Theorem ipodrsfi 17560

Description: Finite upper bound property for directed collections of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ipodrsfi	⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑋

Proof of Theorem ipodrsfi

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1128	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
2		ipodrscl 17559	. . . . . 6 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
3		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
4	3	ipobas 17552	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
6	5	3ad2ant1 1124	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
7	1, 6	sseqtrd 3860	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ⊆ (Base‘(toInc‘𝐴)))
8		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
9		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
10	8, 9	drsdirfi 17335	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(toInc‘𝐴)) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)
11	7, 10	syld3an2 1480	. 2 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)
12	6	rexeqdv 3341	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))
13	2	3ad2ant1 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
14	13	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ V)
15	1	sselda 3821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
16	15	adantrl 706	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
17		simprl 761	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
18	3, 9	ipole 17555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1439	. . . . . . 7 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
20	19	anassrs 461	. . . . . 6 ⊢ (((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
21	20	ralbidva 3167	. . . . 5 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤 ⊆ 𝑧))
22		unissb 4706	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤 ⊆ 𝑧)
23	21, 22	syl6bbr 281	. . . 4 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
24	23	rexbidva 3234	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
25	12, 24	bitr3d 273	. 2 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
26	11, 25	mpbid 224	1 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792  ∪ cuni 4673   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  Fincfn 8243  Basecbs 16266  lecple 16356  Dirsetcdrs 17324  toInccipo 17548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ocomp 16370  df-proset 17325  df-drs 17326  df-poset 17343  df-ipo 17549

This theorem is referenced by:  isacs3lem  17563  isnacs3  38247