Theorem fdivpm 48785

Description: The quotient of two functions into the complex numbers is a partial function. (Contributed by AV, 16-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fdivpm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))

Proof of Theorem fdivpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11107	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ℂ ∈ V)
3		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		fdivmptf 48783	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ)
5		suppssdm 8119	. . 3 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
6		fdm 6671	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
7	6	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐴 = dom 𝐺)
8	7	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
9	5, 8	sseqtrrid 3977	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
10		elpm2r 8782	. 2 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)) → (𝐹 /f 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
11	2, 3, 4, 9, 10	syl22anc 838	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   ↑_pm cpm 8764  ℂcc 11024  0cc0 11026   /_f cfdiv 48779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-supp 8103  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-fdiv 48780

This theorem is referenced by: (None)