Theorem ex-pss 29671

Description: Example for df-pss 3967. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pss	⊢ {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

Proof of Theorem ex-pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-ss 29670	. 2 ⊢ {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}
2		3ex 12291	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ V
3	2	tpid3 4777	. . . 4 ⊢ 3 ∈ {1, 2, 3}
4		1re 11211	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt3 12382	. . . . . 6 ⊢ 1 < 3
6	4, 5	gtneii 11323	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 1
7		2re 12283	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt3 12381	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
9	7, 8	gtneii 11323	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
10	6, 9	nelpri 4657	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 2}
11		nelne1 3040	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ {1, 2, 3} ∧ ¬ 3 ∈ {1, 2}) → {1, 2, 3} ≠ {1, 2})
12	3, 10, 11	mp2an 691	. . 3 ⊢ {1, 2, 3} ≠ {1, 2}
13	12	necomi 2996	. 2 ⊢ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}
14		df-pss 3967	. 2 ⊢ ({1, 2} ⊊ {1, 2, 3} ↔ ({1, 2} ⊆ {1, 2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}))
15	1, 13, 14	mpbir2an 710	1 ⊢ {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ⊆ wss 3948   ⊊ wpss 3949  {cpr 4630  {ctp 4632  1c1 11108  2c2 12264  3c3 12265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-2 12272  df-3 12273

This theorem is referenced by: (None)