MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-pss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-pss 27747
Description: Example for df-pss 3750. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-pss {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

Proof of Theorem ex-pss
StepHypRef Expression
1 ex-ss 27746 . 2 {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}
2 3ex 11357 . . . . 5 3 ∈ V
32tpid3 4463 . . . 4 3 ∈ {1, 2, 3}
4 1re 10295 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 1lt3 11453 . . . . . 6 1 < 3
64, 5gtneii 10405 . . . . 5 3 ≠ 1
7 2re 11348 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
8 2lt3 11452 . . . . . 6 2 < 3
97, 8gtneii 10405 . . . . 5 3 ≠ 2
106, 9nelpri 4361 . . . 4 ¬ 3 ∈ {1, 2}
11 nelne1 3033 . . . 4 ((3 ∈ {1, 2, 3} ∧ ¬ 3 ∈ {1, 2}) → {1, 2, 3} ≠ {1, 2})
123, 10, 11mp2an 683 . . 3 {1, 2, 3} ≠ {1, 2}
1312necomi 2991 . 2 {1, 2} ≠ {1, 2, 3}
14 df-pss 3750 . 2 ({1, 2} ⊊ {1, 2, 3} ↔ ({1, 2} ⊆ {1, 2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}))
151, 13, 14mpbir2an 702 1 {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2155  wne 2937  wss 3734  wpss 3735  {cpr 4338  {ctp 4340  1c1 10192  2c2 11329  3c3 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-2 11337  df-3 11338
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator