Theorem numufl 23976

Description: Consequence of filssufilg 23972: a set whose double powerset is well-orderable satisfies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numufl	⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)

Proof of Theorem numufl

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filssufilg 23972	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔)
2	1	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔)
3	2	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔)
4		pwexr 7749	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
5		pwexb 7750	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V ↔ 𝒫 𝑋 ∈ V)
6	4, 5	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ V)
7		isufl 23974	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → (𝑋 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔))
9	3, 8	mpbird 259	1 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4556  dom cdm 5648  ‘cfv 6522  cardccrd 9894  Filcfil 23906  UFilcufil 23960  UFLcufl 23961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-rpss 7707  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-oadd 8442  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-fin 8932  df-fi 9358  df-dju 9860  df-card 9898  df-fbas 21422  df-fg 21423  df-fil 23907  df-ufil 23962  df-ufl 23963

This theorem is referenced by:  fiufl  23977  acufl  23978