Theorem ex-pss 28213

Description: Example for df-pss 3900. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pss	⊢ {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

Proof of Theorem ex-pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-ss 28212	. 2 ⊢ {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}
2		3ex 11707	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ V
3	2	tpid3 4669	. . . 4 ⊢ 3 ∈ {1, 2, 3}
4		1re 10630	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt3 11798	. . . . . 6 ⊢ 1 < 3
6	4, 5	gtneii 10741	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 1
7		2re 11699	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt3 11797	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
9	7, 8	gtneii 10741	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
10	6, 9	nelpri 4554	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 2}
11		nelne1 3083	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ {1, 2, 3} ∧ ¬ 3 ∈ {1, 2}) → {1, 2, 3} ≠ {1, 2})
12	3, 10, 11	mp2an 691	. . 3 ⊢ {1, 2, 3} ≠ {1, 2}
13	12	necomi 3041	. 2 ⊢ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}
14		df-pss 3900	. 2 ⊢ ({1, 2} ⊊ {1, 2, 3} ↔ ({1, 2} ⊆ {1, 2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}))
15	1, 13, 14	mpbir2an 710	1 ⊢ {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ⊆ wss 3881   ⊊ wpss 3882  {cpr 4527  {ctp 4529  1c1 10527  2c2 11680  3c3 11681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-2 11688  df-3 11689

This theorem is referenced by: (None)