Theorem halfpm6th 12466

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Proof shortened by SN, 22-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12322	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		3ne0 12350	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
3	1, 2	reccli 11945	. . 3 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
4		6cn 12332	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
5		6re 12331	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
6		6pos 12354	. . . . 5 ⊢ 0 < 6
7	5, 6	gt0ne0ii 11750	. . . 4 ⊢ 6 ≠ 0
8	4, 7	reccli 11945	. . 3 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
9		halfcn 12458	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	3, 9	pncan3i 11535	. . . 4 ⊢ ((1 / 3) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = (1 / 2)
11		halfthird 12465	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
12	11	oveq2i 7422	. . . 4 ⊢ ((1 / 3) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 3) + (1 / 6))
13	10, 12	eqtr3i 2794	. . 3 ⊢ (1 / 2) = ((1 / 3) + (1 / 6))
14	3, 8, 13	mvrraddi 11474	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
15	11	oveq2i 7422	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 2) + (1 / 6))
16	9, 9, 3	addsubassi 11549	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 2)) − (1 / 3)) = ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3)))
17		2cn 12316	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17, 1, 2	divcli 11957	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
19		ax-1cn 11158	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		2halves 12462	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
22		2p1e3 12382	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) / 3) = (3 / 3)
24	1, 2	dividi 11948	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
25	23, 24	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = 1
26	17, 19, 1, 2	divdiri 11972	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
27	21, 25, 26	3eqtr2i 2798	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = ((2 / 3) + (1 / 3))
28	18, 3, 27	mvrraddi 11474	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 2)) − (1 / 3)) = (2 / 3)
29	16, 28	eqtr3i 2794	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = (2 / 3)
30	15, 29	eqtr3i 2794	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
31	14, 30	pm3.2i 475	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  1c1 11101   + caddc 11103   − cmin 11441   / cdiv 11871  2c2 12295  3c3 12296  6c6 12299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307

This theorem is referenced by:  cos01bnd  16242  1cubrlem  26972