Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumaddf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumaddf 33721
Description: Addition of infinite sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumaddf.0 𝑘𝜑
esumaddf.a 𝑘𝐴
esumaddf.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumaddf.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumaddf.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumaddf (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐵 +𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐶))
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumaddf
StepHypRef Expression
1 esumaddf.0 . 2 𝑘𝜑
2 esumaddf.a . 2 𝑘𝐴
3 esumaddf.1 . 2 (𝜑𝐴𝑉)
4 esumaddf.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5 esumaddf.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6 ge0xaddcl 13481 . . 3 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
74, 5, 6syl2anc 582 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
8 xrge0base 32770 . . . 4 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
9 xrge0plusg 32772 . . . 4 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
10 xrge0cmn 21355 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
12 xrge0tmd 33587 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd)
14 nfcv 2899 . . . . 5 𝑘(0[,]+∞)
15 eqid 2728 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
161, 2, 14, 4, 15fmptdF 32471 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
17 eqid 2728 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
181, 2, 14, 5, 17fmptdF 32471 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
191, 2, 3, 4esumel 33707 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
201, 2, 3, 5esumel 33707 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
218, 9, 11, 13, 3, 16, 18, 19, 20tsmsadd 24079 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘𝐴𝐵) ∘f +𝑒 (𝑘𝐴𝐶))))
22 eqidd 2729 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵))
23 eqidd 2729 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶))
241, 2, 3, 4, 5, 22, 23offval2f 7707 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∘f +𝑒 (𝑘𝐴𝐶)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶)))
2524oveq2d 7442 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘𝐴𝐵) ∘f +𝑒 (𝑘𝐴𝐶))) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
2621, 25eleqtrd 2831 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
271, 2, 3, 7, 26esumid 33704 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐵 +𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wnfc 2879  cmpt 5235  (class class class)co 7426  f cof 7690  0cc0 11148  +∞cpnf 11285   +𝑒 cxad 13132  [,]cicc 13369  s cress 17218  *𝑠cxrs 17491  CMndccmn 19749  TopMndctmd 24002   tsums ctsu 24058  Σ*cesum 33687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-pi 16058  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-ordt 17492  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-ps 18567  df-tsr 18568  df-plusf 18608  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-abv 20711  df-lmod 20759  df-scaf 20760  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-tmd 24004  df-tgp 24005  df-tsms 24059  df-trg 24092  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-nm 24519  df-ngp 24520  df-nrg 24522  df-nlm 24523  df-ii 24825  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26518  df-esum 33688
This theorem is referenced by:  esumlef  33722  omssubadd  33961
  Copyright terms: Public domain W3C validator