Theorem addresr 10825

Description: Addition of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addresr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ + ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐵), 0R⟩)

Proof of Theorem addresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 10767	. . 3 ⊢ 0R ∈ R
2		addcnsr 10822	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R) ∧ (𝐵 ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨𝐴, 0R⟩ + ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐵), (0R +R 0R)⟩)
3	2	an4s 656	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨𝐴, 0R⟩ + ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐵), (0R +R 0R)⟩)
4	1, 1, 3	mpanr12 701	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ + ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐵), (0R +R 0R)⟩)
5		0idsr 10784	. . . 4 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
7	6	opeq2i 4805	. 2 ⊢ ⟨(𝐴 +R 𝐵), (0R +R 0R)⟩ = ⟨(𝐴 +R 𝐵), 0R⟩
8	4, 7	eqtrdi 2795	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ + ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐵), 0R⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4564  (class class class)co 7255  Rcnr 10552  0_Rc0r 10553   +_R cplr 10556   + caddc 10805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-ni 10559  df-pli 10560  df-mi 10561  df-lti 10562  df-plpq 10595  df-mpq 10596  df-ltpq 10597  df-enq 10598  df-nq 10599  df-erq 10600  df-plq 10601  df-mq 10602  df-1nq 10603  df-rq 10604  df-ltnq 10605  df-np 10668  df-1p 10669  df-plp 10670  df-ltp 10672  df-enr 10742  df-nr 10743  df-plr 10744  df-0r 10747  df-c 10808  df-add 10813

This theorem is referenced by:  axaddrcl  10839  axi2m1  10846  axrnegex  10849  axpre-ltadd  10854