MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnprfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnprfval 18760
Description: The permutation sign function for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnprfval.0 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnprfval (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑤   𝐺,𝑠,𝑤   𝑁,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝑋,𝑠,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤,𝑠)

Proof of Theorem psgnprfval
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
2 elpri 4535 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
3 prfi 8860 . . . . . . . . 9 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin
4 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin))
53, 4mpbiri 261 . . . . . . . 8 (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
6 prfi 8860 . . . . . . . . 9 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin
7 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin))
86, 7mpbiri 261 . . . . . . . 8 (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
95, 8jaoi 856 . . . . . . 7 ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → 𝑋 ∈ Fin)
10 diffi 8820 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
12 dmfi 8868 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ I ) ∈ Fin → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
132, 11, 123syl 18 . . . . 5 (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
14 1ex 10708 . . . . . 6 1 ∈ V
15 2nn 11782 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
16 psgnprfval.g . . . . . . 7 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
17 psgnprfval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
18 psgnprfval.0 . . . . . . 7 𝐷 = {1, 2}
1916, 17, 18symg2bas 18632 . . . . . 6 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
2014, 15, 19mp2an 692 . . . . 5 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
2113, 20eleq2s 2851 . . . 4 (𝑋𝐵 → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
22 psgnprfval.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
2316, 22, 17psgneldm 18742 . . . 4 (𝑋 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑋𝐵 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin))
241, 21, 23sylanbrc 586 . . 3 (𝑋𝐵𝑋 ∈ dom 𝑁)
25 psgnprfval.t . . . 4 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2616, 25, 22psgnval 18746 . . 3 (𝑋 ∈ dom 𝑁 → (𝑁𝑋) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
2724, 26syl 17 . 2 (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
281, 27syl 17 1 (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2113  wrex 3054  Vcvv 3397  cdif 3838  {cpr 4515  cop 4519   I cid 5424  dom cdm 5519  ran crn 5520  cio 6289  cfv 6333  (class class class)co 7164  Fincfn 8548  1c1 10609  -cneg 10942  cn 11709  2c2 11764  cexp 13514  chash 13775  Word cword 13948  Basecbs 16579   Σg cgsu 16810  SymGrpcsymg 18606  pmTrspcpmtr 18680  pmSgncpsgn 18728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-word 13949  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-tset 16680  df-efmnd 18143  df-symg 18607  df-psgn 18730
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator