Theorem ax1ne0 11174

Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 11198. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1ne0	⊢ 1 ≠ 0

Proof of Theorem ax1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne0sr 11110	. . . 4 ⊢ ¬ 1R = 0R
2		1sr 11095	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3	2	elexi 3482	. . . . 5 ⊢ 1R ∈ V
4	3	eqresr 11151	. . . 4 ⊢ (⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩ ↔ 1R = 0R)
5	1, 4	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ ⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
6		df-1 11137	. . . 4 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
7		df-0 11136	. . . 4 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
8	6, 7	eqeq12i 2753	. . 3 ⊢ (1 = 0 ↔ ⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩)
9	5, 8	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 1 = 0
10	9	neir 2935	1 ⊢ 1 ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ≠ wne 2932  ⟨cop 4607  Rcnr 10879  0_Rc0r 10880  1_Rc1r 10881  0cc0 11129  1c1 11130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-ni 10886  df-pli 10887  df-mi 10888  df-lti 10889  df-plpq 10922  df-mpq 10923  df-ltpq 10924  df-enq 10925  df-nq 10926  df-erq 10927  df-plq 10928  df-mq 10929  df-1nq 10930  df-rq 10931  df-ltnq 10932  df-np 10995  df-1p 10996  df-plp 10997  df-ltp 10999  df-enr 11069  df-nr 11070  df-ltr 11073  df-0r 11074  df-1r 11075  df-0 11136  df-1 11137

This theorem is referenced by: (None)