Theorem finsumvtxdg2ssteplem2 26796

Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 26799. (Contributed by AV, 12-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsumvtxdg2sstep.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
finsumvtxdg2ssteplem.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
finsumvtxdg2ssteplem2	⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑆(𝑖)   𝐼(𝑖)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfi 8486	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
2	1	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → dom 𝐸 ∈ Fin)
3		simpr 478	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ 𝑉)
4		finsumvtxdg2sstep.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		finsumvtxdg2sstep.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
6		eqid 2799	. . . 4 ⊢ dom 𝐸 = dom 𝐸
7	4, 5, 6	vtxdgfival 26719	. . 3 ⊢ ((dom 𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))
8	2, 3, 7	syl2anr 591	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))
9		finsumvtxdg2ssteplem.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
10	9	eqcomi 2808	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} = 𝐽
11	10	fveq2i 6414	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}) = (♯‘𝐽)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}) = (♯‘𝐽))
13	12	oveq1d 6893	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))
14	8, 13	eqtrd 2833	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ∉ wnel 3074  {crab 3093   ∖ cdif 3766  {csn 4368  ⟨cop 4374  dom cdm 5312   ↾ cres 5314  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195   + caddc 10227  ♯chash 13370  Vtxcvtx 26231  iEdgciedg 26232  UPGraphcupgr 26315  VtxDegcvtxdg 26715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-xadd 12194  df-hash 13371  df-vtxdg 26716

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  26799