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Theorem bcm1k 13355
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝐾 decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 12600 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 nnuz 11967 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2syl6eleqr 2889 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11640 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5 faccl 13323 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
76nncnd 11330 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
8 fznn0sub 12627 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
9 nn0p1nn 11621 . . . . . . 7 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
1110nncnd 11330 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℂ)
1210nnnn0d 11640 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ0)
13 faccl 13323 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) ∈ ℕ)
15 elfznn 12624 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
16 nnm1nn0 11623 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
17 faccl 13323 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1914, 18nnmulcld 11366 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ)
20 nncn 11321 . . . . . . 7 (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ → ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
21 nnne0 11348 . . . . . . 7 (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ → ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0)
2220, 21jca 508 . . . . . 6 (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ → (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ ∧ ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0))
2319, 22syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ ∧ ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0))
2415nncnd 11330 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
2515nnne0d 11363 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
2624, 25jca 508 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))
27 divmuldiv 11017 . . . . 5 ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ ∧ ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
287, 11, 23, 26, 27syl22anc 868 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
29 elfzel2 12594 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3029zcnd 11773 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
31 1cnd 10323 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
3230, 24, 31subsubd 10712 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁𝐾) + 1))
3332fveq2d 6415 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
3433oveq1d 6893 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))))
3534oveq2d 6894 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))))
3632oveq1d 6893 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾))
3735, 36oveq12d 6896 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾)))
38 facp1 13318 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
398, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
4039eqcomd 2805 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
41 facnn2 13322 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
4215, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
4340, 42oveq12d 6896 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)) = ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
44 faccl 13323 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
458, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
4645nncnd 11330 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
4715nnnn0d 11640 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
48 faccl 13323 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
5049nncnd 11330 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
5146, 50, 11mul32d 10536 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)))
5214nncnd 11330 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) ∈ ℂ)
5318nncnd 11330 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
5452, 53, 24mulassd 10352 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾) = ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
5543, 51, 543eqtr4d 2843 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾))
5655oveq2d 6894 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
5728, 37, 563eqtr4d 2843 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1))))
587, 11mulcomd 10350 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((𝑁𝐾) + 1) · (!‘𝑁)))
5945, 49nnmulcld 11366 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
6059nncnd 11330 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
6160, 11mulcomd 10350 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((𝑁𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
6258, 61oveq12d 6896 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1))) = ((((𝑁𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
6359nnne0d 11363 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
6410nnne0d 11363 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ≠ 0)
657, 60, 11, 63, 64divcan5d 11119 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
6657, 62, 653eqtrrd 2838 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
67 fz1ssfz0 12690 . . . 4 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
6867sseli 3794 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
69 bcval2 13345 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
7068, 69syl 17 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
71 ax-1cn 10282 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
72 npcan 10582 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7330, 71, 72sylancl 581 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
74 peano2zm 11710 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
75 uzid 11945 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
76 peano2uz 11985 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
7729, 74, 75, 764syl 19 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
7873, 77eqeltrrd 2879 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
79 fzss2 12635 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
8078, 79syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
81 elfzmlbm 12704 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
8280, 81sseldd 3799 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
83 bcval2 13345 . . . 4 ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
8482, 83syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
8584oveq1d 6893 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
8666, 70, 853eqtr4d 2843 1 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wss 3769  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  cmin 10556   / cdiv 10976  cn 11312  0cn0 11580  cz 11666  cuz 11930  ...cfz 12580  !cfa 13313  Ccbc 13342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-seq 13056  df-fac 13314  df-bc 13343
This theorem is referenced by:  bcp1nk  13357  bcpasc  13361  bpolydiflem  15121  basellem5  25163
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