Theorem psgnprfval 19496

Description: The permutation sign function for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑤   𝐺,𝑠,𝑤   𝑁,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝑋,𝑠,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤,𝑠)

Proof of Theorem psgnprfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		elpri 4591	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
3		prfi 9234	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin
4		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin))
5	3, 4	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
6		prfi 9234	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin
7		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
9	5, 8	jaoi 858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → 𝑋 ∈ Fin)
10		diffi 9109	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
11		dmfi 9245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ I ) ∈ Fin → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
12	2, 9, 10, 11	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
13		1ex 11140	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
14		2nn 12254	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
15		psgnprfval.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
16		psgnprfval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
18	15, 16, 17	symg2bas 19368	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
19	13, 14, 18	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
20	12, 19	eleq2s 2854	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
21		psgnprfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
22	15, 21, 16	psgneldm 19478	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin))
23	1, 20, 22	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ dom 𝑁)
24		psgnprfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
25	15, 24, 21	psgnval 19482	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
26	23, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
27	1, 26	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886  {cpr 4569  ⟨cop 4573   I cid 5525  dom cdm 5631  ran crn 5632  ℩cio 6452  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  1c1 11039  -cneg 11378  ℕcn 12174  2c2 12236  ↑cexp 14023  ♯chash 14292  Word cword 14475  Basecbs 17179   Σ_g cgsu 17403  SymGrpcsymg 19344  pmTrspcpmtr 19416  pmSgncpsgn 19464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-word 14476  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-efmnd 18837  df-symg 19345  df-psgn 19466

This theorem is referenced by: (None)