MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finsumvtxdg2ssteplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finsumvtxdg2ssteplem2 28202
Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 28205. (Contributed by AV, 12-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdg2sstep.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
finsumvtxdg2sstep.e 𝐸 = (iEdgβ€˜πΊ)
finsumvtxdg2sstep.k 𝐾 = (𝑉 βˆ– {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 βˆ‰ (πΈβ€˜π‘–)}
finsumvtxdg2sstep.p 𝑃 = (𝐸 β†Ύ 𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s 𝑆 = ⟨𝐾, π‘ƒβŸ©
finsumvtxdg2ssteplem.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}
Assertion
Ref Expression
finsumvtxdg2ssteplem2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((β™―β€˜π½) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}})))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑆(𝑖)   𝐼(𝑖)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem2
StepHypRef Expression
1 dmfi 9195 . . . 4 (𝐸 ∈ Fin β†’ dom 𝐸 ∈ Fin)
21adantl 482 . . 3 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) β†’ dom 𝐸 ∈ Fin)
3 simpr 485 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ 𝑉)
4 finsumvtxdg2sstep.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
5 finsumvtxdg2sstep.e . . . 4 𝐸 = (iEdgβ€˜πΊ)
6 eqid 2736 . . . 4 dom 𝐸 = dom 𝐸
74, 5, 6vtxdgfival 28125 . . 3 ((dom 𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}})))
82, 3, 7syl2anr 597 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}})))
9 finsumvtxdg2ssteplem.j . . . . . 6 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}
109eqcomi 2745 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)} = 𝐽
1110fveq2i 6828 . . . 4 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}) = (β™―β€˜π½)
1211a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}) = (β™―β€˜π½))
1312oveq1d 7352 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}})) = ((β™―β€˜π½) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}})))
148, 13eqtrd 2776 1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((β™―β€˜π½) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆ‰ wnel 3046  {crab 3403   βˆ– cdif 3895  {csn 4573  βŸ¨cop 4579  dom cdm 5620   β†Ύ cres 5622  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  Fincfn 8804   + caddc 10975  β™―chash 14145  Vtxcvtx 27655  iEdgciedg 27656  UPGraphcupgr 27739  VtxDegcvtxdg 28121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-xadd 12950  df-hash 14146  df-vtxdg 28122
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  28205
  Copyright terms: Public domain W3C validator