Theorem ipodrsfi 18497

Description: Finite upper bound property for directed collections of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ipodrsfi	⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑋

Proof of Theorem ipodrsfi

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1136	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
2		ipodrscl 18496	. . . . . 6 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
3		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
4	3	ipobas 18489	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
6	5	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
7	1, 6	sseqtrd 4022	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ⊆ (Base‘(toInc‘𝐴)))
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
10	8, 9	drsdirfi 18263	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(toInc‘𝐴)) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)
11	7, 10	syld3an2 1410	. 2 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)
12	6	rexeqdv 3325	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))
13	2	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ V)
15	1	sselda 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
16	15	adantrl 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
17		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
18	3, 9	ipole 18492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
20	19	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ (((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
21	20	ralbidva 3174	. . . . 5 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤 ⊆ 𝑧))
22		unissb 4943	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤 ⊆ 𝑧)
23	21, 22	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
24	23	rexbidva 3175	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
25	12, 24	bitr3d 281	. 2 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
26	11, 25	mpbid 231	1 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  Fincfn 8943  Basecbs 17149  lecple 17209  Dirsetcdrs 18252  toInccipo 18485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ocomp 17223  df-proset 18253  df-drs 18254  df-poset 18271  df-ipo 18486

This theorem is referenced by:  isacs3lem  18500  isnacs3  41751