MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addresr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addresr 11132
Description: Addition of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addresr ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ + ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐵), 0R⟩)

Proof of Theorem addresr
StepHypRef Expression
1 0r 11074 . . 3 0RR
2 addcnsr 11129 . . . 4 (((𝐴R ∧ 0RR) ∧ (𝐵R ∧ 0RR)) → (⟨𝐴, 0R⟩ + ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐵), (0R +R 0R)⟩)
32an4s 657 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (0RR ∧ 0RR)) → (⟨𝐴, 0R⟩ + ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐵), (0R +R 0R)⟩)
41, 1, 3mpanr12 702 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ + ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐵), (0R +R 0R)⟩)
5 0idsr 11091 . . . 4 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
61, 5ax-mp 5 . . 3 (0R +R 0R) = 0R
76opeq2i 4872 . 2 ⟨(𝐴 +R 𝐵), (0R +R 0R)⟩ = ⟨(𝐴 +R 𝐵), 0R
84, 7eqtrdi 2782 1 ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ + ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐵), 0R⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cop 4629  (class class class)co 7404  Rcnr 10859  0Rc0r 10860   +R cplr 10863   + caddc 11112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-ni 10866  df-pli 10867  df-mi 10868  df-lti 10869  df-plpq 10902  df-mpq 10903  df-ltpq 10904  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-plq 10908  df-mq 10909  df-1nq 10910  df-rq 10911  df-ltnq 10912  df-np 10975  df-1p 10976  df-plp 10977  df-ltp 10979  df-enr 11049  df-nr 11050  df-plr 11051  df-0r 11054  df-c 11115  df-add 11120
This theorem is referenced by:  axaddrcl  11146  axi2m1  11153  axrnegex  11156  axpre-ltadd  11161
  Copyright terms: Public domain W3C validator