MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfpm6th Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfpm6th 11580
Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 11433 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 10311 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 11427 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3ne0 11465 . . . . . 6 3 ≠ 0
5 2ne0 11463 . . . . . 6 2 ≠ 0
61, 1, 2, 3, 4, 5divmuldivi 11112 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
71, 4dividi 11085 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
87oveq1i 6916 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9 halfcn 11574 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
109mulid2i 10363 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
118, 10eqtri 2850 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
121mulid1i 10362 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
13 3t2e6 11525 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1412, 13oveq12i 6918 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
156, 11, 143eqtr3i 2858 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1615oveq1i 6916 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17 6cn 11446 . . . . 5 6 ∈ ℂ
18 6re 11445 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
19 6pos 11469 . . . . . 6 0 < 6
2018, 19gt0ne0ii 10889 . . . . 5 6 ≠ 0
2117, 20pm3.2i 464 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22 divsubdir 11047 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
231, 2, 21, 22mp3an 1591 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24 3m1e2 11487 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2524oveq1i 6916 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
263mulid2i 10363 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2726, 13oveq12i 6918 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
283, 5dividi 11085 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
2928oveq2i 6917 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
302, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 11112 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
311, 4reccli 11082 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3231mulid1i 10362 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3329, 30, 323eqtr3i 2858 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3425, 27, 333eqtr2i 2856 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3516, 23, 343eqtr2i 2856 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
361, 2, 17, 20divdiri 11109 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37 df-4 11417 . . . . 5 4 = (3 + 1)
3837oveq1i 6916 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
3915oveq1i 6916 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4036, 38, 393eqtr4ri 2861 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41 2t2e4 11523 . . . 4 (2 · 2) = 4
4241, 13oveq12i 6918 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4328oveq2i 6917 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
443, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 11112 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
453, 1, 4divcli 11094 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4645mulid1i 10362 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4743, 44, 463eqtr3i 2858 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
4840, 42, 473eqtr2i 2856 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
4935, 48pm3.2i 464 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  (class class class)co 6906  cc 10251  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258  cmin 10586   / cdiv 11010  2c2 11407  3c3 11408  4c4 11409  6c6 11411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419
This theorem is referenced by:  cos01bnd  15289  sincos3rdpi  24669  1cubrlem  24982
  Copyright terms: Public domain W3C validator