MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numufl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numufl 23770
Description: Consequence of filssufilg 23766: a set whose double powerset is well-orderable satisfies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numufl (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)

Proof of Theorem numufl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filssufilg 23766 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓𝑔)
21ancoms 458 . . 3 ((𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓𝑔)
32ralrimiva 3140 . 2 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓𝑔)
4 pwexr 7748 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
5 pwexb 7749 . . . 4 (𝑋 ∈ V ↔ 𝒫 𝑋 ∈ V)
64, 5sylibr 233 . . 3 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ V)
7 isufl 23768 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓𝑔))
86, 7syl 17 . 2 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → (𝑋 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓𝑔))
93, 8mpbird 257 1 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2098  wral 3055  wrex 3064  Vcvv 3468  wss 3943  𝒫 cpw 4597  dom cdm 5669  cfv 6536  cardccrd 9929  Filcfil 23700  UFilcufil 23754  UFLcufl 23755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-rpss 7709  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-fin 8942  df-fi 9405  df-dju 9895  df-card 9933  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-fil 23701  df-ufil 23756  df-ufl 23757
This theorem is referenced by:  fiufl  23771  acufl  23772
  Copyright terms: Public domain W3C validator