Theorem ex-pss 30684

Description: Example for df-pss 3927. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pss	⊢ {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

Proof of Theorem ex-pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-ss 30683	. 2 ⊢ {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}
2		3ex 12311	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ V
3	2	tpid3 4735	. . . 4 ⊢ 3 ∈ {1, 2, 3}
4		1re 11196	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt3 12404	. . . . . 6 ⊢ 1 < 3
6	4, 5	gtneii 11310	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 1
7		2re 12303	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt3 12402	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
9	7, 8	gtneii 11310	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
10	6, 9	nelpri 4617	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 2}
11		nelne1 3057	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ {1, 2, 3} ∧ ¬ 3 ∈ {1, 2}) → {1, 2, 3} ≠ {1, 2})
12	3, 10, 11	mp2an 704	. . 3 ⊢ {1, 2, 3} ≠ {1, 2}
13	12	necomi 3014	. 2 ⊢ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}
14		df-pss 3927	. 2 ⊢ ({1, 2} ⊊ {1, 2, 3} ↔ ({1, 2} ⊆ {1, 2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}))
15	1, 13, 14	mpbir2an 723	1 ⊢ {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3907   ⊊ wpss 3908  {cpr 4587  {ctp 4589  1c1 11089  2c2 12283  3c3 12284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-2 12291  df-3 12292

This theorem is referenced by: (None)