Theorem splid 14788

Description: Splicing a subword for the same subword makes no difference. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
splid	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 splice ⟨𝑋, 𝑌, (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem splid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7464	. . 3 ⊢ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ V
2		splval 14786	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ V)) → (𝑆 splice ⟨𝑋, 𝑌, (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)⟩) = (((𝑆 prefix 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)))
3	1, 2	mp3anr3 1459	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 splice ⟨𝑋, 𝑌, (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)⟩) = (((𝑆 prefix 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)))
4		ccatpfx 14736	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝑆 prefix 𝑌))
5	4	3expb 1119	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑆 prefix 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝑆 prefix 𝑌))
6	5	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (((𝑆 prefix 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝑆 prefix 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
8		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
9		elfzuz2 13566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
10	9	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
11		eluzfz2 13569	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
13		ccatpfx 14736	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)) = (𝑆 prefix (♯‘𝑆)))
14	7, 8, 12, 13	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑆 prefix 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)) = (𝑆 prefix (♯‘𝑆)))
15		pfxid 14719	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)
17	14, 16	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑆 prefix 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)) = 𝑆)
18	6, 17	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (((𝑆 prefix 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)) ++ (𝑆 substr ⟨𝑌, (♯‘𝑆)⟩)) = 𝑆)
19	3, 18	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (0...𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 splice ⟨𝑋, 𝑌, (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑌⟩)⟩) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ⟨cop 4637  ⟨cotp 4639  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  ♯chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605   substr csubstr 14675   prefix cpfx 14705   splice csplice 14784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19528