Theorem ge2halflem1 13054

Description: Half of an integer greater than 1 is less than or equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 1-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ge2halflem1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem ge2halflem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
3		eluzelre 12794	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11170	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
5		eluzle 12796	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
6		2m1e1 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) = 1)
8	7	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) · 𝑁) = (1 · 𝑁))
9		eluzelcn 12795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	mullidd 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
11	8, 10	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 − 1) · 𝑁) = 𝑁)
12	5, 11	breqtrrd 5103	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((2 − 1) · 𝑁))
13		2cnd 12254	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
14	13, 9	mulsubfacd 11606	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((2 − 1) · 𝑁))
15	12, 14	breqtrrd 5103	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ ((2 · 𝑁) − 𝑁))
16	2, 4, 3, 15	lesubd 11749	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) − 2))
17	13, 9	muls1d 11605	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (𝑁 − 1)) = ((2 · 𝑁) − 2))
18	16, 17	breqtrrd 5103	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (2 · (𝑁 − 1)))
19		1red 11140	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
20	3, 19	resubcld 11573	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
21		2rp 12942	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
23	3, 20, 22	ledivmuld 13034	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑁 ≤ (2 · (𝑁 − 1))))
24	18, 23	mpbird 259	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  1c1 11034   · cmul 11038   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  2c2 12231  ℤ_≥cuz 12783  ℝ⁺crp 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-2 12239  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938

This theorem is referenced by: (None)