Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfpm6th Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfpm6th 11888
 Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 11748 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 10626 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 11742 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3ne0 11773 . . . . . 6 3 ≠ 0
5 2ne0 11771 . . . . . 6 2 ≠ 0
61, 1, 2, 3, 4, 5divmuldivi 11431 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
71, 4dividi 11404 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
87oveq1i 7161 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9 halfcn 11882 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
109mulid2i 10677 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
118, 10eqtri 2782 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
121mulid1i 10676 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
13 3t2e6 11833 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1412, 13oveq12i 7163 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
156, 11, 143eqtr3i 2790 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1615oveq1i 7161 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17 6cn 11758 . . . . 5 6 ∈ ℂ
18 6re 11757 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
19 6pos 11777 . . . . . 6 0 < 6
2018, 19gt0ne0ii 11207 . . . . 5 6 ≠ 0
2117, 20pm3.2i 475 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22 divsubdir 11365 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
231, 2, 21, 22mp3an 1459 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24 3m1e2 11795 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2524oveq1i 7161 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
263mulid2i 10677 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2726, 13oveq12i 7163 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
283, 5dividi 11404 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
2928oveq2i 7162 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
302, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 11431 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
311, 4reccli 11401 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3231mulid1i 10676 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3329, 30, 323eqtr3i 2790 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3425, 27, 333eqtr2i 2788 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3516, 23, 343eqtr2i 2788 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
361, 2, 17, 20divdiri 11428 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37 df-4 11732 . . . . 5 4 = (3 + 1)
3837oveq1i 7161 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
3915oveq1i 7161 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4036, 38, 393eqtr4ri 2793 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41 2t2e4 11831 . . . 4 (2 · 2) = 4
4241, 13oveq12i 7163 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4328oveq2i 7162 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
443, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 11431 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
453, 1, 4divcli 11413 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4645mulid1i 10676 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4743, 44, 463eqtr3i 2790 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
4840, 42, 473eqtr2i 2788 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
4935, 48pm3.2i 475 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571   · cmul 10573   − cmin 10901   / cdiv 11328  2c2 11722  3c3 11723  4c4 11724  6c6 11726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-po 5444  df-so 5445  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734 This theorem is referenced by:  cos01bnd  15580  1cubrlem  25519
 Copyright terms: Public domain W3C validator