Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumadd 33681
Description: Addition of infinite sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumadd.0 (𝜑𝐴𝑉)
esumadd.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumadd.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumadd (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐵 +𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumadd
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . 2 𝑘𝜑
2 nfcv 2898 . 2 𝑘𝐴
3 esumadd.0 . 2 (𝜑𝐴𝑉)
4 esumadd.1 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5 esumadd.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6 ge0xaddcl 13477 . . 3 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
74, 5, 6syl2anc 582 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
8 xrge0base 32759 . . . 4 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
9 xrge0plusg 32761 . . . 4 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
10 xrge0cmn 21346 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
12 xrge0tmd 33551 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd)
144fmpttd 7128 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
155fmpttd 7128 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
161, 2, 3, 4esumel 33671 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
171, 2, 3, 5esumel 33671 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
188, 9, 11, 13, 3, 14, 15, 16, 17tsmsadd 24069 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘𝐴𝐵) ∘f +𝑒 (𝑘𝐴𝐶))))
19 eqidd 2728 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵))
20 eqidd 2728 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶))
213, 4, 5, 19, 20offval2 7709 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∘f +𝑒 (𝑘𝐴𝐶)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶)))
2221oveq2d 7440 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘𝐴𝐵) ∘f +𝑒 (𝑘𝐴𝐶))) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
2318, 22eleqtrd 2830 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
241, 2, 3, 7, 23esumid 33668 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐵 +𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5233  (class class class)co 7424  f cof 7687  0cc0 11144  +∞cpnf 11281   +𝑒 cxad 13128  [,]cicc 13365  s cress 17214  *𝑠cxrs 17487  CMndccmn 19740  TopMndctmd 23992   tsums ctsu 24048  Σ*cesum 33651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-mulf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-sin 16051  df-cos 16052  df-pi 16054  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-ordt 17488  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-ps 18563  df-tsr 18564  df-plusf 18604  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-abv 20702  df-lmod 20750  df-scaf 20751  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-tmd 23994  df-tgp 23995  df-tsms 24049  df-trg 24082  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-nm 24509  df-ngp 24510  df-nrg 24512  df-nlm 24513  df-ii 24815  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-esum 33652
This theorem is referenced by:  esumle  33682
  Copyright terms: Public domain W3C validator