Theorem psgnprfval 19044

Description: The permutation sign function for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑤   𝐺,𝑠,𝑤   𝑁,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝑋,𝑠,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤,𝑠)

Proof of Theorem psgnprfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		elpri 4580	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
3		prfi 9019	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin
4		eleq1 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin))
5	3, 4	mpbiri 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
6		prfi 9019	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin
7		eleq1 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin))
8	6, 7	mpbiri 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
9	5, 8	jaoi 853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → 𝑋 ∈ Fin)
10		diffi 8979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
12		dmfi 9027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ I ) ∈ Fin → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
13	2, 11, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
14		1ex 10902	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15		2nn 11976	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
16		psgnprfval.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
17		psgnprfval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
18		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
19	16, 17, 18	symg2bas 18915	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
20	14, 15, 19	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
21	13, 20	eleq2s 2857	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
22		psgnprfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
23	16, 22, 17	psgneldm 19026	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin))
24	1, 21, 23	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ dom 𝑁)
25		psgnprfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
26	16, 25, 22	psgnval 19030	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
27	24, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
28	1, 27	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  {cpr 4560  ⟨cop 4564   I cid 5479  dom cdm 5580  ran crn 5581  ℩cio 6374  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  1c1 10803  -cneg 11136  ℕcn 11903  2c2 11958  ↑cexp 13710  ♯chash 13972  Word cword 14145  Basecbs 16840   Σ_g cgsu 17068  SymGrpcsymg 18889  pmTrspcpmtr 18964  pmSgncpsgn 19012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-word 14146  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423  df-symg 18890  df-psgn 19014

This theorem is referenced by: (None)