Theorem ge2halflem1 13122

Description: Half of an integer greater than 1 is less than or equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 1-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ge2halflem1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem ge2halflem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12312	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12861	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11263	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
5		eluzle 12863	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
6		2m1e1 12364	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) = 1)
8	7	oveq1d 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) · 𝑁) = (1 · 𝑁))
9		eluzelcn 12862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	mullidd 11251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
11	8, 10	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) · 𝑁) = 𝑁)
12	5, 11	breqtrrd 5147	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((2 − 1) · 𝑁))
13		2cnd 12316	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
14	13, 9	mulsubfacd 11696	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((2 − 1) · 𝑁))
15	12, 14	breqtrrd 5147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((2 · 𝑁) − 𝑁))
16	2, 4, 3, 15	lesubd 11839	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 2))
17	13, 9	muls1d 11695	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 2))
18	16, 17	breqtrrd 5147	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2 · (𝑁 − 1)))
19		1red 11234	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
20	3, 19	resubcld 11663	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
21		2rp 13011	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
23	3, 20, 22	ledivmuld 13102	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑁 ≤ (2 · (𝑁 − 1))))
24	18, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  1c1 11128   · cmul 11132   ≤ cle 11268   − cmin 11464   / cdiv 11892  2c2 12293  ℤ_≥cuz 12850  ℝ⁺crp 13006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-2 12301  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007

This theorem is referenced by: (None)