Theorem fdivpm 49860

Description: The quotient of two functions into the complex numbers is a partial function. (Contributed by AV, 16-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fdivpm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))

Proof of Theorem fdivpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11308	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ℂ ∈ V)
3		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		fdivmptf 49858	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ)
5		suppssdm 8222	. . 3 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
6		fdm 6741	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
7	6	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐴 = dom 𝐺)
8	7	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
9	5, 8	sseqtrrid 3956	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
10		elpm2r 8893	. 2 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)) → (𝐹 /f 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
11	2, 3, 4, 9, 10	syl22anc 852	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  (class class class)co 7443   supp csupp 8204   ↑_pm cpm 8876  ℂcc 11225  0cc0 11227   /_f cfdiv 49854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-supp 8205  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-fdiv 49855

This theorem is used by: (None)