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Theorem bcm1k 13663
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝐾 decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 12900 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 nnuz 12269 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2eleqtrrdi 2921 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11943 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54faccld 13632 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
65nncnd 11642 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
7 fznn0sub 12927 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
8 nn0p1nn 11924 . . . . . . 7 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
109nncnd 11642 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℂ)
119nnnn0d 11943 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ0)
1211faccld 13632 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) ∈ ℕ)
13 elfznn 12924 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
14 nnm1nn0 11926 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
15 faccl 13631 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1712, 16nnmulcld 11678 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ)
18 nncn 11634 . . . . . . 7 (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ → ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
19 nnne0 11659 . . . . . . 7 (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ → ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0)
2018, 19jca 512 . . . . . 6 (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ → (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ ∧ ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0))
2117, 20syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ ∧ ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0))
2213nncnd 11642 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
2313nnne0d 11675 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
2422, 23jca 512 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))
25 divmuldiv 11328 . . . . 5 ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ ∧ ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
266, 10, 21, 24, 25syl22anc 834 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
27 elfzel2 12894 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2827zcnd 12076 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
29 1cnd 10624 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
3028, 22, 29subsubd 11013 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁𝐾) + 1))
3130fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
3231oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))))
3332oveq2d 7161 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))))
3430oveq1d 7160 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾))
3533, 34oveq12d 7163 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾)))
36 facp1 13626 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
377, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
3837eqcomd 2824 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
39 facnn2 13630 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
4013, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
4138, 40oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)) = ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
427faccld 13632 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
4342nncnd 11642 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
4413nnnn0d 11943 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4544faccld 13632 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
4645nncnd 11642 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
4743, 46, 10mul32d 10838 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)))
4812nncnd 11642 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) ∈ ℂ)
4916nncnd 11642 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
5048, 49, 22mulassd 10652 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾) = ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
5141, 47, 503eqtr4d 2863 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾))
5251oveq2d 7161 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
5326, 35, 523eqtr4d 2863 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1))))
546, 10mulcomd 10650 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((𝑁𝐾) + 1) · (!‘𝑁)))
5542, 45nnmulcld 11678 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
5655nncnd 11642 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
5756, 10mulcomd 10650 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((𝑁𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
5854, 57oveq12d 7163 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1))) = ((((𝑁𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
5955nnne0d 11675 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
609nnne0d 11675 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ≠ 0)
616, 56, 10, 59, 60divcan5d 11430 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
6253, 58, 613eqtrrd 2858 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
63 fz1ssfz0 12991 . . . 4 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
6463sseli 3960 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
65 bcval2 13653 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
6664, 65syl 17 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
67 ax-1cn 10583 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
68 npcan 10883 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6928, 67, 68sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
70 peano2zm 12013 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
71 uzid 12246 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
72 peano2uz 12289 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
7327, 70, 71, 724syl 19 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
7469, 73eqeltrrd 2911 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
75 fzss2 12935 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
7674, 75syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
77 elfzmlbm 13005 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
7876, 77sseldd 3965 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
79 bcval2 13653 . . . 4 ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
8078, 79syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
8180oveq1d 7160 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
8262, 66, 813eqtr4d 2863 1 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  !cfa 13621  Ccbc 13650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-fac 13622  df-bc 13651
This theorem is referenced by:  bcp1nk  13665  bcpasc  13669  bpolydiflem  15396  basellem5  25589
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