Theorem ppinprm 26301

Description: The prime-counting function π at a non-prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppinprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (π‘𝐴))

Proof of Theorem ppinprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
2	1	elin2d 4133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ℙ)
3		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
4		nelne2 3042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
6		velsn 4577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 = (𝐴 + 1))
7	6	necon3bbii 2991	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
8	5, 7	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)})
9	1	elin1d 4132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)))
10		2z 12352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		zcn 12324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		pncan 11227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
15	12, 13, 14	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
16		elfzuz2 13261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
17		uz2m1nn 12663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
18	9, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
19	15, 18	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℕ)
20		nnuz 12621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21		2m1e1 12099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 − 1) = 1
22	21	fveq2i 6777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
23	20, 22	eqtr4i 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
24	19, 23	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
25		fzsuc2 13314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
26	10, 24, 25	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
27	9, 26	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
28		elun 4083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ↔ (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
29	27, 28	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
30	29	ord 861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (¬ 𝑥 ∈ (2...𝐴) → 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
31	8, 30	mt3d 148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...𝐴))
32	31, 2	elind 4128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
33	32	expr 457	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)))
34	33	ssrdv 3927	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
35		uzid 12597	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
36	35	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
37		peano2uz 12641	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
38		fzss2 13296	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)))
39		ssrin 4167	. . . . 5 ⊢ ((2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
40	36, 37, 38, 39	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
41	34, 40	eqssd 3938	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
42	41	fveq2d 6778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
43		peano2z 12361	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
44	43	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
45		ppival2 26277	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
46	44, 45	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
47		ppival2 26277	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (π‘𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
48	47	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
49	42, 46, 48	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (π‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ♯chash 14044  ℙcprime 16376  πcppi 26243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-ppi 26249

This theorem is referenced by:  ppip1le  26310  ppi2i  26318  bposlem5  26436