Theorem eluzelcn 12891

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12890	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11290	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  ℂcc 11154  ℤ_≥cuz 12879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-neg 11496  df-z 12616  df-uz 12880

This theorem is referenced by:  uzp1  12920  peano2uzr  12946  uzaddcl  12947  ge2halflem1  13151  eluzgtdifelfzo  13767  fzosplitpr  13816  fldiv4lem1div2uz2  13877  mulp1mod1  13953  seqm1  14061  bcval5  14358  swrdfv2  14700  relexpaddg  15093  shftuz  15109  seqshft  15125  climshftlem  15611  climshft  15613  isumshft  15876  dvdsexp  16366  pclem  16877  efgtlen  19745  dvradcnv  26465  logbgcd1irr  26838  clwwlkext2edg  30076  clwwlknonex2lem1  30127  clwwlknonex2lem2  30128  clwwlknonex2  30129  2clwwlk2clwwlk  30370  numclwwlk1lem2foalem  30371  numclwwlk1lem2fo  30378  numclwwlk2  30401  nn0prpwlem  36324  aks4d1p1p1  42065  fimgmcyc  42549  rmspecsqrtnq  42922  rmxm1  42951  rmym1  42952  rmxluc  42953  rmyluc  42954  rmyluc2  42955  jm2.17a  42977  relexpaddss  43736  trclfvdecomr  43746  binomcxplemnn0  44373  stoweidlem14  46034  fmtnorec3  47540  lighneallem4a  47600  lighneallem4b  47601  evengpop3  47790  evengpoap3  47791  nnsum4primeseven  47792  nnsum4primesevenALTV  47793  2tceilhalfelfzo1  48023  gpgedgvtx1  48025  expnegico01  48440  dignn0ldlem  48528  dignnld  48529  digexp  48533  dig1  48534  nn0sumshdiglemB  48546