MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgoddnumeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgoddnumeven 27920
Description: The number of vertices of odd degree is even in a finite pseudograph of finite size. Proposition 1.2.1 in [Diestel] p. 5. See also remark about equation (2) in section I.1 in [Bollobas] p. 4. (Contributed by AV, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdgeven.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdgeven.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdgeven.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdgoddnumeven ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑣,𝐷   𝑣,𝐼

Proof of Theorem vtxdgoddnumeven
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 finsumvtxdgeven.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 finsumvtxdgeven.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 finsumvtxdgeven.d . . 3 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3finsumvtxdgeven 27919 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤))
5 incom 4135 . . . . . . 7 ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ({𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})
6 rabnc 4321 . . . . . . 7 ({𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ∅
75, 6eqtri 2766 . . . . . 6 ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ∅
87a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ∅)
9 rabxm 4320 . . . . . . 7 𝑉 = ({𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∪ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})
109equncomi 4089 . . . . . 6 𝑉 = ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∪ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)})
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑉 = ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∪ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}))
12 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
133fveq1i 6775 . . . . . 6 (𝐷𝑤) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤)
14 dmfi 9097 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → dom 𝐼 ∈ Fin)
15143ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → dom 𝐼 ∈ Fin)
16 eqid 2738 . . . . . . . . 9 dom 𝐼 = dom 𝐼
171, 2, 16vtxdgfisnn0 27842 . . . . . . . 8 ((dom 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
1815, 17sylan 580 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
1918nn0cnd 12295 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℂ)
2013, 19eqeltrid 2843 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐷𝑤) ∈ ℂ)
218, 11, 12, 20fsumsplit 15453 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤) = (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
2221breq2d 5086 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤) ↔ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))))
23 rabfi 9044 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
24233ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
25 elrabi 3618 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → 𝑤𝑉)
2615, 25, 17syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
2726nn0zd 12424 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℤ)
2813, 27eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
2924, 28fsumzcl 15447 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
3029adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
31 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑤 → (𝐷𝑣) = (𝐷𝑤))
3231breq2d 5086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑤 → (2 ∥ (𝐷𝑣) ↔ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
3332notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑤 → (¬ 2 ∥ (𝐷𝑣) ↔ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
3433elrab 3624 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ↔ (𝑤𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
3534simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤))
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤))
3724, 28, 36sumodd 16097 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) ↔ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
3837notbid 318 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) ↔ ¬ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
3938biimpa 477 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → ¬ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))
40 rabfi 9044 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
41403ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
42 elrabi 3618 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → 𝑤𝑉)
4315, 42, 17syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
4443nn0zd 12424 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℤ)
4513, 44eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
4641, 45fsumzcl 15447 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
4746adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
4832elrab 3624 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ↔ (𝑤𝑉 ∧ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
4948simprbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → 2 ∥ (𝐷𝑤))
5049adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → 2 ∥ (𝐷𝑤))
5141, 45, 50sumeven 16096 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))
5251adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))
53 opeo 16074 . . . . . 6 (((Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)) ∧ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
5430, 39, 47, 52, 53syl22anc 836 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
5554ex 413 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))))
5655con4d 115 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)) → 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})))
5722, 56sylbid 239 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤) → 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})))
584, 57mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  {crab 3068  cun 3885  cin 3886  c0 4256   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  cc 10869   + caddc 10874  2c2 12028  0cn0 12233  cz 12319  chash 14044  Σcsu 15397  cdvds 15963  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  UPGraphcupgr 27450  VtxDegcvtxdg 27832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-vtx 27368  df-iedg 27369  df-edg 27418  df-uhgr 27428  df-upgr 27452  df-vtxdg 27833
This theorem is referenced by:  fusgrvtxdgonume  27921
  Copyright terms: Public domain W3C validator