Theorem ge2halflem1 13237

Description: Half of an integer greater than 1 is less than or equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 1-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ge2halflem1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem ge2halflem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12417	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12976	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11339	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
5		eluzle 12978	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
6		2m1e1 12467	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) = 1)
8	7	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) · 𝑁) = (1 · 𝑁))
9		eluzelcn 12977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	mullidd 11327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
11	8, 10	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) · 𝑁) = 𝑁)
12	5, 11	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((2 − 1) · 𝑁))
13		2cnd 12421	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
14	13, 9	mulsubfacd 11777	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((2 − 1) · 𝑁))
15	12, 14	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((2 · 𝑁) − 𝑁))
16	2, 4, 3, 15	lesubd 11920	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 2))
17	13, 9	muls1d 11776	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 2))
18	16, 17	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2 · (𝑁 − 1)))
19		1red 11309	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
20	3, 19	resubcld 11744	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
21		2rp 13125	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
23	3, 20, 22	ledivmuld 13217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑁 ≤ (2 · (𝑁 − 1))))
24	18, 23	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  1c1 11201   · cmul 11205   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  2c2 12397  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121

This theorem is used by: (None)