Theorem elfzom1elp1fzo 13454

Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1elp1fzo	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzofz 13403	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
2		elfzuz2 13261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
3		elnn0uz 12623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
4		zcn 12324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	anim1i 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
6		elnnnn0 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
7	5, 6	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
9	3, 8	sylbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
10	1, 2, 9	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
11	10	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		1nn0 12249	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
14		nnnn0 12240	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		nnge1 12001	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
16	13, 14, 15	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
17	11, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
18		elfz2nn0 13347	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
19	17, 18	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ (0...𝑁))
20		fzossrbm1 13416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
22		fzossfz 13406	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
23	21, 22	sstrdi 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
24		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
25	23, 24	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
26		ssel2 3916	. . . 4 ⊢ (((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
27		elfzubelfz 13268	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
28	25, 26, 27	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
29	19, 28	jca 512	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (1 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)))
30		elfzodifsumelfzo 13453	. 2 ⊢ ((1 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
31	29, 24, 30	sylc 65	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383

This theorem is referenced by:  elfzom1p1elfzo  13467  clwwlkccatlem  28353  clwlkclwwlk  28366  clwwlkinwwlk  28404  clwwlkf  28411  clwwlkwwlksb  28418  cycpmco2lem7  31399