MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crth 16740
Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps ๐‘ฅ to its remainder classes mod ๐‘€ and mod ๐‘ is 1-1 and onto when ๐‘€ and ๐‘ are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crth.1 ๐‘† = (0..^(๐‘€ ยท ๐‘))
crth.2 ๐‘‡ = ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))
crth.3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ)
crth.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
Assertion
Ref Expression
crth (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐‘ฅ,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem crth
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13658 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
2 crth.1 . . . . . 6 ๐‘† = (0..^(๐‘€ ยท ๐‘))
31, 2eleq2s 2847 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
4 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
5 crth.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
65simp1d 1140 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
8 zmodfzo 13885 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘€) โˆˆ (0..^๐‘€))
94, 7, 8syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘€) โˆˆ (0..^๐‘€))
105simp2d 1141 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
12 zmodfzo 13885 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘))
134, 11, 12syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘))
149, 13opelxpd 5711 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)))
15 crth.2 . . . . . 6 ๐‘‡ = ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))
1614, 15eleqtrrdi 2840 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ ๐‘‡)
173, 16sylan2 592 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ ๐‘‡)
18 crth.3 . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ)
1917, 18fmptd 7118 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘†โŸถ๐‘‡)
20 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘€) = (๐‘ฆ mod ๐‘€))
21 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘) = (๐‘ฆ mod ๐‘))
2220, 21opeq12d 4877 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ)
23 opex 5460 . . . . . . . . 9 โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ V
2422, 18, 23fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ)
2524ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ)
26 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€))
27 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘))
2826, 27opeq12d 4877 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ)
29 opex 5460 . . . . . . . . 9 โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ V
3028, 18, 29fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ)
3130ad2antll 728 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ)
3225, 31eqeq12d 2744 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ))
33 ovex 7447 . . . . . . 7 (๐‘ฆ mod ๐‘€) โˆˆ V
34 ovex 7447 . . . . . . 7 (๐‘ฆ mod ๐‘) โˆˆ V
3533, 34opth 5472 . . . . . 6 (โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ โ†” ((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘)))
3632, 35bitrdi 287 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” ((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘))))
376adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3837nnzd 12609 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3910adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4039nnzd 12609 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
41 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)
4241, 2eleqtrdi 2839 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)))
43 elfzoelz 13658 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
45 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)
4645, 2eleqtrdi 2839 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)))
47 elfzoelz 13658 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
4944, 48zsubcld 12695 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
505simp3d 1142 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
5150adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
52 coprmdvds2 16618 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
5338, 40, 49, 51, 52syl31anc 1371 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
54 moddvds 16235 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
5537, 44, 48, 54syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
56 moddvds 16235 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
5739, 44, 48, 56syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
5855, 57anbi12d 631 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘)) โ†” (๐‘€ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง))))
5944zred 12690 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
6037, 39nnmulcld 12289 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
6160nnrpd 13040 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
62 elfzole1 13666 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฆ)
6342, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฆ)
64 elfzolt2 13667 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ < (๐‘€ ยท ๐‘))
6542, 64syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ < (๐‘€ ยท ๐‘))
66 modid 13887 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < (๐‘€ ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ฆ mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘ฆ)
6759, 61, 63, 65, 66syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฆ mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘ฆ)
6848zred 12690 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
69 elfzole1 13666 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ง)
7046, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ง)
71 elfzolt2 13667 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ง < (๐‘€ ยท ๐‘))
7246, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง < (๐‘€ ยท ๐‘))
73 modid 13887 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (๐‘€ ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ง mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘ง)
7468, 61, 70, 72, 73syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ง mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘ง)
7567, 74eqeq12d 2744 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ฆ mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘ง mod (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
76 moddvds 16235 . . . . . . . 8 (((๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘ง mod (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†” (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
7760, 44, 48, 76syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ฆ mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘ง mod (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†” (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
7875, 77bitr3d 281 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†” (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
7953, 58, 783imtr4d 294 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
8036, 79sylbid 239 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
8180ralrimivva 3196 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
82 dff13 7259 . . 3 (๐น:๐‘†โ€“1-1โ†’๐‘‡ โ†” (๐น:๐‘†โŸถ๐‘‡ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง)))
8319, 81, 82sylanbrc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘†โ€“1-1โ†’๐‘‡)
84 nnnn0 12503 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
85 nnnn0 12503 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
86 nn0mulcl 12532 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
87 hashfzo0 14415 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
8886, 87syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
89 fzofi 13965 . . . . . . . . . 10 (0..^๐‘€) โˆˆ Fin
90 fzofi 13965 . . . . . . . . . 10 (0..^๐‘) โˆˆ Fin
91 hashxp 14419 . . . . . . . . . 10 (((0..^๐‘€) โˆˆ Fin โˆง (0..^๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘))))
9289, 90, 91mp2an 691 . . . . . . . . 9 (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘)))
93 hashfzo0 14415 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) = ๐‘€)
94 hashfzo0 14415 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘)) = ๐‘)
9593, 94oveqan12d 7433 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
9692, 95eqtrid 2780 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
9788, 96eqtr4d 2771 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(๐‘€ ยท ๐‘))) = (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))))
98 fzofi 13965 . . . . . . . 8 (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ Fin
99 xpfi 9335 . . . . . . . . 9 (((0..^๐‘€) โˆˆ Fin โˆง (0..^๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)) โˆˆ Fin)
10089, 90, 99mp2an 691 . . . . . . . 8 ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)) โˆˆ Fin
101 hashen 14332 . . . . . . . 8 (((0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ Fin โˆง ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^(๐‘€ ยท ๐‘))) = (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))) โ†” (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ‰ˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))))
10298, 100, 101mp2an 691 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜(0..^(๐‘€ ยท ๐‘))) = (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))) โ†” (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ‰ˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)))
10397, 102sylib 217 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ‰ˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)))
10484, 85, 103syl2an 595 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ‰ˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)))
1056, 10, 104syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ‰ˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)))
106105, 2, 153brtr4g 5176 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰ˆ ๐‘‡)
10715, 100eqeltri 2825 . . 3 ๐‘‡ โˆˆ Fin
108 f1finf1o 9289 . . 3 ((๐‘† โ‰ˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โˆˆ Fin) โ†’ (๐น:๐‘†โ€“1-1โ†’๐‘‡ โ†” ๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡))
109106, 107, 108sylancl 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐‘†โ€“1-1โ†’๐‘‡ โ†” ๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡))
11083, 109mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3057  โŸจcop 4630   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225   ร— cxp 5670  โŸถwf 6538  โ€“1-1โ†’wf1 6539  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6541  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โ‰ˆ cen 8954  Fincfn 8957  โ„cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   ยท cmul 11137   < clt 11272   โ‰ค cle 11273   โˆ’ cmin 11468  โ„•cn 12236  โ„•0cn0 12496  โ„คcz 12582  โ„+crp 13000  ..^cfzo 13653   mod cmo 13860  โ™ฏchash 14315   โˆฅ cdvds 16224   gcd cgcd 16462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-gcd 16463
This theorem is referenced by:  phimullem  16741
  Copyright terms: Public domain W3C validator