Theorem ipodrsfi 18559

Description: Finite upper bound property for directed collections of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ipodrsfi	⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑋

Proof of Theorem ipodrsfi

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1134	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
2		ipodrscl 18558	. . . . . 6 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
3		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
4	3	ipobas 18551	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
6	5	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
7	1, 6	sseqtrd 4019	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ⊆ (Base‘(toInc‘𝐴)))
8		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
9		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
10	8, 9	drsdirfi 18325	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(toInc‘𝐴)) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)
11	7, 10	syld3an2 1408	. 2 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)
12	6	rexeqdv 3316	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))
13	2	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
14	13	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ V)
15	1	sselda 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝐴)
16	15	adantrl 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
17		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
18	3, 9	ipole 18554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
20	19	anassrs 466	. . . . . 6 ⊢ (((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑤 ⊆ 𝑧))
21	20	ralbidva 3166	. . . . 5 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤 ⊆ 𝑧))
22		unissb 4939	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤 ⊆ 𝑧)
23	21, 22	bitr4di 288	. . . 4 ⊢ ((((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
24	23	rexbidva 3167	. . 3 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
25	12, 24	bitr3d 280	. 2 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑤 ∈ 𝑋 𝑤(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧))
26	11, 25	mpbid 231	1 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑋 ⊆ 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3462   ⊆ wss 3946  ∪ cuni 4905   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  Fincfn 8966  Basecbs 17208  lecple 17268  Dirsetcdrs 18314  toInccipo 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-fz 13533  df-struct 17144  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ocomp 17282  df-proset 18315  df-drs 18316  df-poset 18333  df-ipo 18548

This theorem is referenced by:  isacs3lem  18562  isnacs3  42404