Theorem psgnprfval 19507

Description: The permutation sign function for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑤   𝐺,𝑠,𝑤   𝑁,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝑋,𝑠,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤,𝑠)

Proof of Theorem psgnprfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		elpri 4630	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
3		prfi 9340	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin
4		eleq1 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin))
5	3, 4	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
6		prfi 9340	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin
7		eleq1 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
9	5, 8	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → 𝑋 ∈ Fin)
10		diffi 9194	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
11		dmfi 9352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ I ) ∈ Fin → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
12	2, 9, 10, 11	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
13		1ex 11236	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
14		2nn 12318	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
15		psgnprfval.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
16		psgnprfval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
18	15, 16, 17	symg2bas 19379	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
19	13, 14, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
20	12, 19	eleq2s 2853	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
21		psgnprfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
22	15, 21, 16	psgneldm 19489	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin))
23	1, 20, 22	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ dom 𝑁)
24		psgnprfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
25	15, 24, 21	psgnval 19493	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
26	23, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
27	1, 26	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928  {cpr 4608  ⟨cop 4612   I cid 5552  dom cdm 5659  ran crn 5660  ℩cio 6487  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  1c1 11135  -cneg 11472  ℕcn 12245  2c2 12300  ↑cexp 14084  ♯chash 14353  Word cword 14536  Basecbs 17233   Σ_g cgsu 17459  SymGrpcsymg 19355  pmTrspcpmtr 19427  pmSgncpsgn 19475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-word 14537  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-tset 17295  df-efmnd 18852  df-symg 19356  df-psgn 19477

This theorem is referenced by: (None)