Theorem elfzr 13771

Description: A member of a finite interval of integers is either a member of the corresponding half-open integer range or the upper bound of the interval. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfzr	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁))

Proof of Theorem elfzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 13532	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fzisfzounsn 13770	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
3	2	eleq2d 2815	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁})))
4		elun 4144	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∨ 𝐾 ∈ {𝑁}))
5		elsni 4641	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑁} → 𝐾 = 𝑁)
6	5	orim2i 909	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∨ 𝐾 ∈ {𝑁}) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁))
7	4, 6	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁))
8	3, 7	biimtrdi 252	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
9	1, 8	mpcom 38	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3943  {csn 4624  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℤ_≥cuz 12846  ...cfz 13510  ..^cfzo 13653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654

This theorem is referenced by:  elfzlmr  13772  cycpmco2lem4  32844  cycpmco2  32848