MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashreshashfun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashreshashfun 14152
Description: The number of elements of a finite function expressed by a restriction. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashreshashfun ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘(𝐴𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))))

Proof of Theorem hashreshashfun
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → Fun 𝐴)
2 hashfun 14150 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (Fun 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴)))
323ad2ant2 1133 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (Fun 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴)))
41, 3mpbid 231 . 2 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴))
5 dmfi 9075 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
65anim1i 615 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
763adant1 1129 . . . . 5 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
8 hashssdif 14125 . . . . 5 ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(dom 𝐴𝐵)) = ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵)))
97, 8syl 17 . . . 4 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(dom 𝐴𝐵)) = ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵)))
109oveq2d 7287 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))))
11 ssfi 8938 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
1211ex 413 . . . . . . . . 9 (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴𝐵 ∈ Fin))
13 hashcl 14069 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 12295 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
1512, 14syl6 35 . . . . . . . 8 (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ))
165, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ))
1716imp 407 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
18 hashcl 14069 . . . . . . . . 9 (dom 𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
195, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 12295 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
2120adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
2217, 21jca 512 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
23223adant1 1129 . . . 4 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
24 pncan3 11229 . . . 4 (((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))) = (♯‘dom 𝐴))
2523, 24syl 17 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))) = (♯‘dom 𝐴))
2610, 25eqtr2d 2781 . 2 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom 𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))))
27 hashres 14151 . . . 4 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) = (♯‘𝐵))
2827eqcomd 2746 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴𝐵)))
2928oveq1d 7286 . 2 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))) = ((♯‘(𝐴𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))))
304, 26, 293eqtrd 2784 1 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘(𝐴𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  cdif 3889  wss 3892  dom cdm 5590  cres 5592  Fun wfun 6426  cfv 6432  (class class class)co 7271  Fincfn 8716  cc 10870   + caddc 10875  cmin 11205  0cn0 12233  chash 14042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-oadd 8292  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-dju 9660  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-hash 14043
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem1  27910
  Copyright terms: Public domain W3C validator