Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  splid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splid 14094
 Description: Splicing a subword for the same subword makes no difference. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
splid ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 splice ⟨𝑋, 𝑌, (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem splid
StepHypRef Expression
1 ovex 7163 . . 3 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ V
2 splval 14092 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ V)) → (𝑆 splice ⟨𝑋, 𝑌, (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)⟩) = (((𝑆 prefix 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)))
31, 2mp3anr3 1457 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 splice ⟨𝑋, 𝑌, (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)⟩) = (((𝑆 prefix 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)))
4 ccatpfx 14042 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝑆 prefix 𝑌))
543expb 1117 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑆 prefix 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝑆 prefix 𝑌))
65oveq1d 7145 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (((𝑆 prefix 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝑆 prefix 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)))
7 simpl 486 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
8 simprr 772 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
9 elfzuz2 12895 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
109ad2antll 728 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
11 eluzfz2 12898 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
13 ccatpfx 14042 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)) = (𝑆 prefix (♯‘𝑆)))
147, 8, 12, 13syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑆 prefix 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)) = (𝑆 prefix (♯‘𝑆)))
15 pfxid 14025 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)
1615adantr 484 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)
1714, 16eqtrd 2856 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑆 prefix 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)) = 𝑆)
186, 17eqtrd 2856 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (((𝑆 prefix 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)) = 𝑆)
193, 18eqtrd 2856 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 splice ⟨𝑋, 𝑌, (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)⟩) = 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471  ⟨cop 4546  ⟨cotp 4548  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  0cc0 10514  ℤ≥cuz 12221  ...cfz 12875  ♯chash 13674  Word cword 13845   ++ cconcat 13901   substr csubstr 13981   prefix cpfx 14011   splice csplice 14090 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-hash 13675  df-word 13846  df-concat 13902  df-substr 13982  df-pfx 14012  df-splice 14091 This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18602
 Copyright terms: Public domain W3C validator