MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crth 15948
Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps 𝑥 to its remainder classes mod 𝑀 and mod 𝑁 is 1-1 and onto when 𝑀 and 𝑁 are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crth.1 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
crth.2 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
crth.3 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
crth.4 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
Assertion
Ref Expression
crth (𝜑𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem crth
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 12892 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2 crth.1 . . . . . 6 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
31, 2eleq2s 2903 . . . . 5 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℤ)
4 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
5 crth.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
65simp1d 1135 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℕ)
8 zmodfzo 13116 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
94, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
105simp2d 1136 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 zmodfzo 13116 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
134, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
149, 13opelxpd 5488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
15 crth.2 . . . . . 6 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
1614, 15syl6eleqr 2896 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑇)
173, 16sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑇)
18 crth.3 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
1917, 18fmptd 6748 . . 3 (𝜑𝐹:𝑆𝑇)
20 oveq1 7030 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑦 mod 𝑀))
21 oveq1 7030 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
2220, 21opeq12d 4724 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
23 opex 5255 . . . . . . . . 9 ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ ∈ V
2422, 18, 23fvmpt 6642 . . . . . . . 8 (𝑦𝑆 → (𝐹𝑦) = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
2524ad2antrl 724 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑦) = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
26 oveq1 7030 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀))
27 oveq1 7030 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
2826, 27opeq12d 4724 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
29 opex 5255 . . . . . . . . 9 ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ∈ V
3028, 18, 29fvmpt 6642 . . . . . . . 8 (𝑧𝑆 → (𝐹𝑧) = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
3130ad2antll 725 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑧) = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
3225, 31eqeq12d 2812 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩))
33 ovex 7055 . . . . . . 7 (𝑦 mod 𝑀) ∈ V
34 ovex 7055 . . . . . . 7 (𝑦 mod 𝑁) ∈ V
3533, 34opth 5267 . . . . . 6 (⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)))
3632, 35syl6bb 288 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))))
376adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3837nnzd 11940 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3910adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4039nnzd 11940 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦𝑆)
4241, 2syl6eleq 2895 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
43 elfzoelz 12892 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝑆)
4645, 2syl6eleq 2895 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
47 elfzoelz 12892 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℤ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℤ)
4944, 48zsubcld 11946 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
505simp3d 1137 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
5150adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
52 coprmdvds2 15831 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑧) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 ∥ (𝑦𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
5338, 40, 49, 51, 52syl31anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑀 ∥ (𝑦𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
54 moddvds 15455 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝑦𝑧)))
5537, 44, 48, 54syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝑦𝑧)))
56 moddvds 15455 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)))
5739, 44, 48, 56syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)))
5855, 57anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)) ↔ (𝑀 ∥ (𝑦𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧))))
5944zred 11941 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6037, 39nnmulcld 11544 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
6160nnrpd 12283 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ+)
62 elfzole1 12900 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 0 ≤ 𝑦)
6342, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 0 ≤ 𝑦)
64 elfzolt2 12901 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))
6542, 64syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))
66 modid 13118 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦𝑦 < (𝑀 · 𝑁))) → (𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑦)
6759, 61, 63, 65, 66syl22anc 835 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑦)
6848zred 11941 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℝ)
69 elfzole1 12900 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 0 ≤ 𝑧)
7046, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 0 ≤ 𝑧)
71 elfzolt2 12901 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))
7246, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))
73 modid 13118 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑧𝑧 < (𝑀 · 𝑁))) → (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑧)
7468, 61, 70, 72, 73syl22anc 835 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑧)
7567, 74eqeq12d 2812 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ 𝑦 = 𝑧))
76 moddvds 15455 . . . . . . . 8 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
7760, 44, 48, 76syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
7875, 77bitr3d 282 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
7953, 58, 783imtr4d 295 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)) → 𝑦 = 𝑧))
8036, 79sylbid 241 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
8180ralrimivva 3160 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
82 dff13 6885 . . 3 (𝐹:𝑆1-1𝑇 ↔ (𝐹:𝑆𝑇 ∧ ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
8319, 81, 82sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝐹:𝑆1-1𝑇)
84 nnnn0 11758 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
85 nnnn0 11758 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
86 nn0mulcl 11787 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
87 hashfzo0 13643 . . . . . . . . 9 ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
8886, 87syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
89 fzofi 13196 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑀) ∈ Fin
90 fzofi 13196 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ∈ Fin
91 hashxp 13647 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))))
9289, 90, 91mp2an 688 . . . . . . . . 9 (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁)))
93 hashfzo0 13643 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
94 hashfzo0 13643 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
9593, 94oveqan12d 7042 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
9692, 95syl5eq 2845 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
9788, 96eqtr4d 2836 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
98 fzofi 13196 . . . . . . . 8 (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin
99 xpfi 8642 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin)
10089, 90, 99mp2an 688 . . . . . . . 8 ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin
101 hashen 13561 . . . . . . . 8 (((0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin) → ((♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) ↔ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
10298, 100, 101mp2an 688 . . . . . . 7 ((♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) ↔ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
10397, 102sylib 219 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
10484, 85, 103syl2an 595 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
1056, 10, 104syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
106105, 2, 153brtr4g 5002 . . 3 (𝜑𝑆𝑇)
10715, 100eqeltri 2881 . . 3 𝑇 ∈ Fin
108 f1finf1o 8598 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ∈ Fin) → (𝐹:𝑆1-1𝑇𝐹:𝑆1-1-onto𝑇))
109106, 107, 108sylancl 586 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝑆1-1𝑇𝐹:𝑆1-1-onto𝑇))
11083, 109mpbid 233 1 (𝜑𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  cop 4484   class class class wbr 4968  cmpt 5047   × cxp 5448  wf 6228  1-1wf1 6229  1-1-ontowf1o 6231  cfv 6232  (class class class)co 7023  cen 8361  Fincfn 8364  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   · cmul 10395   < clt 10528  cle 10529  cmin 10723  cn 11492  0cn0 11751  cz 11835  +crp 12243  ..^cfzo 12887   mod cmo 13091  chash 13544  cdvds 15444   gcd cgcd 15680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-dju 9183  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-dvds 15445  df-gcd 15681
This theorem is referenced by:  phimullem  15949
  Copyright terms: Public domain W3C validator