MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipodrsfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipodrsfi 17771
Description: Finite upper bound property for directed collections of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ipodrsfi (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧𝐴 𝑋𝑧)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑋

Proof of Theorem ipodrsfi
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . 4 (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → 𝑋𝐴)
2 ipodrscl 17770 . . . . . 6 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
3 eqid 2824 . . . . . . 7 (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
43ipobas 17763 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
52, 4syl 17 . . . . 5 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
653ad2ant1 1130 . . . 4 (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
71, 6sseqtrd 3993 . . 3 (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ⊆ (Base‘(toInc‘𝐴)))
8 eqid 2824 . . . 4 (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
9 eqid 2824 . . . 4 (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
108, 9drsdirfi 17546 . . 3 (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(toInc‘𝐴)) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)
117, 10syld3an2 1408 . 2 (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)
126rexeqdv 3404 . . 3 (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧𝐴𝑤𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))
1323ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
1413adantr 484 . . . . . . . 8 ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝑋)) → 𝐴 ∈ V)
151sselda 3953 . . . . . . . . 9 ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑤𝐴)
1615adantrl 715 . . . . . . . 8 ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝑋)) → 𝑤𝐴)
17 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝑋)) → 𝑧𝐴)
183, 9ipole 17766 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑤𝐴𝑧𝐴) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑤𝑧))
1914, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝑋)) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑤𝑧))
2019anassrs 471 . . . . . 6 (((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑤𝑧))
2120ralbidva 3191 . . . . 5 ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝐴) → (∀𝑤𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∀𝑤𝑋 𝑤𝑧))
22 unissb 4857 . . . . 5 ( 𝑋𝑧 ↔ ∀𝑤𝑋 𝑤𝑧)
2321, 22syl6bbr 292 . . . 4 ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝐴) → (∀𝑤𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 𝑋𝑧))
2423rexbidva 3289 . . 3 (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧𝐴𝑤𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑋𝑧))
2512, 24bitr3d 284 . 2 (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑋𝑧))
2611, 25mpbid 235 1 (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧𝐴 𝑋𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  Vcvv 3480  wss 3919   cuni 4825   class class class wbr 5053  cfv 6344  Fincfn 8501  Basecbs 16481  lecple 16570  Dirsetcdrs 17535  toInccipo 17759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ocomp 16584  df-proset 17536  df-drs 17537  df-poset 17554  df-ipo 17760
This theorem is referenced by:  isacs3lem  17774  isnacs3  39507
  Copyright terms: Public domain W3C validator