MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spllen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spllen 14649
Description: The length of a splice. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
Assertion
Ref Expression
spllen (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹))))

Proof of Theorem spllen
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 14646 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
76fveq2d 6851 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
8 pfxcl 14572 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
10 ccatcl 14469 . . . 4 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
119, 4, 10syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12 swrdcl 14540 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
131, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14 ccatlen 14470 . . 3 ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴) → (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
1511, 13, 14syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (♯‘(((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
16 lencl 14428 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 12482 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
184, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
19 elfzelz 13448 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
2019zcnd 12615 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℂ)
212, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
2218, 21addcld 11181 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑅) + 𝐹) ∈ ℂ)
23 elfzel2 13446 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
2423zcnd 12615 . . . . 5 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
253, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
26 elfzelz 13448 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℤ)
2726zcnd 12615 . . . . 5 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℂ)
283, 27syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2922, 25, 28addsub12d 11542 . . 3 (𝜑 → (((♯‘𝑅) + 𝐹) + ((♯‘𝑆) − 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
30 ccatlen 14470 . . . . . 6 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
319, 4, 30syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
32 elfzuz 13444 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ‘0))
332, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
34 elfzuz3 13445 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
353, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
36 elfzuz3 13445 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
372, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
38 uztrn 12788 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
3935, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
40 elfzuzb 13442 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
4133, 39, 40sylanbrc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
42 pfxlen 14578 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
431, 41, 42syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
4443oveq1d 7377 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
4521, 18addcomd 11364 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
4631, 44, 453eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
47 elfzuz2 13453 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
48 eluzfz2 13456 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
493, 47, 483syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
50 swrdlen 14542 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
511, 3, 49, 50syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
5246, 51oveq12d 7380 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((♯‘𝑅) + 𝐹) + ((♯‘𝑆) − 𝑇)))
5318, 28, 21subsub3d 11549 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹)) = (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇))
5453oveq2d 7378 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹))) = ((♯‘𝑆) + (((♯‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
5529, 52, 543eqtr4d 2787 . 2 (𝜑 → ((♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) + (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹))))
567, 15, 553eqtrd 2781 1 (𝜑 → (♯‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑅) − (𝑇𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cop 4597  cotp 4599  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056  0cc0 11058   + caddc 11061  cmin 11392  cuz 12770  ...cfz 13431  chash 14237  Word cword 14409   ++ cconcat 14465   substr csubstr 14535   prefix cpfx 14565   splice csplice 14644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-splice 14645
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19284  efgtlen  19515
  Copyright terms: Public domain W3C validator