MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgoddnumeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgoddnumeven 29586
Description: The number of vertices of odd degree is even in a finite pseudograph of finite size. Proposition 1.2.1 in [Diestel] p. 5. See also remark about equation (2) in section I.1 in [Bollobas] p. 4. (Contributed by AV, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdgeven.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdgeven.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdgeven.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdgoddnumeven ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑣,𝐷   𝑣,𝐼

Proof of Theorem vtxdgoddnumeven
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 finsumvtxdgeven.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 finsumvtxdgeven.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 finsumvtxdgeven.d . . 3 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3finsumvtxdgeven 29585 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤))
5 incom 4217 . . . . . . 7 ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ({𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})
6 rabnc 4397 . . . . . . 7 ({𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ∅
75, 6eqtri 2763 . . . . . 6 ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ∅
87a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∩ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) = ∅)
9 rabxm 4396 . . . . . . 7 𝑉 = ({𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∪ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})
109equncomi 4170 . . . . . 6 𝑉 = ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∪ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)})
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑉 = ({𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∪ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}))
12 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
133fveq1i 6908 . . . . . 6 (𝐷𝑤) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤)
14 dmfi 9373 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → dom 𝐼 ∈ Fin)
15143ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → dom 𝐼 ∈ Fin)
16 eqid 2735 . . . . . . . . 9 dom 𝐼 = dom 𝐼
171, 2, 16vtxdgfisnn0 29508 . . . . . . . 8 ((dom 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
1815, 17sylan 580 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
1918nn0cnd 12587 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℂ)
2013, 19eqeltrid 2843 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐷𝑤) ∈ ℂ)
218, 11, 12, 20fsumsplit 15774 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤) = (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
2221breq2d 5160 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤) ↔ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))))
23 rabfi 9301 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
24233ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
25 elrabi 3690 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → 𝑤𝑉)
2615, 25, 17syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
2726nn0zd 12637 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℤ)
2813, 27eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
2924, 28fsumzcl 15768 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
3029adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
31 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑤 → (𝐷𝑣) = (𝐷𝑤))
3231breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑤 → (2 ∥ (𝐷𝑣) ↔ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
3332notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑤 → (¬ 2 ∥ (𝐷𝑣) ↔ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
3433elrab 3695 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ↔ (𝑤𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
3534simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤))
3635adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ¬ 2 ∥ (𝐷𝑤))
3724, 28, 36sumodd 16422 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) ↔ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
3837notbid 318 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) ↔ ¬ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
3938biimpa 476 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → ¬ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))
40 rabfi 9301 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
41403ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ∈ Fin)
42 elrabi 3690 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → 𝑤𝑉)
4315, 42, 17syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℕ0)
4443nn0zd 12637 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑤) ∈ ℤ)
4513, 44eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
4641, 45fsumzcl 15768 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
4746adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ)
4832elrab 3695 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} ↔ (𝑤𝑉 ∧ 2 ∥ (𝐷𝑤)))
4948simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} → 2 ∥ (𝐷𝑤))
5049adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → 2 ∥ (𝐷𝑤))
5141, 45, 50sumeven 16421 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))
5251adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))
53 opeo 16399 . . . . . 6 (((Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)) ∧ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
5430, 39, 47, 52, 53syl22anc 839 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ ¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)))
5554ex 412 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (¬ 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤))))
5655con4d 115 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ (Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤) + Σ𝑤 ∈ {𝑣𝑉 ∣ 2 ∥ (𝐷𝑣)} (𝐷𝑤)) → 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})))
5722, 56sylbid 240 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (2 ∥ Σ𝑤𝑉 (𝐷𝑤) → 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)})))
584, 57mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 2 ∥ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ (𝐷𝑣)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  cun 3961  cin 3962  c0 4339   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151   + caddc 11156  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  chash 14366  Σcsu 15719  cdvds 16287  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  UPGraphcupgr 29112  VtxDegcvtxdg 29498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-vtx 29030  df-iedg 29031  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-vtxdg 29499
This theorem is referenced by:  fusgrvtxdgonume  29587
  Copyright terms: Public domain W3C validator