Theorem spllen 14708

Description: The length of a splice. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
spllen.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
spllen	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))))

Proof of Theorem spllen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spllen.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		spllen.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		spllen.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		spllen.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14705	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7	6	fveq2d 6888	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
8		pfxcl 14631	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
10		ccatcl 14528	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
11	9, 4, 10	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12		swrdcl 14599	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
13	1, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14		ccatlen 14529	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴) → (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
15	11, 13, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
16		lencl 14487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12535	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
18	4, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
19		elfzelz 13504	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 12668	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℂ)
21	2, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
22	18, 21	addcld 11234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑅) + 𝐹) ∈ ℂ)
23		elfzel2 13502	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12668	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
25	3, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
26		elfzelz 13504	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12668	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℂ)
28	3, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
29	22, 25, 28	addsub12d 11595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑅) + 𝐹) + ((♯‘𝑆) − 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
30		ccatlen 14529	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
31	9, 4, 30	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
32		elfzuz 13500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
33	2, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
34		elfzuz3 13501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
35	3, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
36		elfzuz3 13501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
37	2, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
38		uztrn 12841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
39	35, 37, 38	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
40		elfzuzb 13498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹)))
41	33, 39, 40	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
42		pfxlen 14637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
43	1, 41, 42	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
44	43	oveq1d 7419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
45	21, 18	addcomd 11417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
46	31, 44, 45	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
47		elfzuz2 13509	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
48		eluzfz2 13512	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
49	3, 47, 48	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
50		swrdlen 14601	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
51	1, 3, 49, 50	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
52	46, 51	oveq12d 7422	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((♯‘𝑅) + 𝐹) + ((♯‘𝑆) − 𝑇)))
53	18, 28, 21	subsub3d 11602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹)) = (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇))
54	53	oveq2d 7420	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))) = ((♯‘𝑆) + (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
55	29, 52, 54	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))))
56	7, 15, 55	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4629  ⟨cotp 4631  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   − cmin 11445  ℤ_≥cuz 12823  ...cfz 13487  ♯chash 14293  Word cword 14468   ++ cconcat 14524   substr csubstr 14594   prefix cpfx 14624   splice csplice 14703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-concat 14525  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19413  efgtlen  19644