Theorem ge2halflem1 13024

Description: Half of an integer greater than 1 is less than or equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 1-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ge2halflem1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem ge2halflem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12221	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12764	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11164	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
5		eluzle 12766	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
6		2m1e1 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) = 1)
8	7	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) · 𝑁) = (1 · 𝑁))
9		eluzelcn 12765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	mullidd 11152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
11	8, 10	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) · 𝑁) = 𝑁)
12	5, 11	breqtrrd 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((2 − 1) · 𝑁))
13		2cnd 12225	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
14	13, 9	mulsubfacd 11600	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((2 − 1) · 𝑁))
15	12, 14	breqtrrd 5125	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((2 · 𝑁) − 𝑁))
16	2, 4, 3, 15	lesubd 11743	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 2))
17	13, 9	muls1d 11599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 2))
18	16, 17	breqtrrd 5125	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2 · (𝑁 − 1)))
19		1red 11135	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
20	3, 19	resubcld 11567	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
21		2rp 12912	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
23	3, 20, 22	ledivmuld 13004	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑁 ≤ (2 · (𝑁 − 1))))
24	18, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  1c1 11029   · cmul 11033   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  2c2 12202  ℤ_≥cuz 12753  ℝ⁺crp 12907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-2 12210  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908

This theorem is referenced by: (None)