Theorem halfpm6th 12411

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Proof shortened by SN, 22-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12274	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		3ne0 12299	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
3	1, 2	reccli 11919	. . 3 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
4		6cn 12284	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
5		6re 12283	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
6		6pos 12303	. . . . 5 ⊢ 0 < 6
7	5, 6	gt0ne0ii 11721	. . . 4 ⊢ 6 ≠ 0
8	4, 7	reccli 11919	. . 3 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
9		halfcn 12403	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	3, 9	pncan3i 11506	. . . 4 ⊢ ((1 / 3) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = (1 / 2)
11		halfthird 12410	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
12	11	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ ((1 / 3) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 3) + (1 / 6))
13	10, 12	eqtr3i 2755	. . 3 ⊢ (1 / 2) = ((1 / 3) + (1 / 6))
14	3, 8, 13	mvrraddi 11445	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
15	11	oveq2i 7401	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 2) + (1 / 6))
16	9, 9, 3	addsubassi 11520	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 2)) − (1 / 3)) = ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3)))
17		2cn 12268	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17, 1, 2	divcli 11931	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
19		ax-1cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		2halves 12407	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
22		2p1e3 12330	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	oveq1i 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) / 3) = (3 / 3)
24	1, 2	dividi 11922	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
25	23, 24	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = 1
26	17, 19, 1, 2	divdiri 11946	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
27	21, 25, 26	3eqtr2i 2759	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = ((2 / 3) + (1 / 3))
28	18, 3, 27	mvrraddi 11445	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 2)) − (1 / 3)) = (2 / 3)
29	16, 28	eqtr3i 2755	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = (2 / 3)
30	15, 29	eqtr3i 2755	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
31	14, 30	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  3c3 12249  6c6 12252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260

This theorem is referenced by:  cos01bnd  16161  1cubrlem  26758