Theorem ex-pss 28312

Description: Example for df-pss 3877. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pss	⊢ {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

Proof of Theorem ex-pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-ss 28311	. 2 ⊢ {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}
2		3ex 11756	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ V
3	2	tpid3 4666	. . . 4 ⊢ 3 ∈ {1, 2, 3}
4		1re 10679	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt3 11847	. . . . . 6 ⊢ 1 < 3
6	4, 5	gtneii 10790	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 1
7		2re 11748	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt3 11846	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
9	7, 8	gtneii 10790	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
10	6, 9	nelpri 4551	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 2}
11		nelne1 3047	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ {1, 2, 3} ∧ ¬ 3 ∈ {1, 2}) → {1, 2, 3} ≠ {1, 2})
12	3, 10, 11	mp2an 691	. . 3 ⊢ {1, 2, 3} ≠ {1, 2}
13	12	necomi 3005	. 2 ⊢ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}
14		df-pss 3877	. 2 ⊢ ({1, 2} ⊊ {1, 2, 3} ↔ ({1, 2} ⊆ {1, 2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}))
15	1, 13, 14	mpbir2an 710	1 ⊢ {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ⊆ wss 3858   ⊊ wpss 3859  {cpr 4524  {ctp 4526  1c1 10576  2c2 11729  3c3 11730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-2 11737  df-3 11738

This theorem is referenced by: (None)