Theorem fiufl 24034

Description: A finite set satisfies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fiufl	⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ UFL)

Proof of Theorem fiufl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwfi 9266	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
2		pwfi 9266	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
3		finnum 9922	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ Fin → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
4		numufl 24033	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ UFL)
6	2, 5	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ UFL)
7	1, 6	sylbi 220	1 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ UFL)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  𝒫 cpw 4558  dom cdm 5652  Fincfn 8931  cardccrd 9909  UFLcufl 24018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-rpss 7710  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-fin 8935  df-fi 9359  df-dju 9875  df-card 9913  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-fil 23964  df-ufil 24019  df-ufl 24020

This theorem is referenced by: (None)