Theorem halfpm6th 11852

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 11712	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		ax-1cn 10589	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2cn 11706	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		3ne0 11737	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
5		2ne0 11735	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6	1, 1, 2, 3, 4, 5	divmuldivi 11394	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
7	1, 4	dividi 11367	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
8	7	oveq1i 7160	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9		halfcn 11846	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	9	mulid2i 10640	. . . . . 6 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
11	8, 10	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
12	1	mulid1i 10639	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
13		3t2e6 11797	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
14	12, 13	oveq12i 7162	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
15	6, 11, 14	3eqtr3i 2852	. . . 4 ⊢ (1 / 2) = (3 / 6)
16	15	oveq1i 7160	. . 3 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17		6cn 11722	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
18		6re 11721	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		6pos 11741	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
20	18, 19	gt0ne0ii 11170	. . . . 5 ⊢ 6 ≠ 0
21	17, 20	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22		divsubdir 11328	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
23	1, 2, 21, 22	mp3an 1457	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24		3m1e2 11759	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
25	24	oveq1i 7160	. . . 4 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
26	3	mulid2i 10640	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
27	26, 13	oveq12i 7162	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
28	3, 5	dividi 11367	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
29	28	oveq2i 7161	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
30	2, 1, 3, 3, 4, 5	divmuldivi 11394	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
31	1, 4	reccli 11364	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
32	31	mulid1i 10639	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
33	29, 30, 32	3eqtr3i 2852	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
34	25, 27, 33	3eqtr2i 2850	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
35	16, 23, 34	3eqtr2i 2850	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
36	1, 2, 17, 20	divdiri 11391	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37		df-4 11696	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
38	37	oveq1i 7160	. . . 4 ⊢ (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
39	15	oveq1i 7160	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
40	36, 38, 39	3eqtr4ri 2855	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41		2t2e4 11795	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
42	41, 13	oveq12i 7162	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
43	28	oveq2i 7161	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
44	3, 1, 3, 3, 4, 5	divmuldivi 11394	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
45	3, 1, 4	divcli 11376	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
46	45	mulid1i 10639	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
47	43, 44, 46	3eqtr3i 2852	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
48	40, 42, 47	3eqtr2i 2850	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
49	35, 48	pm3.2i 473	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864   / cdiv 11291  2c2 11686  3c3 11687  4c4 11688  6c6 11690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698

This theorem is referenced by:  cos01bnd  15533  1cubrlem  25413