Theorem crth 16948

Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps 𝑥 to its remainder classes mod 𝑀 and mod 𝑁 is 1-1 and onto when 𝑀 and 𝑁 are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
crth.1	⊢ 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
crth.2	⊢ 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
crth.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
crth.4	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))

Assertion

Ref	Expression
crth	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆–1-1-onto→𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem crth

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13786	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2		crth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
3	1, 2	eleq2s 2879	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ℤ)
4		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
5		crth.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
6	5	simp1d 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℕ)
8		zmodfzo 14027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
9	4, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
10	5	simp2d 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		zmodfzo 14027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
13	4, 11, 12	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
14	9, 13	opelxpd 5690	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
15		crth.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
16	14, 15	eleqtrrdi 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑇)
17	3, 16	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑇)
18		crth.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
19	17, 18	fmptd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑇)
20		oveq1 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑦 mod 𝑀))
21		oveq1 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
22	20, 21	opeq12d 4841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
23		opex 5432	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
25	24	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘𝑦) = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
26		oveq1 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀))
27		oveq1 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
28	26, 27	opeq12d 4841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
29		opex 5432	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ∈ V
30	28, 18, 29	fvmpt 6991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
31	30	ad2antll 742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘𝑧) = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
32	25, 31	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩))
33		ovex 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 mod 𝑀) ∈ V
34		ovex 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 mod 𝑁) ∈ V
35	33, 34	opth 5445	. . . . . 6 ⊢ (⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)))
36	32, 35	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))))
37	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℤ)
39	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ)
40	39	nnzd 12712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
42	41, 2	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
43		elfzoelz 13786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑦 ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
46	45, 2	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
47		elfzoelz 13786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℤ)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ ℤ)
49	44, 48	zsubcld 12801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
50	5	simp3d 1162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
51	50	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
52		coprmdvds2 16822	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 ∥ (𝑦 − 𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝑧)) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦 − 𝑧)))
53	38, 40, 49, 51, 52	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑀 ∥ (𝑦 − 𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝑧)) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦 − 𝑧)))
54		moddvds 16426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
55	37, 44, 48, 54	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
56		moddvds 16426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
57	39, 44, 48, 56	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
58	55, 57	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)) ↔ (𝑀 ∥ (𝑦 − 𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝑧))))
59	44	zred 12796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ℝ)
60	37, 39	nnmulcld 12384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
61	60	nnrpd 13155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ+)
62		elfzole1 13795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 0 ≤ 𝑦)
63	42, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 0 ≤ 𝑦)
64		elfzolt2 13796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))
65	42, 64	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))
66		modid 14029	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))) → (𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑦)
67	59, 61, 63, 65, 66	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑦)
68	48	zred 12796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ ℝ)
69		elfzole1 13795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 0 ≤ 𝑧)
70	46, 69	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 0 ≤ 𝑧)
71		elfzolt2 13796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))
72	46, 71	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))
73		modid 14029	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))) → (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑧)
74	68, 61, 70, 72, 73	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑧)
75	67, 74	eqeq12d 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ 𝑦 = 𝑧))
76		moddvds 16426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦 − 𝑧)))
77	60, 44, 48, 76	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦 − 𝑧)))
78	75, 77	bitr3d 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦 − 𝑧)))
79	53, 58, 78	3imtr4d 297	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)) → 𝑦 = 𝑧))
80	36, 79	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
81	80	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
82		dff13 7256	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑆–1-1→𝑇 ↔ (𝐹:𝑆⟶𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
83	19, 81, 82	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆–1-1→𝑇)
84		nnnn0 12606	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
85		nnnn0 12606	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
86		nn0mulcl 12635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
87		hashfzo0 14568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
88	86, 87	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
89		fzofi 14110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
90		fzofi 14110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
91		hashxp 14572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))))
92	89, 90, 91	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁)))
93		hashfzo0 14568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
94		hashfzo0 14568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
95	93, 94	oveqan12d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
96	92, 95	eqtrid 2808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
97	88, 96	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
98		fzofi 14110	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin
99		xpfi 9304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin)
100	89, 90, 99	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin
101		hashen 14484	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin) → ((♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) ↔ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
102	98, 100, 101	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) ↔ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
103	97, 102	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
104	84, 85, 103	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
105	6, 10, 104	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
106	105, 2, 15	3brtr4g 5139	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)
107	15, 100	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
108		f1finf1o 9257	. . 3 ⊢ ((𝑆 ≈ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝐹:𝑆–1-1→𝑇 ↔ 𝐹:𝑆–1-1-onto→𝑇))
109	106, 107, 108	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑆–1-1→𝑇 ↔ 𝐹:𝑆–1-1-onto→𝑇))
110	83, 109	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆–1-1-onto→𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ≈ cen 8963  Fincfn 8966  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ℝ⁺crp 13113  ..^cfzo 13781   mod cmo 14002  ♯chash 14467   ∥ cdvds 16415   gcd cgcd 16657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-gcd 16658

This theorem is used by:  phimullem  16949