MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfpm6th Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfpm6th 12375
Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 12235 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 11110 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 12229 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3ne0 12260 . . . . . 6 3 ≠ 0
5 2ne0 12258 . . . . . 6 2 ≠ 0
61, 1, 2, 3, 4, 5divmuldivi 11916 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
71, 4dividi 11889 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
87oveq1i 7368 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9 halfcn 12369 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
109mulid2i 11161 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
118, 10eqtri 2765 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
121mulid1i 11160 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
13 3t2e6 12320 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1412, 13oveq12i 7370 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
156, 11, 143eqtr3i 2773 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1615oveq1i 7368 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17 6cn 12245 . . . . 5 6 ∈ ℂ
18 6re 12244 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
19 6pos 12264 . . . . . 6 0 < 6
2018, 19gt0ne0ii 11692 . . . . 5 6 ≠ 0
2117, 20pm3.2i 472 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22 divsubdir 11850 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
231, 2, 21, 22mp3an 1462 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24 3m1e2 12282 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2524oveq1i 7368 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
263mulid2i 11161 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2726, 13oveq12i 7370 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
283, 5dividi 11889 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
2928oveq2i 7369 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
302, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 11916 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
311, 4reccli 11886 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3231mulid1i 11160 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3329, 30, 323eqtr3i 2773 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3425, 27, 333eqtr2i 2771 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3516, 23, 343eqtr2i 2771 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
361, 2, 17, 20divdiri 11913 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37 df-4 12219 . . . . 5 4 = (3 + 1)
3837oveq1i 7368 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
3915oveq1i 7368 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4036, 38, 393eqtr4ri 2776 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41 2t2e4 12318 . . . 4 (2 · 2) = 4
4241, 13oveq12i 7370 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4328oveq2i 7369 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
443, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 11916 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
453, 1, 4divcli 11898 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4645mulid1i 11160 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4743, 44, 463eqtr3i 2773 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
4840, 42, 473eqtr2i 2771 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
4935, 48pm3.2i 472 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  (class class class)co 7358  cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   · cmul 11057  cmin 11386   / cdiv 11813  2c2 12209  3c3 12210  4c4 12211  6c6 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221
This theorem is referenced by:  cos01bnd  16069  1cubrlem  26194
  Copyright terms: Public domain W3C validator