Theorem crth 16724

Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps 𝑥 to its remainder classes mod 𝑀 and mod 𝑁 is 1-1 and onto when 𝑀 and 𝑁 are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
crth.1	⊢ 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
crth.2	⊢ 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
crth.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
crth.4	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))

Assertion

Ref	Expression
crth	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆–1-1-onto→𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem crth

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13596	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2		crth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
3	1, 2	eleq2s 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ℤ)
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
5		crth.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
6	5	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℕ)
8		zmodfzo 13832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
9	4, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
10	5	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		zmodfzo 13832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
13	4, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
14	9, 13	opelxpd 5670	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
15		crth.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
16	14, 15	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑇)
17	3, 16	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑇)
18		crth.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
19	17, 18	fmptd 7068	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑇)
20		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑦 mod 𝑀))
21		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
22	20, 21	opeq12d 4841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
23		opex 5419	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
25	24	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘𝑦) = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
26		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀))
27		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
28	26, 27	opeq12d 4841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
29		opex 5419	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ∈ V
30	28, 18, 29	fvmpt 6950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
31	30	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘𝑧) = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
32	25, 31	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩))
33		ovex 7402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 mod 𝑀) ∈ V
34		ovex 7402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 mod 𝑁) ∈ V
35	33, 34	opth 5431	. . . . . 6 ⊢ (⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)))
36	32, 35	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))))
37	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℤ)
39	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ)
40	39	nnzd 12532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
42	41, 2	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
43		elfzoelz 13596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑦 ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
46	45, 2	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
47		elfzoelz 13596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℤ)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ ℤ)
49	44, 48	zsubcld 12619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
50	5	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
52		coprmdvds2 16600	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 ∥ (𝑦 − 𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝑧)) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦 − 𝑧)))
53	38, 40, 49, 51, 52	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑀 ∥ (𝑦 − 𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝑧)) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦 − 𝑧)))
54		moddvds 16209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
55	37, 44, 48, 54	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
56		moddvds 16209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
57	39, 44, 48, 56	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
58	55, 57	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)) ↔ (𝑀 ∥ (𝑦 − 𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝑧))))
59	44	zred 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ℝ)
60	37, 39	nnmulcld 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
61	60	nnrpd 12969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ+)
62		elfzole1 13604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 0 ≤ 𝑦)
63	42, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 0 ≤ 𝑦)
64		elfzolt2 13605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))
65	42, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))
66		modid 13834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))) → (𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑦)
67	59, 61, 63, 65, 66	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑦)
68	48	zred 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ ℝ)
69		elfzole1 13604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 0 ≤ 𝑧)
70	46, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 0 ≤ 𝑧)
71		elfzolt2 13605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))
72	46, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))
73		modid 13834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))) → (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑧)
74	68, 61, 70, 72, 73	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑧)
75	67, 74	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ 𝑦 = 𝑧))
76		moddvds 16209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦 − 𝑧)))
77	60, 44, 48, 76	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦 − 𝑧)))
78	75, 77	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦 − 𝑧)))
79	53, 58, 78	3imtr4d 294	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)) → 𝑦 = 𝑧))
80	36, 79	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
81	80	ralrimivva 3178	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
82		dff13 7211	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑆–1-1→𝑇 ↔ (𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
83	19, 81, 82	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆–1-1→𝑇)
84		nnnn0 12425	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
85		nnnn0 12425	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
86		nn0mulcl 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
87		hashfzo0 14371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
89		fzofi 13915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
90		fzofi 13915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
91		hashxp 14375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))))
92	89, 90, 91	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁)))
93		hashfzo0 14371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
94		hashfzo0 14371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
95	93, 94	oveqan12d 7388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
96	92, 95	eqtrid 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
97	88, 96	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
98		fzofi 13915	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin
99		xpfi 9245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin)
100	89, 90, 99	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin
101		hashen 14288	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin) → ((♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) ↔ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
102	98, 100, 101	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) ↔ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
103	97, 102	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
104	84, 85, 103	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
105	6, 10, 104	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
106	105, 2, 15	3brtr4g 5136	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)
107	15, 100	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
108		f1finf1o 9192	. . 3 ⊢ ((𝑆 ≈ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝐹:𝑆–1-1→𝑇 ↔ 𝐹:𝑆–1-1-onto→𝑇))
109	106, 107, 108	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑆–1-1→𝑇 ↔ 𝐹:𝑆–1-1-onto→𝑇))
110	83, 109	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆–1-1-onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  ⟶wf 6495  –1-1→wf1 6496  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ≈ cen 8892  Fincfn 8895  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ℝ⁺crp 12927  ..^cfzo 13591   mod cmo 13807  ♯chash 14271   ∥ cdvds 16198   gcd cgcd 16440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441

This theorem is referenced by:  phimullem  16725