MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashreshashfun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashreshashfun 14422
Description: The number of elements of a finite function expressed by a restriction. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashreshashfun ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘(𝐴𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))))

Proof of Theorem hashreshashfun
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → Fun 𝐴)
2 hashfun 14420 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (Fun 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴)))
323ad2ant2 1132 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (Fun 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴)))
41, 3mpbid 231 . 2 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴))
5 dmfi 9346 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
65anim1i 614 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
763adant1 1128 . . . . 5 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
8 hashssdif 14395 . . . . 5 ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(dom 𝐴𝐵)) = ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵)))
97, 8syl 17 . . . 4 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(dom 𝐴𝐵)) = ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵)))
109oveq2d 7430 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))))
11 ssfi 9189 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
1211ex 412 . . . . . . . . 9 (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴𝐵 ∈ Fin))
13 hashcl 14339 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 12556 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
1512, 14syl6 35 . . . . . . . 8 (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ))
165, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ))
1716imp 406 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
18 hashcl 14339 . . . . . . . . 9 (dom 𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
195, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 12556 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
2217, 21jca 511 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
23223adant1 1128 . . . 4 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
24 pncan3 11490 . . . 4 (((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))) = (♯‘dom 𝐴))
2523, 24syl 17 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))) = (♯‘dom 𝐴))
2610, 25eqtr2d 2768 . 2 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom 𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))))
27 hashres 14421 . . . 4 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) = (♯‘𝐵))
2827eqcomd 2733 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴𝐵)))
2928oveq1d 7429 . 2 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))) = ((♯‘(𝐴𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))))
304, 26, 293eqtrd 2771 1 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘(𝐴𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3941  wss 3944  dom cdm 5672  cres 5674  Fun wfun 6536  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  cc 11128   + caddc 11133  cmin 11466  0cn0 12494  chash 14313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-hash 14314
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem1  29346
  Copyright terms: Public domain W3C validator