Theorem hashreshashfun 14462

Description: The number of elements of a finite function expressed by a restriction. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashreshashfun	⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem hashreshashfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → Fun 𝐴)
2		hashfun 14460	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (Fun 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴)))
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (Fun 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴)))
4	1, 3	mpbid 232	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴))
5		dmfi 9352	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
6	5	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
7	6	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
8		hashssdif 14435	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵)))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵)))
10	9	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))))
11		ssfi 9192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
12	11	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → 𝐵 ∈ Fin))
13		hashcl 14379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
15	12, 14	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ))
16	5, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ))
17	16	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
18		hashcl 14379	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
19	5, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 12569	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
22	17, 21	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
23	22	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
24		pncan3 11495	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))) = (♯‘dom 𝐴))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))) = (♯‘dom 𝐴))
26	10, 25	eqtr2d 2772	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom 𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))
27		hashres 14461	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘𝐵))
28	27	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)))
29	28	oveq1d 7425	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))
30	4, 26, 29	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℂcc 11132   + caddc 11137   − cmin 11471  ℕ₀cn0 12506  ♯chash 14353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-hash 14354

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem1  29530