Theorem wrdsplex 33599

Description: Existence of a split of a word at a given index. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdsplex	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑁   𝑣,𝑆   𝑣,𝑊

Proof of Theorem wrdsplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 14835	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆)
2		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3		elfzuz2 13702	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
4		eluzfz2 13705	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6		ccatpfx 14892	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
7	5, 6	mpd3an3 1492	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
8		pfxres 14871	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 ↾ (0..^𝑁)))
9	8	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝑁) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
10		pfxid 14876	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
12	7, 9, 11	3eqtr3rd 2807	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
13		oveq2 7459	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) → ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣) = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩)))
14	13	rspceeqv 3602	. 2 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ (𝑊 substr ⟨𝑁, (♯‘𝑊)⟩))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))
15	1, 12, 14	syl2an2r 698	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∃𝑣 ∈ Word 𝑆𝑊 = ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑣))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ⟨cop 4840   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515  Word cword 14699   ++ cconcat 14756   substr csubstr 14830   prefix cpfx 14862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-substr 14831  df-pfx 14863

This theorem is used by:  signstres  35315