Theorem fin1a2lem8 10324

Description: Lemma for fin1a2 10332. Split a III-infinite set in two pieces. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem8	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII)) → 𝐴 ∈ FinIII)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fin1a2lem8

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ω ↦ (2o ·o 𝑦)) = (𝑦 ∈ ω ↦ (2o ·o 𝑦))
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ On ↦ suc 𝑦) = (𝑦 ∈ On ↦ suc 𝑦)
3	1, 2	fin1a2lem7 10323	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII)) → 𝐴 ∈ FinIII)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887  𝒫 cpw 4542   ↦ cmpt 5167  Oncon0 6319  suc csuc 6321  (class class class)co 7362  ωcom 7812  2_oc2o 8394   ·_o comu 8398  Fin^IIIcfin3 10198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-seqom 8382  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-omul 8405  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-wdom 9475  df-card 9858  df-fin4 10204  df-fin3 10205

This theorem is referenced by:  fin1a2s  10331