Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdivpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdivpm 44883
Description: The quotient of two functions into the complex numbers is a partial function. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fdivpm ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))

Proof of Theorem fdivpm
StepHypRef Expression
1 cnex 10616 . . 3 ℂ ∈ V
21a1i 11 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → ℂ ∈ V)
3 simp3 1135 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
4 fdivmptf 44881 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ)
5 suppssdm 7839 . . 3 (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
6 fdm 6511 . . . . 5 (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
76eqcomd 2830 . . . 4 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐴 = dom 𝐺)
873ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
95, 8sseqtrrid 4006 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
10 elpm2r 8420 . 2 (((ℂ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) ∧ ((𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)) → (𝐹 /f 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
112, 3, 4, 9, 10syl22anc 837 1 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  wss 3919  dom cdm 5542  wf 6339  (class class class)co 7149   supp csupp 7826  pm cpm 8403  cc 10533  0cc0 10535   /f cfdiv 44877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-supp 7827  df-er 8285  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-fdiv 44878
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator