Theorem numufl 23418

Description: Consequence of filssufilg 23414: a set whose double powerset is well-orderable satisfies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numufl	⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)

Proof of Theorem numufl

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filssufilg 23414	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔)
2	1	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔)
3	2	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔)
4		pwexr 7751	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
5		pwexb 7752	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V ↔ 𝒫 𝑋 ∈ V)
6	4, 5	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ V)
7		isufl 23416	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → (𝑋 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓 ⊆ 𝑔))
9	3, 8	mpbird 256	1 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  dom cdm 5676  ‘cfv 6543  cardccrd 9929  Filcfil 23348  UFilcufil 23402  UFLcufl 23403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-rpss 7712  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-fin 8942  df-fi 9405  df-dju 9895  df-card 9933  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-fil 23349  df-ufil 23404  df-ufl 23405

This theorem is referenced by:  fiufl  23419  acufl  23420