Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wrdsplex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdsplex 31153
 Description: Existence of a split of a word at a given index. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Assertion
Ref Expression
wrdsplex ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑆   𝑣,𝑊

Proof of Theorem wrdsplex
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13705 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆)
2 simpr 479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3 elfzuz2 12639 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
4 eluzfz2 12642 . . . . 5 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
52, 3, 43syl 18 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6 ccatpfx 13780 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
75, 6mpd3an3 1590 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
8 pfxres 13758 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 ↾ (0..^𝑁)))
98oveq1d 6920 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
10 pfxid 13763 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
1110adantr 474 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
127, 9, 113eqtr3rd 2870 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
13 oveq2 6913 . . 3 (𝑣 = (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) → ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
1413rspceeqv 3544 . 2 (((𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
151, 12, 14syl2an2r 675 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∃wrex 3118  ⟨cop 4403   ↾ cres 5344  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252  ℤ≥cuz 11968  ...cfz 12619  ..^cfzo 12760  ♯chash 13410  Word cword 13574   ++ cconcat 13630   substr csubstr 13700   prefix cpfx 13749 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-concat 13631  df-substr 13701  df-pfx 13750 This theorem is referenced by:  signstres  31189
 Copyright terms: Public domain W3C validator