Theorem finsumvtxdg2ssteplem2 29693

Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 29696. (Contributed by AV, 12-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsumvtxdg2sstep.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
finsumvtxdg2ssteplem.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
finsumvtxdg2ssteplem2	⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑆(𝑖)   𝐼(𝑖)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfi 9275	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → dom 𝐸 ∈ Fin)
3		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ 𝑉)
4		finsumvtxdg2sstep.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		finsumvtxdg2sstep.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ dom 𝐸 = dom 𝐸
7	4, 5, 6	vtxdgfival 29616	. . 3 ⊢ ((dom 𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))
8	2, 3, 7	syl2anr 606	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))
9		finsumvtxdg2ssteplem.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
10	9	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} = 𝐽
11	10	fveq2i 6866	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}) = (♯‘𝐽)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}) = (♯‘𝐽))
13	12	oveq1d 7407	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))
14	8, 13	eqtrd 2796	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3060  {crab 3413   ∖ cdif 3901  {csn 4581  ⟨cop 4587  dom cdm 5645   ↾ cres 5647  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923   + caddc 11073  ♯chash 14340  Vtxcvtx 29143  iEdgciedg 29144  UPGraphcupgr 29227  VtxDegcvtxdg 29612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-xadd 13112  df-hash 14341  df-vtxdg 29613

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  29696