Theorem esumadd 33585

Description: Addition of infinite sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumadd.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumadd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumadd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumadd	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 +𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1909	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2897	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		esumadd.0	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		esumadd.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5		esumadd.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6		ge0xaddcl 13442	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
7	4, 5, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
8		xrge0base 32687	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9		xrge0plusg 32689	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10		xrge0cmn 21298	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
12		xrge0tmd 33455	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd)
14	4	fmpttd 7109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
15	5	fmpttd 7109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 4	esumel 33575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
17	1, 2, 3, 5	esumel 33575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
18	8, 9, 11, 13, 3, 14, 15, 16, 17	tsmsadd 24002	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f +𝑒 (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
19		eqidd 2727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
20		eqidd 2727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
21	3, 4, 5, 19, 20	offval2 7686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f +𝑒 (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶)))
22	21	oveq2d 7420	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f +𝑒 (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
23	18, 22	eleqtrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
24	1, 2, 3, 7, 23	esumid 33572	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 +𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224  (class class class)co 7404   ∘_f cof 7664  0cc0 11109  +∞cpnf 11246   +_𝑒 cxad 13093  [,]cicc 13330   ↾_s cress 17180  ℝ^*_𝑠cxrs 17453  CMndccmn 19698  TopMndctmd 23925   tsums ctsu 23981  Σ^*cesum 33555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-ordt 17454  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-ps 18529  df-tsr 18530  df-plusf 18570  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-abv 20658  df-lmod 20706  df-scaf 20707  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-tmd 23927  df-tgp 23928  df-tsms 23982  df-trg 24015  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-nm 24442  df-ngp 24443  df-nrg 24445  df-nlm 24446  df-ii 24748  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747  df-log 26441  df-esum 33556

This theorem is referenced by:  esumle  33586