MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgoddnumeven Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vtxdgoddnumeven 29075
Description: The number of vertices of odd degree is even in a finite pseudograph of finite size. Proposition 1.2.1 in [Diestel] p. 5. See also remark about equation (2) in section I.1 in [Bollobas] p. 4. (Contributed by AV, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdgeven.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
finsumvtxdgeven.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
finsumvtxdgeven.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vtxdgoddnumeven ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 2 βˆ₯ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑣,𝐷   𝑣,𝐼
Proof of Theorem vtxdgoddnumeven
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 finsumvtxdgeven.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 finsumvtxdgeven.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 finsumvtxdgeven.d . . 3 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
41, 2, 3finsumvtxdgeven 29074 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 2 βˆ₯ Σ𝑀 ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘€))
5 incom 4202 . . . . . . 7 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} ∩ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) = ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} ∩ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)})
6 rabnc 4388 . . . . . . 7 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} ∩ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) = βˆ…
75, 6eqtri 2758 . . . . . 6 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} ∩ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) = βˆ…
87a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} ∩ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) = βˆ…)
9 rabxm 4387 . . . . . . 7 𝑉 = ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} βˆͺ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)})
109equncomi 4156 . . . . . 6 𝑉 = ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} βˆͺ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)})
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑉 = ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} βˆͺ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}))
12 simp2 1135 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
133fveq1i 6893 . . . . . 6 (π·β€˜π‘€) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘€)
14 dmfi 9334 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin β†’ dom 𝐼 ∈ Fin)
15143ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ dom 𝐼 ∈ Fin)
16 eqid 2730 . . . . . . . . 9 dom 𝐼 = dom 𝐼
171, 2, 16vtxdgfisnn0 28997 . . . . . . . 8 ((dom 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘€) ∈ β„•0)
1815, 17sylan 578 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘€) ∈ β„•0)
1918nn0cnd 12540 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
2013, 19eqeltrid 2835 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜π‘€) ∈ β„‚)
218, 11, 12, 20fsumsplit 15693 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ Σ𝑀 ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘€) = (Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€) + Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€)))
2221breq2d 5161 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (2 βˆ₯ Σ𝑀 ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘€) ↔ 2 βˆ₯ (Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€) + Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€))))
23 rabfi 9273 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin β†’ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} ∈ Fin)
24233ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} ∈ Fin)
25 elrabi 3678 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
2615, 25, 17syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘€) ∈ β„•0)
2726nn0zd 12590 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘€) ∈ β„€)
2813, 27eqeltrid 2835 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) β†’ (π·β€˜π‘€) ∈ β„€)
2924, 28fsumzcl 15687 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€) ∈ β„€)
3029adantr 479 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)})) β†’ Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€) ∈ β„€)
31 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑀 β†’ (π·β€˜π‘£) = (π·β€˜π‘€))
3231breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑀 β†’ (2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£) ↔ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘€)))
3332notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑀 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘€)))
3433elrab 3684 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} ↔ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘€)))
3534simprbi 495 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘€))
3635adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘€))
3724, 28, 36sumodd 16337 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (2 βˆ₯ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) ↔ 2 βˆ₯ Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€)))
3837notbid 317 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€)))
3938biimpa 475 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)})) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€))
40 rabfi 9273 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin β†’ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} ∈ Fin)
41403ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} ∈ Fin)
42 elrabi 3678 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
4315, 42, 17syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘€) ∈ β„•0)
4443nn0zd 12590 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘€) ∈ β„€)
4513, 44eqeltrid 2835 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) β†’ (π·β€˜π‘€) ∈ β„€)
4641, 45fsumzcl 15687 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€) ∈ β„€)
4746adantr 479 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)})) β†’ Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€) ∈ β„€)
4832elrab 3684 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} ↔ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘€)))
4948simprbi 495 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} β†’ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘€))
5049adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) β†’ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘€))
5141, 45, 50sumeven 16336 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 2 βˆ₯ Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€))
5251adantr 479 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)})) β†’ 2 βˆ₯ Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€))
53 opeo 16314 . . . . . 6 (((Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ Β¬ 2 βˆ₯ Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€)) ∧ (Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ 2 βˆ₯ Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€))) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€) + Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€)))
5430, 39, 47, 52, 53syl22anc 835 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)})) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€) + Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€)))
5554ex 411 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€) + Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€))))
5655con4d 115 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (2 βˆ₯ (Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€) + Σ𝑀 ∈ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)} (π·β€˜π‘€)) β†’ 2 βˆ₯ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)})))
5722, 56sylbid 239 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (2 βˆ₯ Σ𝑀 ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘€) β†’ 2 βˆ₯ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)})))
584, 57mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 2 βˆ₯ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (π·β€˜π‘£)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Fincfn 8943  β„‚cc 11112   + caddc 11117  2c2 12273  β„•0cn0 12478  β„€cz 12564  β™―chash 14296  Ξ£csu 15638   βˆ₯ cdvds 16203  Vtxcvtx 28521  iEdgciedg 28522  UPGraphcupgr 28605  VtxDegcvtxdg 28987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16204  df-vtx 28523  df-iedg 28524  df-edg 28573  df-uhgr 28583  df-upgr 28607  df-vtxdg 28988
This theorem is referenced by:  fusgrvtxdgonume  29076
  Copyright terms: Public domain W3C validator