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Theorem bcm1k 14486

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝐾 decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcm1k	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

**Proof of Theorem bcm1k**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 13689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
2		nnuz 13031	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
3	1, 2	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12694	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
5	4	faccld 14455	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
6	5	nncnd 12378	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
7		fznn0sub 13717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
8		nn0p1nn 12672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12378	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
11	9	nnnn0d 12694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ₀)
12	11	faccld 14455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ∈ ℕ)
13		elfznn 13714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
14		nnm1nn0 12674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀)
15		faccl 14454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
16	13, 14, 15	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
17	12, 16	nnmulcld 12418	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ)
18		nncn 12370	. . . . . . 7 ⊢ (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
19		nnne0 12399	. . . . . . 7 ⊢ (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0)
20	18, 19	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ → (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ ∧ ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0))
21	17, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ ∧ ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0))
22	13	nncnd 12378	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
23	13	nnne0d 12415	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
24	22, 23	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))
25		divmuldiv 12044	. . . . 5 ⊢ ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ ∧ ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
26	6, 10, 21, 24, 25	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
27		elfzel2 13681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
29		1cnd 11329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
30	28, 22, 29	subsubd 11724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁 − 𝐾) + 1))
31	30	fveq2d 6912	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
32	31	oveq1d 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))))
33	32	oveq2d 7459	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))))
34	30	oveq1d 7458	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾))
35	33, 34	oveq12d 7461	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾)))
36		facp1 14449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
37	7, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
38	37	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
39		facnn2 14453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
40	13, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
41	38, 40	oveq12d 7461	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
42	7	faccld 14455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
43	42	nncnd 12378	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
44	13	nnnn0d 12694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
45	44	faccld 14455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
46	45	nncnd 12378	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
47	43, 46, 10	mul32d 11547	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)))
48	12	nncnd 12378	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ∈ ℂ)
49	16	nncnd 12378	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
50	48, 49, 22	mulassd 11359	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
51	41, 47, 50	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾))
52	51	oveq2d 7459	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
53	26, 35, 52	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))))
54	6, 10	mulcomd 11357	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)))
55	42, 45	nnmulcld 12418	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12378	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
57	56, 10	mulcomd 11357	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
58	54, 57	oveq12d 7461	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))) = ((((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))))
59	55	nnne0d 12415	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
60	9	nnne0d 12415	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≠ 0)
61	6, 56, 10, 59, 60	divcan5d 12146	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
62	53, 58, 61	3eqtrrd 2803	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
63		fz1ssfz0 13784	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
64	63	sseli 3909	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
65		bcval2 14476	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
66	64, 65	syl 18	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
67		ax-1cn 11285	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
68		npcan 11593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
69	28, 67, 68	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
70		peano2zm 12766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
71		uzid 13007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
72		peano2uz 13055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
73	27, 70, 71, 72	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
74	69, 73	eqeltrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
75		fzss2 13725	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
76	74, 75	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
77		elfzmlbm 13799	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
78	76, 77	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
79		bcval2 14476	. . . 4 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
80	78, 79	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
81	80	oveq1d 7458	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
82	62, 66, 81	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 ⊆ wss 3900 ‘cfv 6558 (class class class)co 7443 ℂcc 11225 0cc0 11227 1c1 11228 + caddc 11230 · cmul 11232 − cmin 11568 / cdiv 12000 ℕcn 12362 ℕ₀cn0 12633 ℤcz 12720 ℤ_≥cuz 12992 ...cfz 13666 !cfa 14444 Ccbc 14473

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-sep 5252 ax-nul 5263 ax-pow 5331 ax-pr 5395 ax-un 7775 ax-cnex 11283 ax-resscn 11284 ax-1cn 11285 ax-icn 11286 ax-addcl 11287 ax-addrcl 11288 ax-mulcl 11289 ax-mulrcl 11290 ax-mulcom 11291 ax-addass 11292 ax-mulass 11293 ax-distr 11294 ax-i2m1 11295 ax-1ne0 11296 ax-1rid 11297 ax-rnegex 11298 ax-rrecex 11299 ax-cnre 11300 ax-pre-lttri 11301 ax-pre-lttrn 11302 ax-pre-ltadd 11303 ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4839 df-uni 4871 df-iun 4956 df-br 5107 df-opab 5171 df-mpt 5190 df-tr 5216 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6322 df-ord 6383 df-on 6384 df-lim 6385 df-suc 6386 df-iota 6512 df-fun 6560 df-fn 6561 df-f 6562 df-f1 6563 df-fo 6564 df-f1o 6565 df-fv 6566 df-riota 7400 df-ov 7446 df-oprab 7447 df-mpo 7448 df-om 7902 df-1st 8025 df-2nd 8026 df-frecs 8327 df-wrecs 8358 df-recs 8407 df-rdg 8446 df-er 8745 df-en 9002 df-dom 9003 df-sdom 9004 df-pnf 11372 df-mnf 11373 df-xr 11374 df-ltxr 11375 df-le 11376 df-sub 11570 df-neg 11571 df-div 12001 df-nn 12363 df-n0 12634 df-z 12721 df-uz 12993 df-fz 13667 df-seq 14172 df-fac 14445 df-bc 14474

This theorem is used by: bcp1nk 14488 bcpasc 14492 bpolydiflem 16249 basellem5 27442 lcmineqlem11 43281

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