Theorem numufl 24261

Description: Consequence of filssufilg 24257: a set whose double powerset is well-orderable satisfies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numufl	⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)

Proof of Theorem numufl

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filssufilg 24257	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔)
2	1	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔)
3	2	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔)
4		pwexr 7800	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
5		pwexb 7801	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V ↔ 𝒫 𝑋 ∈ V)
6	4, 5	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ V)
7		isufl 24259	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → (𝑋 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔))
9	3, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  dom cdm 5655  ‘cfv 6555  cardccrd 10040  Filcfil 24191  UFilcufil 24245  UFLcufl 24246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-rpss 7760  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-fin 9002  df-fi 9427  df-dju 10006  df-card 10044  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-fil 24192  df-ufil 24247  df-ufl 24248

This theorem is used by:  fiufl  24262  acufl  24263