MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crth 16738
Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps 𝑥 to its remainder classes mod 𝑀 and mod 𝑁 is 1-1 and onto when 𝑀 and 𝑁 are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crth.1 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
crth.2 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
crth.3 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
crth.4 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
Assertion
Ref Expression
crth (𝜑𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem crth
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13656 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2 crth.1 . . . . . 6 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
31, 2eleq2s 2846 . . . . 5 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℤ)
4 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
5 crth.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
65simp1d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℕ)
8 zmodfzo 13883 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
94, 7, 8syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
105simp2d 1141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 zmodfzo 13883 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
134, 11, 12syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
149, 13opelxpd 5711 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
15 crth.2 . . . . . 6 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
1614, 15eleqtrrdi 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑇)
173, 16sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑇)
18 crth.3 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
1917, 18fmptd 7118 . . 3 (𝜑𝐹:𝑆𝑇)
20 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑦 mod 𝑀))
21 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
2220, 21opeq12d 4877 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
23 opex 5460 . . . . . . . . 9 ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ ∈ V
2422, 18, 23fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (𝑦𝑆 → (𝐹𝑦) = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
2524ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑦) = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
26 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀))
27 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
2826, 27opeq12d 4877 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
29 opex 5460 . . . . . . . . 9 ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ∈ V
3028, 18, 29fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (𝑧𝑆 → (𝐹𝑧) = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
3130ad2antll 728 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑧) = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
3225, 31eqeq12d 2743 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩))
33 ovex 7447 . . . . . . 7 (𝑦 mod 𝑀) ∈ V
34 ovex 7447 . . . . . . 7 (𝑦 mod 𝑁) ∈ V
3533, 34opth 5472 . . . . . 6 (⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)))
3632, 35bitrdi 287 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))))
376adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3837nnzd 12607 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3910adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4039nnzd 12607 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦𝑆)
4241, 2eleqtrdi 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
43 elfzoelz 13656 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝑆)
4645, 2eleqtrdi 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
47 elfzoelz 13656 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℤ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℤ)
4944, 48zsubcld 12693 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
505simp3d 1142 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
5150adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
52 coprmdvds2 16616 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑧) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 ∥ (𝑦𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
5338, 40, 49, 51, 52syl31anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑀 ∥ (𝑦𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
54 moddvds 16233 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝑦𝑧)))
5537, 44, 48, 54syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝑦𝑧)))
56 moddvds 16233 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)))
5739, 44, 48, 56syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)))
5855, 57anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)) ↔ (𝑀 ∥ (𝑦𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧))))
5944zred 12688 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6037, 39nnmulcld 12287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
6160nnrpd 13038 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ+)
62 elfzole1 13664 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 0 ≤ 𝑦)
6342, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 0 ≤ 𝑦)
64 elfzolt2 13665 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))
6542, 64syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))
66 modid 13885 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦𝑦 < (𝑀 · 𝑁))) → (𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑦)
6759, 61, 63, 65, 66syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑦)
6848zred 12688 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℝ)
69 elfzole1 13664 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 0 ≤ 𝑧)
7046, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 0 ≤ 𝑧)
71 elfzolt2 13665 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))
7246, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))
73 modid 13885 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑧𝑧 < (𝑀 · 𝑁))) → (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑧)
7468, 61, 70, 72, 73syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑧)
7567, 74eqeq12d 2743 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ 𝑦 = 𝑧))
76 moddvds 16233 . . . . . . . 8 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
7760, 44, 48, 76syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
7875, 77bitr3d 281 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
7953, 58, 783imtr4d 294 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)) → 𝑦 = 𝑧))
8036, 79sylbid 239 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
8180ralrimivva 3195 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
82 dff13 7259 . . 3 (𝐹:𝑆1-1𝑇 ↔ (𝐹:𝑆𝑇 ∧ ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
8319, 81, 82sylanbrc 582 . 2 (𝜑𝐹:𝑆1-1𝑇)
84 nnnn0 12501 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
85 nnnn0 12501 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
86 nn0mulcl 12530 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
87 hashfzo0 14413 . . . . . . . . 9 ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
8886, 87syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
89 fzofi 13963 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑀) ∈ Fin
90 fzofi 13963 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ∈ Fin
91 hashxp 14417 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))))
9289, 90, 91mp2an 691 . . . . . . . . 9 (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁)))
93 hashfzo0 14413 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
94 hashfzo0 14413 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
9593, 94oveqan12d 7433 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
9692, 95eqtrid 2779 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
9788, 96eqtr4d 2770 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
98 fzofi 13963 . . . . . . . 8 (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin
99 xpfi 9333 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin)
10089, 90, 99mp2an 691 . . . . . . . 8 ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin
101 hashen 14330 . . . . . . . 8 (((0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin) → ((♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) ↔ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
10298, 100, 101mp2an 691 . . . . . . 7 ((♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) ↔ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
10397, 102sylib 217 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
10484, 85, 103syl2an 595 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
1056, 10, 104syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
106105, 2, 153brtr4g 5176 . . 3 (𝜑𝑆𝑇)
10715, 100eqeltri 2824 . . 3 𝑇 ∈ Fin
108 f1finf1o 9287 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ∈ Fin) → (𝐹:𝑆1-1𝑇𝐹:𝑆1-1-onto𝑇))
109106, 107, 108sylancl 585 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝑆1-1𝑇𝐹:𝑆1-1-onto𝑇))
11083, 109mpbid 231 1 (𝜑𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  cop 4630   class class class wbr 5142  cmpt 5225   × cxp 5670  wf 6538  1-1wf1 6539  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542  (class class class)co 7414  cen 8952  Fincfn 8955  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   · cmul 11135   < clt 11270  cle 11271  cmin 11466  cn 12234  0cn0 12494  cz 12580  +crp 12998  ..^cfzo 13651   mod cmo 13858  chash 14313  cdvds 16222   gcd cgcd 16460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461
This theorem is referenced by:  phimullem  16739
  Copyright terms: Public domain W3C validator