Theorem ipodrsfi 18713

Description: Finite upper bound property for directed collections of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ipodrsfi	⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑋

Proof of Theorem ipodrsfi

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
2		ipodrscl 18712	. . . . . 6 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
3		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
4	3	ipobas 18705	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
6	5	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
7	1, 6	sseqtrd 3944	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ⊆ (Base‘(toInc‘𝐴)))
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
10	8, 9	drsdirfi 18479	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(toInc‘𝐴)) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)
11	7, 10	syld3an2 1438	. 2 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)
12	6	rexeqdv 3320	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))
13	2	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ V)
15	1	sselda 3908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
16	15	adantrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
17		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
18	3, 9	ipole 18708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
20	19	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ (((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
21	20	ralbidva 3183	. . . . 5 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤 ⊆ 𝑧))
22		unissb 4900	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤 ⊆ 𝑧)
23	21, 22	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
24	23	rexbidva 3184	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
25	12, 24	bitr3d 284	. 2 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
26	11, 25	mpbid 235	1 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  Fincfn 8973  Basecbs 17387  lecple 17435  Dirsetcdrs 18467  toInccipo 18701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ocomp 17449  df-proset 18468  df-drs 18469  df-poset 18487  df-ipo 18702

This theorem is used by:  isacs3lem  18716  isnacs3  43721