Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashreshashfun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashreshashfun 13546
 Description: The number of elements of a finite function expressed by a restriction. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashreshashfun ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘(𝐴𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))))

Proof of Theorem hashreshashfun
StepHypRef Expression
1 simp1 1127 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → Fun 𝐴)
2 hashfun 13544 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (Fun 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴)))
323ad2ant2 1125 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (Fun 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴)))
41, 3mpbid 224 . 2 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴))
5 dmfi 8534 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
65anim1i 608 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
763adant1 1121 . . . . 5 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
8 hashssdif 13520 . . . . 5 ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(dom 𝐴𝐵)) = ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵)))
97, 8syl 17 . . . 4 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(dom 𝐴𝐵)) = ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵)))
109oveq2d 6940 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))))
11 ssfi 8470 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
1211ex 403 . . . . . . . . 9 (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴𝐵 ∈ Fin))
13 hashcl 13468 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 11709 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
1512, 14syl6 35 . . . . . . . 8 (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ))
165, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ))
1716imp 397 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
18 hashcl 13468 . . . . . . . . 9 (dom 𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
195, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 11709 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
2120adantr 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
2217, 21jca 507 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
23223adant1 1121 . . . 4 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
24 pncan3 10632 . . . 4 (((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))) = (♯‘dom 𝐴))
2523, 24syl 17 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))) = (♯‘dom 𝐴))
2610, 25eqtr2d 2815 . 2 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom 𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))))
27 hashres 13545 . . . 4 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) = (♯‘𝐵))
2827eqcomd 2784 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴𝐵)))
2928oveq1d 6939 . 2 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))) = ((♯‘(𝐴𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))))
304, 26, 293eqtrd 2818 1 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘(𝐴𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3789   ⊆ wss 3792  dom cdm 5357   ↾ cres 5359  Fun wfun 6131  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  ℂcc 10272   + caddc 10277   − cmin 10608  ℕ0cn0 11647  ♯chash 13441 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-hash 13442 This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem1  26910
 Copyright terms: Public domain W3C validator