Theorem ax1ne0 11058

Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 11082. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1ne0	⊢ 1 ≠ 0

Proof of Theorem ax1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne0sr 10994	. . . 4 ⊢ ¬ 1R = 0R
2		1sr 10979	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3	2	elexi 3460	. . . . 5 ⊢ 1R ∈ V
4	3	eqresr 11035	. . . 4 ⊢ (⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩ ↔ 1R = 0R)
5	1, 4	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ ⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
6		df-1 11021	. . . 4 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
7		df-0 11020	. . . 4 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
8	6, 7	eqeq12i 2751	. . 3 ⊢ (1 = 0 ↔ ⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩)
9	5, 8	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 1 = 0
10	9	neir 2932	1 ⊢ 1 ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ≠ wne 2929  ⟨cop 4581  Rcnr 10763  0_Rc0r 10764  1_Rc1r 10765  0cc0 11013  1c1 11014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-ni 10770  df-pli 10771  df-mi 10772  df-lti 10773  df-plpq 10806  df-mpq 10807  df-ltpq 10808  df-enq 10809  df-nq 10810  df-erq 10811  df-plq 10812  df-mq 10813  df-1nq 10814  df-rq 10815  df-ltnq 10816  df-np 10879  df-1p 10880  df-plp 10881  df-ltp 10883  df-enr 10953  df-nr 10954  df-ltr 10957  df-0r 10958  df-1r 10959  df-0 11020  df-1 11021

This theorem is referenced by: (None)