Theorem spllen 14719

Description: The length of a splice. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
spllen.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
spllen	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))))

Proof of Theorem spllen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spllen.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		spllen.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		spllen.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		spllen.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14716	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7	6	fveq2d 6862	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
8		pfxcl 14642	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
10		ccatcl 14539	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
11	9, 4, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12		swrdcl 14610	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
13	1, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14		ccatlen 14540	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴) → (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
15	11, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
16		lencl 14498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12505	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
18	4, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
19		elfzelz 13485	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 12639	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℂ)
21	2, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
22	18, 21	addcld 11193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑅) + 𝐹) ∈ ℂ)
23		elfzel2 13483	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12639	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
25	3, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
26		elfzelz 13485	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12639	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℂ)
28	3, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
29	22, 25, 28	addsub12d 11556	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑅) + 𝐹) + ((♯‘𝑆) − 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
30		ccatlen 14540	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
31	9, 4, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
32		elfzuz 13481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
33	2, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
34		elfzuz3 13482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
35	3, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
36		elfzuz3 13482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
37	2, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
38		uztrn 12811	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
39	35, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
40		elfzuzb 13479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹)))
41	33, 39, 40	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
42		pfxlen 14648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
43	1, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
44	43	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
45	21, 18	addcomd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
46	31, 44, 45	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
47		elfzuz2 13490	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
48		eluzfz2 13493	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
49	3, 47, 48	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
50		swrdlen 14612	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
51	1, 3, 49, 50	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
52	46, 51	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((♯‘𝑅) + 𝐹) + ((♯‘𝑆) − 𝑇)))
53	18, 28, 21	subsub3d 11563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹)) = (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇))
54	53	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))) = ((♯‘𝑆) + (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
55	29, 52, 54	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))))
56	7, 15, 55	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4595  ⟨cotp 4597  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   + caddc 11071   − cmin 11405  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535   substr csubstr 14605   prefix cpfx 14635   splice csplice 14714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-splice 14715

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19425  efgtlen  19656