Theorem numufl 23893

Description: Consequence of filssufilg 23889: a set whose double powerset is well-orderable satisfies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numufl	⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)

Proof of Theorem numufl

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filssufilg 23889	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔)
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔)
3	2	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔)
4		pwexr 7713	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
5		pwexb 7714	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V ↔ 𝒫 𝑋 ∈ V)
6	4, 5	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ V)
7		isufl 23891	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → (𝑋 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔))
9	3, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  cardccrd 9853  Filcfil 23823  UFilcufil 23877  UFLcufl 23878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-rpss 7671  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-fin 8891  df-fi 9318  df-dju 9819  df-card 9857  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-fil 23824  df-ufil 23879  df-ufl 23880

This theorem is referenced by:  fiufl  23894  acufl  23895