Theorem hashreshashfun 14392

Description: The number of elements of a finite function expressed by a restriction. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashreshashfun	⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem hashreshashfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → Fun 𝐴)
2		hashfun 14390	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (Fun 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴)))
3	2	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (Fun 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴)))
4	1, 3	mpbid 232	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = (♯‘dom 𝐴))
5		dmfi 9238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
6	5	anim1i 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
7	6	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
8		hashssdif 14365	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵)))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵)) = ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵)))
10	9	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))))
11		ssfi 9100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
12	11	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → 𝐵 ∈ Fin))
13		hashcl 14309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
15	12, 14	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ))
16	5, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ))
17	16	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
18		hashcl 14309	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
19	5, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 12491	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ)
22	17, 21	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
23	22	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ))
24		pncan3 11392	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘dom 𝐴) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))) = (♯‘dom 𝐴))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + ((♯‘dom 𝐴) − (♯‘𝐵))) = (♯‘dom 𝐴))
26	10, 25	eqtr2d 2773	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom 𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))
27		hashres 14391	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘𝐵))
28	27	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)))
29	28	oveq1d 7375	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))) = ((♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))
30	4, 26, 29	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) + (♯‘(dom 𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem1  29629