MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spllen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spllen 13956
Description: The length of a splice. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
Assertion
Ref Expression
spllen (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹))))

Proof of Theorem spllen
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 13953 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1365 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
76fveq2d 6549 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
8 pfxcl 13879 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
10 ccatcl 13776 . . . 4 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
119, 4, 10syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12 swrdcl 13847 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
131, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14 ccatlen 13777 . . 3 ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴) → (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
1511, 13, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
16 lencl 13733 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
1817nn0cnd 11811 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
19 elfzelz 12762 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
202, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
2120zcnd 11942 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
2218, 21addcld 10513 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑅) + 𝐹) ∈ ℂ)
23 elfzel2 12760 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
243, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
2524zcnd 11942 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
26 elfzelz 12762 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℤ)
273, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
2827zcnd 11942 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2922, 25, 28addsub12d 10874 . . 3 (𝜑 → (((♯‘𝑅) + 𝐹) + ((♯‘𝑆) − 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
30 ccatlen 13777 . . . . . 6 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
319, 4, 30syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
32 elfzuz 12758 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ‘0))
332, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
34 elfzuz3 12759 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
353, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
36 elfzuz3 12759 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
372, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
38 uztrn 12114 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
3935, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
40 elfzuzb 12756 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
4133, 39, 40sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
42 pfxlen 13885 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
431, 41, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
4443oveq1d 7038 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
4521, 18addcomd 10695 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
4631, 44, 453eqtrd 2837 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
47 elfzuz2 12766 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
483, 47syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
49 eluzfz2 12769 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
5048, 49syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
51 swrdlen 13849 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
521, 3, 50, 51syl3anc 1364 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
5346, 52oveq12d 7041 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((♯‘𝑅) + 𝐹) + ((♯‘𝑆) − 𝑇)))
5418, 28, 21subsub3d 10881 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹)) = (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇))
5554oveq2d 7039 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹))) = ((♯‘𝑆) + (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
5629, 53, 553eqtr4d 2843 . 2 (𝜑 → ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹))))
577, 15, 563eqtrd 2837 1 (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1525  wcel 2083  cop 4484  cotp 4486  cfv 6232  (class class class)co 7023  0cc0 10390   + caddc 10393  cmin 10723  0cn0 11751  cz 11835  cuz 12097  ...cfz 12746  chash 13544  Word cword 13711   ++ cconcat 13772   substr csubstr 13842   prefix cpfx 13872   splice csplice 13951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-ot 4487  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-hash 13545  df-word 13712  df-concat 13773  df-substr 13843  df-pfx 13873  df-splice 13952
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18358  efgtlen  18583
  Copyright terms: Public domain W3C validator