, 13	oveq12i 6918	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
15	6, 11, 14	3eqtr3i 2858	. . . 4 ⊢ (1 / 2) = (3 / 6)
16	15	oveq1i 6916	. . 3 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17		6cn 11446	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
18		6re 11445	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		6pos 11469	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
20	18, 19	gt0ne0ii 10889	. . . . 5 ⊢ 6 ≠ 0
21	17, 20	pm3.2i 464	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22		divsubdir 11047	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
23	1, 2, 21, 22	mp3an 1591	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24		3m1e2 11487	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
25	24	oveq1i 6916	. . . 4 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
26	3	mulid2i 10363	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
27	26, 13	oveq12i 6918	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
28	3, 5	dividi 11085	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
29	28	oveq2i 6917	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
30	2, 1, 3, 3, 4, 5	divmuldivi 11112	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
31	1, 4	reccli 11082	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
32	31	mulid1i 10362	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
33	29, 30, 32	3eqtr3i 2858	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
34	25, 27, 33	3eqtr2i 2856	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
35	16, 23, 34	3eqtr2i 2856	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
36	1, 2, 17, 20	divdiri 11109	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37		df-4 11417	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
38	37	oveq1i 6916	. . . 4 ⊢ (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
39	15	oveq1i 6916	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
40	36, 38, 39	3eqtr4ri 2861	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41		2t2e4 11523	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
42	41, 13	oveq12i 6918	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
43	28	oveq2i 6917	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
44	3, 1, 3, 3, 4, 5	divmuldivi 11112	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
45	3, 1, 4	divcli 11094	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
46	45	mulid1i 10362	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
47	43, 44, 46	3eqtr3i 2858	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
48	40, 42, 47	3eqtr2i 2856	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
49	35, 48	pm3.2i 464	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258   − cmin 10586   / cdiv 11010  2c2 11407  3c3 11408  4c4 11409  6c6 11411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419

This theorem is referenced by:  cos01bnd  15289  sincos3rdpi  24669  1cubrlem  24982