Theorem wrdsplex 32896

Description: Existence of a split of a word at a given index. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdsplex	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑆   𝑣,𝑊

Proof of Theorem wrdsplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 14571	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3		elfzuz2 13451	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
4		eluzfz2 13454	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6		ccatpfx 14626	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
7	5, 6	mpd3an3 1464	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
8		pfxres 14605	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 ↾ (0..^𝑁)))
9	8	oveq1d 7368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
10		pfxid 14610	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
12	7, 9, 11	3eqtr3rd 2773	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
13		oveq2 7361	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) → ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
14	13	rspceeqv 3602	. 2 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
15	1, 12, 14	syl2an2r 685	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ⟨cop 4585   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  ℤ_≥cuz 12754  ...cfz 13429  ..^cfzo 13576  ♯chash 14256  Word cword 14439   ++ cconcat 14496   substr csubstr 14566   prefix cpfx 14596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-hash 14257  df-word 14440  df-concat 14497  df-substr 14567  df-pfx 14597

This theorem is referenced by:  signstres  34562