Theorem psgnprfval 18651

Description: The permutation sign function for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑤   𝐺,𝑠,𝑤   𝑁,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝑋,𝑠,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤,𝑠)

Proof of Theorem psgnprfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		elpri 4591	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
3		prfi 8795	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin
4		eleq1 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin))
5	3, 4	mpbiri 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
6		prfi 8795	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin
7		eleq1 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin))
8	6, 7	mpbiri 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
9	5, 8	jaoi 853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → 𝑋 ∈ Fin)
10		diffi 8752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
12		dmfi 8804	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∖ I ) ∈ Fin → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
13	2, 11, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
14		1ex 10639	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15		2nn 11713	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
16		psgnprfval.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
17		psgnprfval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
18		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
19	16, 17, 18	symg2bas 18523	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
20	14, 15, 19	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
21	13, 20	eleq2s 2933	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
22		psgnprfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
23	16, 22, 17	psgneldm 18633	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin))
24	1, 21, 23	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ dom 𝑁)
25		psgnprfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
26	16, 25, 22	psgnval 18637	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
27	24, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
28	1, 27	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935  {cpr 4571  ⟨cop 4575   I cid 5461  dom cdm 5557  ran crn 5558  ℩cio 6314  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  1c1 10540  -cneg 10873  ℕcn 11640  2c2 11695  ↑cexp 13432  ♯chash 13693  Word cword 13864  Basecbs 16485   Σ_g cgsu 16716  SymGrpcsymg 18497  pmTrspcpmtr 18571  pmSgncpsgn 18619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-word 13865  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-tset 16586  df-efmnd 18036  df-symg 18498  df-psgn 18621

This theorem is referenced by: (None)