Theorem halfpm6th 11888

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 11748	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		ax-1cn 10626	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2cn 11742	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		3ne0 11773	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
5		2ne0 11771	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6	1, 1, 2, 3, 4, 5	divmuldivi 11431	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
7	1, 4	dividi 11404	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
8	7	oveq1i 7161	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9		halfcn 11882	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	9	mulid2i 10677	. . . . . 6 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
11	8, 10	eqtri 2782	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
12	1	mulid1i 10676	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
13		3t2e6 11833	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
14	12, 13	oveq12i 7163	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
15	6, 11, 14	3eqtr3i 2790	. . . 4 ⊢ (1 / 2) = (3 / 6)
16	15	oveq1i 7161	. . 3 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17		6cn 11758	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
18		6re 11757	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		6pos 11777	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
20	18, 19	gt0ne0ii 11207	. . . . 5 ⊢ 6 ≠ 0
21	17, 20	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22		divsubdir 11365	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
23	1, 2, 21, 22	mp3an 1459	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24		3m1e2 11795	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
25	24	oveq1i 7161	. . . 4 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
26	3	mulid2i 10677	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
27	26, 13	oveq12i 7163	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
28	3, 5	dividi 11404	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
29	28	oveq2i 7162	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
30	2, 1, 3, 3, 4, 5	divmuldivi 11431	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
31	1, 4	reccli 11401	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
32	31	mulid1i 10676	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
33	29, 30, 32	3eqtr3i 2790	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
34	25, 27, 33	3eqtr2i 2788	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
35	16, 23, 34	3eqtr2i 2788	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
36	1, 2, 17, 20	divdiri 11428	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37		df-4 11732	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
38	37	oveq1i 7161	. . . 4 ⊢ (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
39	15	oveq1i 7161	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
40	36, 38, 39	3eqtr4ri 2793	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41		2t2e4 11831	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
42	41, 13	oveq12i 7163	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
43	28	oveq2i 7162	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
44	3, 1, 3, 3, 4, 5	divmuldivi 11431	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
45	3, 1, 4	divcli 11413	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
46	45	mulid1i 10676	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
47	43, 44, 46	3eqtr3i 2790	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
48	40, 42, 47	3eqtr2i 2788	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
49	35, 48	pm3.2i 475	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571   · cmul 10573   − cmin 10901   / cdiv 11328  2c2 11722  3c3 11723  4c4 11724  6c6 11726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-po 5444  df-so 5445  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734

This theorem is referenced by:  cos01bnd  15580  1cubrlem  25519