MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcm1k Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcm1k 14275
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with ๐พ decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 13506 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2 nnuz 12865 . . . . . . . . 9 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
31, 2eleqtrrdi 2845 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
43nnnn0d 12532 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
54faccld 14244 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
65nncnd 12228 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
7 fznn0sub 13533 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
8 nn0p1nn 12511 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
109nncnd 12228 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„‚)
119nnnn0d 12532 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•0)
1211faccld 14244 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) โˆˆ โ„•)
13 elfznn 13530 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
14 nnm1nn0 12513 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
15 faccl 14243 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
1712, 16nnmulcld 12265 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•)
18 nncn 12220 . . . . . . 7 (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
19 nnne0 12246 . . . . . . 7 (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โ‰  0)
2018, 19jca 513 . . . . . 6 (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โ‰  0))
2117, 20syl 17 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โ‰  0))
2213nncnd 12228 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
2313nnne0d 12262 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โ‰  0)
2422, 23jca 513 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0))
25 divmuldiv 11914 . . . . 5 ((((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ((((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โ‰  0) โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0))) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ)))
266, 10, 21, 24, 25syl22anc 838 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ)))
27 elfzel2 13499 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2827zcnd 12667 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
29 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3028, 22, 29subsubd 11599 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
3130fveq2d 6896 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) = (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
3231oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
3332oveq2d 7425 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
3430oveq1d 7424 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) / ๐พ))
3533, 34oveq12d 7427 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) / ๐พ)))
36 facp1 14238 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
377, 36syl 17 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
3837eqcomd 2739 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
39 facnn2 14242 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐พ) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
4013, 39syl 17 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
4138, 40oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜๐พ)) = ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ)))
427faccld 14244 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„•)
4342nncnd 12228 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
4413nnnn0d 12532 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
4544faccld 14244 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
4645nncnd 12228 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
4743, 46, 10mul32d 11424 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜๐พ)))
4812nncnd 12228 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) โˆˆ โ„‚)
4916nncnd 12228 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5048, 49, 22mulassd 11237 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ) = ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ)))
5141, 47, 503eqtr4d 2783 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ))
5251oveq2d 7425 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ)))
5326, 35, 523eqtr4d 2783 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))))
546, 10mulcomd 11235 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท (!โ€˜๐‘)))
5542, 45nnmulcld 12265 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•)
5655nncnd 12228 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚)
5756, 10mulcomd 11235 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
5854, 57oveq12d 7427 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))) = ((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท (!โ€˜๐‘)) / (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))))
5955nnne0d 12262 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0)
609nnne0d 12262 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โ‰  0)
616, 56, 10, 59, 60divcan5d 12016 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท (!โ€˜๐‘)) / (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
6253, 58, 613eqtrrd 2778 . 2 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))
63 fz1ssfz0 13597 . . . 4 (1...๐‘) โŠ† (0...๐‘)
6463sseli 3979 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ (0...๐‘))
65 bcval2 14265 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
6664, 65syl 17 . 2 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
67 ax-1cn 11168 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
68 npcan 11469 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
6928, 67, 68sylancl 587 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
70 peano2zm 12605 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
71 uzid 12837 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
72 peano2uz 12885 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
7327, 70, 71, 724syl 19 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
7469, 73eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
75 fzss2 13541 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (0...๐‘))
7674, 75syl 17 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (0...๐‘))
77 elfzmlbm 13611 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
7876, 77sseldd 3984 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘))
79 bcval2 14265 . . . 4 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
8078, 79syl 17 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
8180oveq1d 7424 . 2 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))
8262, 66, 813eqtr4d 2783 1 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โŠ† wss 3949  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  !cfa 14233  Ccbc 14262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-fac 14234  df-bc 14263
This theorem is referenced by:  bcp1nk  14277  bcpasc  14281  bpolydiflem  15998  basellem5  26589  lcmineqlem11  40904
  Copyright terms: Public domain W3C validator