MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgoddnumeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgoddnumeven 27495
Description: The number of vertices of odd degree is even in a finite pseudograph of finite size. Proposition 1.2.1 in [Diestel] p. 5. See also remark about equation (2) in section I.1 in [Bollobas] p. 4. (Contributed by AV, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdgeven.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdgeven.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdgeven.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdgoddnumeven ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑣,𝐷   𝑣,𝐼

Proof of Theorem vtxdgoddnumeven
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 finsumvtxdgeven.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 finsumvtxdgeven.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 finsumvtxdgeven.d . . 3 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3finsumvtxdgeven 27494 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤))
5 incom 4092 . . . . . . 7 ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ({𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})
6 rabnc 4277 . . . . . . 7 ({𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ∅
75, 6eqtri 2761 . . . . . 6 ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ∅
87a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ∅)
9 rabxm 4276 . . . . . . 7 𝑉 = ({𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∪ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})
109equncomi 4046 . . . . . 6 𝑉 = ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∪ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)})
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑉 = ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∪ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}))
12 simp2 1138 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
133fveq1i 6676 . . . . . 6 (𝐷𝑤) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤)
14 dmfi 8876 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → dom 𝐼 ∈ Fin)
15143ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → dom 𝐼 ∈ Fin)
16 eqid 2738 . . . . . . . . 9 dom 𝐼 = dom 𝐼
171, 2, 16vtxdgfisnn0 27417 . . . . . . . 8 ((dom 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
1815, 17sylan 583 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
1918nn0cnd 12039 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℂ)
2013, 19eqeltrid 2837 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐷𝑤) ∈ ℂ)
218, 11, 12, 20fsumsplit 15191 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤) = (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
2221breq2d 5043 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤) ↔ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))))
23 rabfi 8822 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
24233ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
25 elrabi 3582 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → 𝑤𝑉)
2615, 25, 17syl2an 599 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
2726nn0zd 12167 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℤ)
2813, 27eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
2924, 28fsumzcl 15186 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
3029adantr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
31 fveq2 6675 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑤 → (𝐷𝑣) = (𝐷𝑤))
3231breq2d 5043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑤 → (2 ∥ (𝐷𝑣) ↔ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
3332notbid 321 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑤 → (¬ 2 ∥ (𝐷𝑣) ↔ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
3433elrab 3588 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ↔ (𝑤𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
3534simprbi 500 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤))
3635adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤))
3724, 28, 36sumodd 15834 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) ↔ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
3837notbid 321 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) ↔ ¬ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
3938biimpa 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → ¬ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))
40 rabfi 8822 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
41403ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
42 elrabi 3582 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → 𝑤𝑉)
4315, 42, 17syl2an 599 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
4443nn0zd 12167 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℤ)
4513, 44eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
4641, 45fsumzcl 15186 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
4746adantr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
4832elrab 3588 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ↔ (𝑤𝑉 ∧ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
4948simprbi 500 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → 2 ∥ (𝐷𝑤))
5049adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → 2 ∥ (𝐷𝑤))
5141, 45, 50sumeven 15833 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))
5251adantr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))
53 opeo 15811 . . . . . 6 (((Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)) ∧ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
5430, 39, 47, 52, 53syl22anc 838 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
5554ex 416 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))))
5655con4d 115 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)) → 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})))
5722, 56sylbid 243 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤) → 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})))
584, 57mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  {crab 3057  cun 3842  cin 3843  c0 4212   class class class wbr 5031  dom cdm 5526  cfv 6340  (class class class)co 7171  Fincfn 8556  cc 10614   + caddc 10619  2c2 11772  0cn0 11977  cz 12063  chash 13783  Σcsu 15136  cdvds 15700  Vtxcvtx 26941  iEdgciedg 26942  UPGraphcupgr 27025  VtxDegcvtxdg 27407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-inf2 9178  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-disj 4997  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-2o 8133  df-oadd 8136  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-sup 8980  df-oi 9048  df-dju 9404  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-n0 11978  df-xnn0 12050  df-z 12064  df-uz 12326  df-rp 12474  df-xadd 12592  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-seq 13462  df-exp 13523  df-hash 13784  df-cj 14549  df-re 14550  df-im 14551  df-sqrt 14685  df-abs 14686  df-clim 14936  df-sum 15137  df-dvds 15701  df-vtx 26943  df-iedg 26944  df-edg 26993  df-uhgr 27003  df-upgr 27027  df-vtxdg 27408
This theorem is referenced by:  fusgrvtxdgonume  27496
  Copyright terms: Public domain W3C validator