Theorem wrdsplex 33302

Description: Existence of a split of a word at a given index. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdsplex	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑆   𝑣,𝑊

Proof of Theorem wrdsplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 14699	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆)
2		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3		elfzuz2 13569	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
4		eluzfz2 13572	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6		ccatpfx 14756	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
7	5, 6	mpd3an3 1491	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
8		pfxres 14735	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 ↾ (0..^𝑁)))
9	8	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
10		pfxid 14740	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
12	7, 9, 11	3eqtr3rd 2809	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
13		oveq2 7424	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) → ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
14	13	rspceeqv 3606	. 2 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
15	1, 12, 14	syl2an2r 698	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  ⟨cop 4597   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  ℤ_≥cuz 12874  ...cfz 13547  ..^cfzo 13695  ♯chash 14380  Word cword 14564   ++ cconcat 14621   substr csubstr 14694   prefix cpfx 14726

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-hash 14381  df-word 14565  df-concat 14622  df-substr 14695  df-pfx 14727

This theorem is used by:  signstres  35003