Theorem hashreshashfun 14431

Description: The number of elements of a finite function expressed by a restriction. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashreshashfun	⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem hashreshashfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → Fun 𝐴)
2		hashfun 14429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (Fun 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴)))
3	2	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (Fun 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴)))
4	1, 3	mpbid 231	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴))
5		dmfi 9355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
6	5	anim1i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
7	6	3adant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
8		hashssdif 14404	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵)))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵)))
10	9	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))))
11		ssfi 9198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
12	11	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → 𝐵 ∈ Fin))
13		hashcl 14348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 12565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
15	12, 14	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ))
16	5, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ))
17	16	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
18		hashcl 14348	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
19	5, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 12565	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
22	17, 21	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
23	22	3adant1 1128	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
24		pncan3 11499	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))) = (♯‘dom 𝐴))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))) = (♯‘dom 𝐴))
26	10, 25	eqtr2d 2769	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom 𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))
27		hashres 14430	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘𝐵))
28	27	eqcomd 2734	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)))
29	28	oveq1d 7435	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))
30	4, 26, 29	3eqtrd 2772	1 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  dom cdm 5678   ↾ cres 5680  Fun wfun 6542  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  ℂcc 11137   + caddc 11142   − cmin 11475  ℕ₀cn0 12503  ♯chash 14322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-hash 14323

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem1  29372