Theorem ax1ne0 11083

Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 11107. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1ne0	⊢ 1 ≠ 0

Proof of Theorem ax1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne0sr 11019	. . . 4 ⊢ ¬ 1R = 0R
2		1sr 11004	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3	2	elexi 3452	. . . . 5 ⊢ 1R ∈ V
4	3	eqresr 11060	. . . 4 ⊢ (⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩ ↔ 1R = 0R)
5	1, 4	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ ⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
6		df-1 11046	. . . 4 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
7		df-0 11045	. . . 4 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
8	6, 7	eqeq12i 2754	. . 3 ⊢ (1 = 0 ↔ ⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩)
9	5, 8	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 1 = 0
10	9	neir 2935	1 ⊢ 1 ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ≠ wne 2932  ⟨cop 4573  Rcnr 10788  0_Rc0r 10789  1_Rc1r 10790  0cc0 11038  1c1 11039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-ni 10795  df-pli 10796  df-mi 10797  df-lti 10798  df-plpq 10831  df-mpq 10832  df-ltpq 10833  df-enq 10834  df-nq 10835  df-erq 10836  df-plq 10837  df-mq 10838  df-1nq 10839  df-rq 10840  df-ltnq 10841  df-np 10904  df-1p 10905  df-plp 10906  df-ltp 10908  df-enr 10978  df-nr 10979  df-ltr 10982  df-0r 10983  df-1r 10984  df-0 11045  df-1 11046

This theorem is referenced by: (None)