Theorem eluzelcn 12594

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12593	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11003	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  ℂcc 10869  ℤ_≥cuz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583

This theorem is referenced by:  uzp1  12619  peano2uzr  12643  uzaddcl  12644  eluzgtdifelfzo  13449  fzosplitpr  13496  fldiv4lem1div2uz2  13556  mulp1mod1  13632  seqm1  13740  bcval5  14032  swrdfv2  14374  relexpaddg  14764  shftuz  14780  seqshft  14796  climshftlem  15283  climshft  15285  isumshft  15551  dvdsexp  16037  pclem  16539  efgtlen  19332  dvradcnv  25580  logbgcd1irr  25944  clwwlkext2edg  28420  clwwlknonex2lem1  28471  clwwlknonex2lem2  28472  clwwlknonex2  28473  2clwwlk2clwwlk  28714  numclwwlk1lem2foalem  28715  numclwwlk1lem2fo  28722  numclwwlk2  28745  nn0prpwlem  34511  aks4d1p1p1  40071  rmspecsqrtnq  40728  rmxm1  40756  rmym1  40757  rmxluc  40758  rmyluc  40759  rmyluc2  40760  jm2.17a  40782  relexpaddss  41326  trclfvdecomr  41336  binomcxplemnn0  41967  stoweidlem14  43555  fmtnorec3  45000  lighneallem4a  45060  lighneallem4b  45061  evengpop3  45250  evengpoap3  45251  nnsum4primeseven  45252  nnsum4primesevenALTV  45253  expnegico01  45859  dignn0ldlem  45948  dignnld  45949  digexp  45953  dig1  45954  nn0sumshdiglemB  45966