Theorem halfpm6th 12463

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Proof shortened by SN, 22-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12321	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		3ne0 12346	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
3	1, 2	reccli 11971	. . 3 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
4		6cn 12331	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
5		6re 12330	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
6		6pos 12350	. . . . 5 ⊢ 0 < 6
7	5, 6	gt0ne0ii 11773	. . . 4 ⊢ 6 ≠ 0
8	4, 7	reccli 11971	. . 3 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
9		halfcn 12455	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	3, 9	pncan3i 11560	. . . 4 ⊢ ((1 / 3) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = (1 / 2)
11		halfthird 12462	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
12	11	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ ((1 / 3) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 3) + (1 / 6))
13	10, 12	eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ (1 / 2) = ((1 / 3) + (1 / 6))
14	3, 8, 13	mvrraddi 11499	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
15	11	oveq2i 7416	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 2) + (1 / 6))
16	9, 9, 3	addsubassi 11574	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 2)) − (1 / 3)) = ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3)))
17		2cn 12315	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17, 1, 2	divcli 11983	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
19		ax-1cn 11187	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		2halves 12459	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
22		2p1e3 12382	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) / 3) = (3 / 3)
24	1, 2	dividi 11974	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
25	23, 24	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = 1
26	17, 19, 1, 2	divdiri 11998	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
27	21, 25, 26	3eqtr2i 2764	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = ((2 / 3) + (1 / 3))
28	18, 3, 27	mvrraddi 11499	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 2)) − (1 / 3)) = (2 / 3)
29	16, 28	eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = (2 / 3)
30	15, 29	eqtr3i 2760	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
31	14, 30	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  1c1 11130   + caddc 11132   − cmin 11466   / cdiv 11894  2c2 12295  3c3 12296  6c6 12299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307

This theorem is referenced by:  cos01bnd  16204  1cubrlem  26803