Theorem psgnprfval 19458

Description: The permutation sign function for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑤   𝐺,𝑠,𝑤   𝑁,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝑋,𝑠,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤,𝑠)

Proof of Theorem psgnprfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		elpri 4616	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
3		prfi 9281	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin
4		eleq1 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin))
5	3, 4	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
6		prfi 9281	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin
7		eleq1 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
9	5, 8	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → 𝑋 ∈ Fin)
10		diffi 9145	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
11		dmfi 9293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ I ) ∈ Fin → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
12	2, 9, 10, 11	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
13		1ex 11177	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
14		2nn 12266	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
15		psgnprfval.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
16		psgnprfval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
18	15, 16, 17	symg2bas 19330	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
19	13, 14, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
20	12, 19	eleq2s 2847	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
21		psgnprfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
22	15, 21, 16	psgneldm 19440	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin))
23	1, 20, 22	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ dom 𝑁)
24		psgnprfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
25	15, 24, 21	psgnval 19444	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
26	23, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
27	1, 26	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914  {cpr 4594  ⟨cop 4598   I cid 5535  dom cdm 5641  ran crn 5642  ℩cio 6465  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  1c1 11076  -cneg 11413  ℕcn 12193  2c2 12248  ↑cexp 14033  ♯chash 14302  Word cword 14485  Basecbs 17186   Σ_g cgsu 17410  SymGrpcsymg 19306  pmTrspcpmtr 19378  pmSgncpsgn 19426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-word 14486  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-efmnd 18803  df-symg 19307  df-psgn 19428

This theorem is referenced by: (None)