Theorem fiufl 24102

Description: A finite set satisfies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fiufl	⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ UFL)

Proof of Theorem fiufl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwfi 9281	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
2		pwfi 9281	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
3		finnum 9946	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ Fin → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
4		numufl 24101	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ UFL)
6	2, 5	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ UFL)
7	1, 6	sylbi 220	1 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ UFL)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  𝒫 cpw 4564  dom cdm 5663  Fincfn 8945  cardccrd 9933  UFLcufl 24086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-rpss 7726  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-fin 8949  df-fi 9374  df-dju 9899  df-card 9937  df-fbas 21548  df-fg 21549  df-fil 24032  df-ufil 24087  df-ufl 24088

This theorem is used by: (None)