MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcm1k Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcm1k 14221
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with ๐พ decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 13452 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2 nnuz 12811 . . . . . . . . 9 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
31, 2eleqtrrdi 2845 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
43nnnn0d 12478 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
54faccld 14190 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
65nncnd 12174 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
7 fznn0sub 13479 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
8 nn0p1nn 12457 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
109nncnd 12174 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„‚)
119nnnn0d 12478 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•0)
1211faccld 14190 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) โˆˆ โ„•)
13 elfznn 13476 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
14 nnm1nn0 12459 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
15 faccl 14189 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
1712, 16nnmulcld 12211 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•)
18 nncn 12166 . . . . . . 7 (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
19 nnne0 12192 . . . . . . 7 (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โ‰  0)
2018, 19jca 513 . . . . . 6 (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โ‰  0))
2117, 20syl 17 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โ‰  0))
2213nncnd 12174 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
2313nnne0d 12208 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โ‰  0)
2422, 23jca 513 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0))
25 divmuldiv 11860 . . . . 5 ((((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„‚) โˆง ((((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โ‰  0) โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0))) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ)))
266, 10, 21, 24, 25syl22anc 838 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ)))
27 elfzel2 13445 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2827zcnd 12613 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
29 1cnd 11155 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3028, 22, 29subsubd 11545 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
3130fveq2d 6847 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) = (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
3231oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
3332oveq2d 7374 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
3430oveq1d 7373 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) / ๐พ))
3533, 34oveq12d 7376 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) / ๐พ)))
36 facp1 14184 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
377, 36syl 17 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
3837eqcomd 2739 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
39 facnn2 14188 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐พ) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
4013, 39syl 17 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
4138, 40oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜๐พ)) = ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ)))
427faccld 14190 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„•)
4342nncnd 12174 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
4413nnnn0d 12478 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
4544faccld 14190 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
4645nncnd 12174 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
4743, 46, 10mul32d 11370 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜๐พ)))
4812nncnd 12174 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) โˆˆ โ„‚)
4916nncnd 12174 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5048, 49, 22mulassd 11183 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ) = ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ)))
5141, 47, 503eqtr4d 2783 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ))
5251oveq2d 7374 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ)))
5326, 35, 523eqtr4d 2783 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))))
546, 10mulcomd 11181 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท (!โ€˜๐‘)))
5542, 45nnmulcld 12211 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•)
5655nncnd 12174 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚)
5756, 10mulcomd 11181 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
5854, 57oveq12d 7376 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))) = ((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท (!โ€˜๐‘)) / (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))))
5955nnne0d 12208 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โ‰  0)
609nnne0d 12208 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โ‰  0)
616, 56, 10, 59, 60divcan5d 11962 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท (!โ€˜๐‘)) / (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
6253, 58, 613eqtrrd 2778 . 2 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))
63 fz1ssfz0 13543 . . . 4 (1...๐‘) โŠ† (0...๐‘)
6463sseli 3941 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ (0...๐‘))
65 bcval2 14211 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
6664, 65syl 17 . 2 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
67 ax-1cn 11114 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
68 npcan 11415 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
6928, 67, 68sylancl 587 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
70 peano2zm 12551 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
71 uzid 12783 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
72 peano2uz 12831 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
7327, 70, 71, 724syl 19 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
7469, 73eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
75 fzss2 13487 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (0...๐‘))
7674, 75syl 17 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (0...๐‘))
77 elfzmlbm 13557 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
7876, 77sseldd 3946 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘))
79 bcval2 14211 . . . 4 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
8078, 79syl 17 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
8180oveq1d 7373 . 2 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))
8262, 66, 813eqtr4d 2783 1 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3911  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  !cfa 14179  Ccbc 14208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-fac 14180  df-bc 14209
This theorem is referenced by:  bcp1nk  14223  bcpasc  14227  bpolydiflem  15942  basellem5  26450  lcmineqlem11  40542
  Copyright terms: Public domain W3C validator