Theorem wrdsplex 32909

Description: Existence of a split of a word at a given index. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdsplex	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑆   𝑣,𝑊

Proof of Theorem wrdsplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 14548	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3		elfzuz2 13424	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
4		eluzfz2 13427	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6		ccatpfx 14603	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
7	5, 6	mpd3an3 1464	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
8		pfxres 14582	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 ↾ (0..^𝑁)))
9	8	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
10		pfxid 14587	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
12	7, 9, 11	3eqtr3rd 2775	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
13		oveq2 7349	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) → ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
14	13	rspceeqv 3595	. 2 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
15	1, 12, 14	syl2an2r 685	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  ⟨cop 4577   ↾ cres 5613  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001  ℤ_≥cuz 12727  ...cfz 13402  ..^cfzo 13549  ♯chash 14232  Word cword 14415   ++ cconcat 14472   substr csubstr 14543   prefix cpfx 14573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-hash 14233  df-word 14416  df-concat 14473  df-substr 14544  df-pfx 14574

This theorem is referenced by:  signstres  34580