Theorem halfpm6th 12346

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Proof shortened by SN, 22-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12209	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		3ne0 12234	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
3	1, 2	reccli 11854	. . 3 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
4		6cn 12219	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
5		6re 12218	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
6		6pos 12238	. . . . 5 ⊢ 0 < 6
7	5, 6	gt0ne0ii 11656	. . . 4 ⊢ 6 ≠ 0
8	4, 7	reccli 11854	. . 3 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
9		halfcn 12338	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	3, 9	pncan3i 11441	. . . 4 ⊢ ((1 / 3) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = (1 / 2)
11		halfthird 12345	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
12	11	oveq2i 7360	. . . 4 ⊢ ((1 / 3) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 3) + (1 / 6))
13	10, 12	eqtr3i 2754	. . 3 ⊢ (1 / 2) = ((1 / 3) + (1 / 6))
14	3, 8, 13	mvrraddi 11380	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
15	11	oveq2i 7360	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 2) + (1 / 6))
16	9, 9, 3	addsubassi 11455	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 2)) − (1 / 3)) = ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3)))
17		2cn 12203	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17, 1, 2	divcli 11866	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
19		ax-1cn 11067	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		2halves 12342	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
22		2p1e3 12265	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	oveq1i 7359	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) / 3) = (3 / 3)
24	1, 2	dividi 11857	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
25	23, 24	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = 1
26	17, 19, 1, 2	divdiri 11881	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
27	21, 25, 26	3eqtr2i 2758	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = ((2 / 3) + (1 / 3))
28	18, 3, 27	mvrraddi 11380	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 2)) − (1 / 3)) = (2 / 3)
29	16, 28	eqtr3i 2754	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + ((1 / 2) − (1 / 3))) = (2 / 3)
30	15, 29	eqtr3i 2754	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
31	14, 30	pm3.2i 470	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  1c1 11010   + caddc 11012   − cmin 11347   / cdiv 11777  2c2 12183  3c3 12184  6c6 12187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195

This theorem is referenced by:  cos01bnd  16095  1cubrlem  26749