Theorem ex-pss 30908

Description: Example for df-pss 3919. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pss	⊢ {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

Proof of Theorem ex-pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-ss 30907	. 2 ⊢ {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}
2		3ex 12347	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ V
3	2	tpid3 4734	. . . 4 ⊢ 3 ∈ {1, 2, 3}
4		1re 11232	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt3 12440	. . . . . 6 ⊢ 1 < 3
6	4, 5	gtneii 11346	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 1
7		2re 12339	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt3 12438	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
9	7, 8	gtneii 11346	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
10	6, 9	nelpri 4616	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 2}
11		nelne1 3052	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ {1, 2, 3} ∧ ¬ 3 ∈ {1, 2}) → {1, 2, 3} ≠ {1, 2})
12	3, 10, 11	mp2an 705	. . 3 ⊢ {1, 2, 3} ≠ {1, 2}
13	12	necomi 3009	. 2 ⊢ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}
14		df-pss 3919	. 2 ⊢ ({1, 2} ⊊ {1, 2, 3} ↔ ({1, 2} ⊆ {1, 2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}))
15	1, 13, 14	mpbir2an 724	1 ⊢ {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  {cpr 4586  {ctp 4588  1c1 11125  2c2 12319  3c3 12320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-2 12327  df-3 12328

This theorem is used by: (None)