Theorem ax1ne0 10986

Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 11010. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1ne0	⊢ 1 ≠ 0

Proof of Theorem ax1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne0sr 10922	. . . 4 ⊢ ¬ 1R = 0R
2		1sr 10907	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3	2	elexi 3460	. . . . 5 ⊢ 1R ∈ V
4	3	eqresr 10963	. . . 4 ⊢ (⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩ ↔ 1R = 0R)
5	1, 4	mtbir 322	. . 3 ⊢ ¬ ⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
6		df-1 10949	. . . 4 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
7		df-0 10948	. . . 4 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
8	6, 7	eqeq12i 2755	. . 3 ⊢ (1 = 0 ↔ ⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩)
9	5, 8	mtbir 322	. 2 ⊢ ¬ 1 = 0
10	9	neir 2944	1 ⊢ 1 ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ≠ wne 2941  ⟨cop 4575  Rcnr 10691  0_Rc0r 10692  1_Rc1r 10693  0cc0 10941  1c1 10942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-inf2 9467

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-oadd 8346  df-omul 8347  df-er 8544  df-ec 8546  df-qs 8550  df-ni 10698  df-pli 10699  df-mi 10700  df-lti 10701  df-plpq 10734  df-mpq 10735  df-ltpq 10736  df-enq 10737  df-nq 10738  df-erq 10739  df-plq 10740  df-mq 10741  df-1nq 10742  df-rq 10743  df-ltnq 10744  df-np 10807  df-1p 10808  df-plp 10809  df-ltp 10811  df-enr 10881  df-nr 10882  df-ltr 10885  df-0r 10886  df-1r 10887  df-0 10948  df-1 10949

This theorem is referenced by: (None)