Theorem ppinprm 26996

Description: The prime-counting function π at a non-prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppinprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (π‘𝐴))

Proof of Theorem ppinprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
2	1	elin2d 4199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ℙ)
3		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
4		nelne2 3039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
6		velsn 4644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 = (𝐴 + 1))
7	6	necon3bbii 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
8	5, 7	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)})
9	1	elin1d 4198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)))
10		2z 12601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		zcn 12570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		ax-1cn 11174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		pncan 11473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
15	12, 13, 14	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
16		elfzuz2 13513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
17		uz2m1nn 12914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
18	9, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
19	15, 18	eqeltrrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℕ)
20		nnuz 12872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21		2m1e1 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 − 1) = 1
22	21	fveq2i 6894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
23	20, 22	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
24	19, 23	eleqtrdi 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
25		fzsuc2 13566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
26	10, 24, 25	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
27	9, 26	eleqtrd 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
28		elun 4148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ↔ (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
29	27, 28	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
30	29	ord 861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (¬ 𝑥 ∈ (2...𝐴) → 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
31	8, 30	mt3d 148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...𝐴))
32	31, 2	elind 4194	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
33	32	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)))
34	33	ssrdv 3988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
35		uzid 12844	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
37		peano2uz 12892	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
38		fzss2 13548	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)))
39		ssrin 4233	. . . . 5 ⊢ ((2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
40	36, 37, 38, 39	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
41	34, 40	eqssd 3999	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
42	41	fveq2d 6895	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
43		peano2z 12610	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
44	43	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
45		ppival2 26972	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
46	44, 45	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (♯‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
47		ppival2 26972	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (π‘𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
48	47	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘𝐴) = (♯‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
49	42, 46, 48	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (π‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  1c1 11117   + caddc 11119   − cmin 11451  ℕcn 12219  2c2 12274  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13491  ♯chash 14297  ℙcprime 16615  πcppi 26938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205  df-prm 16616  df-ppi 26944

This theorem is referenced by:  ppip1le  27005  ppi2i  27013  bposlem5  27133