Theorem ge2halflem1 13054

Description: Half of an integer greater than 1 is less than or equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 1-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ge2halflem1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem ge2halflem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12794	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11170	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
5		eluzle 12796	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
6		2m1e1 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) = 1)
8	7	oveq1d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) · 𝑁) = (1 · 𝑁))
9		eluzelcn 12795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	mullidd 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
11	8, 10	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) · 𝑁) = 𝑁)
12	5, 11	breqtrrd 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((2 − 1) · 𝑁))
13		2cnd 12254	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
14	13, 9	mulsubfacd 11606	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((2 − 1) · 𝑁))
15	12, 14	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((2 · 𝑁) − 𝑁))
16	2, 4, 3, 15	lesubd 11749	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 2))
17	13, 9	muls1d 11605	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 2))
18	16, 17	breqtrrd 5114	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2 · (𝑁 − 1)))
19		1red 11140	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
20	3, 19	resubcld 11573	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
21		2rp 12942	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
23	3, 20, 22	ledivmuld 13034	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑁 ≤ (2 · (𝑁 − 1))))
24	18, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  1c1 11034   · cmul 11038   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  2c2 12231  ℤ_≥cuz 12783  ℝ⁺crp 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-2 12239  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938

This theorem is referenced by: (None)