MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiufl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiufl 22128
Description: A finite set satisfies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fiufl (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ UFL)

Proof of Theorem fiufl
StepHypRef Expression
1 pwfi 8549 . 2 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
2 pwfi 8549 . . 3 (𝒫 𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
3 finnum 9107 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ Fin → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
4 numufl 22127 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)
53, 4syl 17 . . 3 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ UFL)
62, 5sylbi 209 . 2 (𝒫 𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ UFL)
71, 6sylbi 209 1 (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ∈ UFL)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  𝒫 cpw 4378  dom cdm 5355  Fincfn 8241  cardccrd 9094  UFLcufl 22112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-rpss 7214  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fi 8605  df-card 9098  df-cda 9325  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-fil 22058  df-ufil 22113  df-ufl 22114
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator