Theorem spllen 14792

Description: The length of a splice. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
spllen.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
spllen	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))))

Proof of Theorem spllen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spllen.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		spllen.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		spllen.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		spllen.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14789	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7	6	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
8		pfxcl 14715	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
10		ccatcl 14612	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
11	9, 4, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12		swrdcl 14683	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
13	1, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14		ccatlen 14613	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴) → (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
15	11, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
16		lencl 14571	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12589	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
18	4, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
19		elfzelz 13564	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 12723	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℂ)
21	2, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
22	18, 21	addcld 11280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑅) + 𝐹) ∈ ℂ)
23		elfzel2 13562	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12723	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
25	3, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
26		elfzelz 13564	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12723	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℂ)
28	3, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
29	22, 25, 28	addsub12d 11643	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑅) + 𝐹) + ((♯‘𝑆) − 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
30		ccatlen 14613	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
31	9, 4, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
32		elfzuz 13560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
33	2, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
34		elfzuz3 13561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
35	3, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
36		elfzuz3 13561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
37	2, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
38		uztrn 12896	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
39	35, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
40		elfzuzb 13558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹)))
41	33, 39, 40	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
42		pfxlen 14721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
43	1, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
44	43	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
45	21, 18	addcomd 11463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
46	31, 44, 45	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
47		elfzuz2 13569	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
48		eluzfz2 13572	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
49	3, 47, 48	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
50		swrdlen 14685	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
51	1, 3, 49, 50	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
52	46, 51	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((♯‘𝑅) + 𝐹) + ((♯‘𝑆) − 𝑇)))
53	18, 28, 21	subsub3d 11650	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹)) = (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇))
54	53	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))) = ((♯‘𝑆) + (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
55	29, 52, 54	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))))
56	7, 15, 55	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632  ⟨cotp 4634  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   − cmin 11492  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ♯chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608   substr csubstr 14678   prefix cpfx 14708   splice csplice 14787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19513  efgtlen  19744