MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axrrecex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axrrecex 11160
Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 16 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rrecex 11184. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axrrecex ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem axrrecex
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 11128 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด)
2 df-rex 3069 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โˆˆ R โˆง โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด))
31, 2bitri 274 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โˆˆ R โˆง โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด))
4 neeq1 3001 . . . 4 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0))
5 oveq1 7418 . . . . . 6 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
65eqeq1d 2732 . . . . 5 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
76rexbidv 3176 . . . 4 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
84, 7imbi12d 343 . . 3 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1) โ†” (๐ด โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)))
9 df-0 11119 . . . . . . 7 0 = โŸจ0R, 0RโŸฉ
109eqeq2i 2743 . . . . . 6 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = 0 โ†” โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = โŸจ0R, 0RโŸฉ)
11 vex 3476 . . . . . . 7 ๐‘ฆ โˆˆ V
1211eqresr 11134 . . . . . 6 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = โŸจ0R, 0RโŸฉ โ†” ๐‘ฆ = 0R)
1310, 12bitri 274 . . . . 5 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = 0 โ†” ๐‘ฆ = 0R)
1413necon3bii 2991 . . . 4 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ‰  0 โ†” ๐‘ฆ โ‰  0R)
15 recexsr 11104 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โ‰  0R) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)
1615ex 411 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0R โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R))
17 opelreal 11127 . . . . . . . . . 10 (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โ†” ๐‘ง โˆˆ R)
1817anbi1i 622 . . . . . . . . 9 ((โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1) โ†” (๐‘ง โˆˆ R โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1))
19 mulresr 11136 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ)
2019eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1 โ†” โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = 1))
21 df-1 11120 . . . . . . . . . . . . 13 1 = โŸจ1R, 0RโŸฉ
2221eqeq2i 2743 . . . . . . . . . . . 12 (โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = 1 โ†” โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = โŸจ1R, 0RโŸฉ)
23 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) โˆˆ V
2423eqresr 11134 . . . . . . . . . . . 12 (โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = โŸจ1R, 0RโŸฉ โ†” (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)
2522, 24bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = 1 โ†” (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)
2620, 25bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1 โ†” (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R))
2726pm5.32da 577 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ ((๐‘ง โˆˆ R โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1) โ†” (๐‘ง โˆˆ R โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)))
2818, 27bitrid 282 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ ((โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1) โ†” (๐‘ง โˆˆ R โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)))
29 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ))
3029eqeq1d 2732 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†” (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1))
3130rspcev 3611 . . . . . . . 8 ((โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1)
3228, 31syl6bir 253 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ ((๐‘ง โˆˆ R โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1))
3332expd 414 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (๐‘ง โˆˆ R โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1)))
3433rexlimdv 3151 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1))
3516, 34syld 47 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1))
3614, 35biimtrid 241 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1))
373, 8, 36gencl 3514 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
3837imp 405 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539  โˆƒwex 1779   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068  โŸจcop 4633  (class class class)co 7411  Rcnr 10862  0Rc0r 10863  1Rc1r 10864   ยทR cmr 10867  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-1p 10979  df-plp 10980  df-mp 10981  df-ltp 10982  df-enr 11052  df-nr 11053  df-plr 11054  df-mr 11055  df-ltr 11056  df-0r 11057  df-1r 11058  df-m1r 11059  df-c 11118  df-0 11119  df-1 11120  df-r 11122  df-mul 11124
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator