MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnprfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnprfval 19478
Description: The permutation sign function for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnprfval.0 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnprfval (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑤   𝐺,𝑠,𝑤   𝑁,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝑋,𝑠,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤,𝑠)

Proof of Theorem psgnprfval
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
2 elpri 4647 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
3 prfi 9344 . . . . . . . . 9 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin
4 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin))
53, 4mpbiri 257 . . . . . . . 8 (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
6 prfi 9344 . . . . . . . . 9 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin
7 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin))
86, 7mpbiri 257 . . . . . . . 8 (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
95, 8jaoi 855 . . . . . . 7 ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → 𝑋 ∈ Fin)
10 diffi 9200 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
12 dmfi 9352 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ I ) ∈ Fin → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
132, 11, 123syl 18 . . . . 5 (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
14 1ex 11238 . . . . . 6 1 ∈ V
15 2nn 12313 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
16 psgnprfval.g . . . . . . 7 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
17 psgnprfval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
18 psgnprfval.0 . . . . . . 7 𝐷 = {1, 2}
1916, 17, 18symg2bas 19349 . . . . . 6 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
2014, 15, 19mp2an 690 . . . . 5 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
2113, 20eleq2s 2843 . . . 4 (𝑋𝐵 → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
22 psgnprfval.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
2316, 22, 17psgneldm 19460 . . . 4 (𝑋 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑋𝐵 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin))
241, 21, 23sylanbrc 581 . . 3 (𝑋𝐵𝑋 ∈ dom 𝑁)
25 psgnprfval.t . . . 4 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2616, 25, 22psgnval 19464 . . 3 (𝑋 ∈ dom 𝑁 → (𝑁𝑋) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
2724, 26syl 17 . 2 (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
281, 27syl 17 1 (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3060  Vcvv 3463  cdif 3937  {cpr 4626  cop 4630   I cid 5569  dom cdm 5672  ran crn 5673  cio 6492  cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  1c1 11137  -cneg 11473  cn 12240  2c2 12295  cexp 14056  chash 14319  Word cword 14494  Basecbs 17177   Σg cgsu 17419  SymGrpcsymg 19323  pmTrspcpmtr 19398  pmSgncpsgn 19446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-word 14495  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-tset 17249  df-efmnd 18823  df-symg 19324  df-psgn 19448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator