MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axrrecex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axrrecex 11162
Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 16 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rrecex 11186. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axrrecex ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem axrrecex
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 11130 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด)
2 df-rex 3070 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โˆˆ R โˆง โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด))
31, 2bitri 275 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โˆˆ R โˆง โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด))
4 neeq1 3002 . . . 4 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0))
5 oveq1 7419 . . . . . 6 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
65eqeq1d 2733 . . . . 5 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
76rexbidv 3177 . . . 4 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
84, 7imbi12d 344 . . 3 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1) โ†” (๐ด โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)))
9 df-0 11121 . . . . . . 7 0 = โŸจ0R, 0RโŸฉ
109eqeq2i 2744 . . . . . 6 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = 0 โ†” โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = โŸจ0R, 0RโŸฉ)
11 vex 3477 . . . . . . 7 ๐‘ฆ โˆˆ V
1211eqresr 11136 . . . . . 6 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = โŸจ0R, 0RโŸฉ โ†” ๐‘ฆ = 0R)
1310, 12bitri 275 . . . . 5 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = 0 โ†” ๐‘ฆ = 0R)
1413necon3bii 2992 . . . 4 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ‰  0 โ†” ๐‘ฆ โ‰  0R)
15 recexsr 11106 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โ‰  0R) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)
1615ex 412 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0R โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R))
17 opelreal 11129 . . . . . . . . . 10 (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โ†” ๐‘ง โˆˆ R)
1817anbi1i 623 . . . . . . . . 9 ((โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1) โ†” (๐‘ง โˆˆ R โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1))
19 mulresr 11138 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ)
2019eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1 โ†” โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = 1))
21 df-1 11122 . . . . . . . . . . . . 13 1 = โŸจ1R, 0RโŸฉ
2221eqeq2i 2744 . . . . . . . . . . . 12 (โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = 1 โ†” โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = โŸจ1R, 0RโŸฉ)
23 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) โˆˆ V
2423eqresr 11136 . . . . . . . . . . . 12 (โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = โŸจ1R, 0RโŸฉ โ†” (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)
2522, 24bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = 1 โ†” (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)
2620, 25bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1 โ†” (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R))
2726pm5.32da 578 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ ((๐‘ง โˆˆ R โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1) โ†” (๐‘ง โˆˆ R โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)))
2818, 27bitrid 283 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ ((โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1) โ†” (๐‘ง โˆˆ R โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)))
29 oveq2 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ))
3029eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†” (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1))
3130rspcev 3612 . . . . . . . 8 ((โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1)
3228, 31syl6bir 254 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ ((๐‘ง โˆˆ R โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1))
3332expd 415 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (๐‘ง โˆˆ R โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1)))
3433rexlimdv 3152 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1))
3516, 34syld 47 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1))
3614, 35biimtrid 241 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1))
373, 8, 36gencl 3515 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
3837imp 406 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540  โˆƒwex 1780   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆƒwrex 3069  โŸจcop 4634  (class class class)co 7412  Rcnr 10864  0Rc0r 10865  1Rc1r 10866   ยทR cmr 10869  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   ยท cmul 11119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-ni 10871  df-pli 10872  df-mi 10873  df-lti 10874  df-plpq 10907  df-mpq 10908  df-ltpq 10909  df-enq 10910  df-nq 10911  df-erq 10912  df-plq 10913  df-mq 10914  df-1nq 10915  df-rq 10916  df-ltnq 10917  df-np 10980  df-1p 10981  df-plp 10982  df-mp 10983  df-ltp 10984  df-enr 11054  df-nr 11055  df-plr 11056  df-mr 11057  df-ltr 11058  df-0r 11059  df-1r 11060  df-m1r 11061  df-c 11120  df-0 11121  df-1 11122  df-r 11124  df-mul 11126
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator