Theorem ipodrsfi 18474

Description: Finite upper bound property for directed collections of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ipodrsfi	⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑋

Proof of Theorem ipodrsfi

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1138	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
2		ipodrscl 18473	. . . . . 6 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
4	3	ipobas 18466	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
6	5	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
7	1, 6	sseqtrd 3972	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ⊆ (Base‘(toInc‘𝐴)))
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
10	8, 9	drsdirfi 18240	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(toInc‘𝐴)) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)
11	7, 10	syld3an2 1414	. 2 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)
12	6	rexeqdv 3299	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))
13	2	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ V)
15	1	sselda 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
16	15	adantrl 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
17		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
18	3, 9	ipole 18469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
20	19	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ (((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
21	20	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤 ⊆ 𝑧))
22		unissb 4898	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤 ⊆ 𝑧)
23	21, 22	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
24	23	rexbidva 3160	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
25	12, 24	bitr3d 281	. 2 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
26	11, 25	mpbid 232	1 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  Fincfn 8895  Basecbs 17148  lecple 17196  Dirsetcdrs 18228  toInccipo 18462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ocomp 17210  df-proset 18229  df-drs 18230  df-poset 18248  df-ipo 18463

This theorem is referenced by:  isacs3lem  18477  isnacs3  43067