MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzom1elp1fzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzom1elp1fzo 13731
Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1elp1fzo ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzofz 13680 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
2 elfzuz2 13538 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
3 elnn0uz 12897 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
4 zcn 12593 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
54anim1i 614 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
6 elnnnn0 12545 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
75, 6sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
87expcom 413 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
93, 8sylbir 234 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
101, 2, 93syl 18 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
1110impcom 407 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 1nn0 12518 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
14 nnnn0 12509 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15 nnge1 12270 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
1613, 14, 153jca 1126 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
1711, 16syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
18 elfz2nn0 13624 . . . 4 (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
1917, 18sylibr 233 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ (0...𝑁))
20 fzossrbm1 13693 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
22 fzossfz 13683 . . . . . 6 (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
2321, 22sstrdi 3992 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
24 simpr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
2523, 24jca 511 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
26 ssel2 3975 . . . 4 (((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
27 elfzubelfz 13545 . . . 4 (𝐼 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
2825, 26, 273syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
2919, 28jca 511 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (1 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)))
30 elfzodifsumelfzo 13730 . 2 ((1 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
3129, 24, 30sylc 65 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085  wcel 2099  wss 3947   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  cle 11279  cmin 11474  cn 12242  0cn0 12502  cz 12588  cuz 12852  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660
This theorem is referenced by:  elfzom1p1elfzo  13744  clwwlkccatlem  29798  clwlkclwwlk  29811  clwwlkinwwlk  29849  clwwlkf  29856  clwwlkwwlksb  29863  cycpmco2lem7  32853
  Copyright terms: Public domain W3C validator