Theorem eluzelcn 12888

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12887	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11287	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  ℂcc 11151  ℤ_≥cuz 12876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by:  uzp1  12917  peano2uzr  12943  uzaddcl  12944  ge2halflem1  13148  eluzgtdifelfzo  13763  fzosplitpr  13812  fldiv4lem1div2uz2  13873  mulp1mod1  13949  seqm1  14057  bcval5  14354  swrdfv2  14696  relexpaddg  15089  shftuz  15105  seqshft  15121  climshftlem  15607  climshft  15609  isumshft  15872  dvdsexp  16362  pclem  16872  efgtlen  19759  dvradcnv  26479  logbgcd1irr  26852  clwwlkext2edg  30085  clwwlknonex2lem1  30136  clwwlknonex2lem2  30137  clwwlknonex2  30138  2clwwlk2clwwlk  30379  numclwwlk1lem2foalem  30380  numclwwlk1lem2fo  30387  numclwwlk2  30410  nn0prpwlem  36305  aks4d1p1p1  42045  fimgmcyc  42521  rmspecsqrtnq  42894  rmxm1  42923  rmym1  42924  rmxluc  42925  rmyluc  42926  rmyluc2  42927  jm2.17a  42949  relexpaddss  43708  trclfvdecomr  43718  binomcxplemnn0  44345  stoweidlem14  45970  fmtnorec3  47473  lighneallem4a  47533  lighneallem4b  47534  evengpop3  47723  evengpoap3  47724  nnsum4primeseven  47725  nnsum4primesevenALTV  47726  2tceilhalfelfzo1  47953  gpgedgvtx1  47955  expnegico01  48364  dignn0ldlem  48452  dignnld  48453  digexp  48457  dig1  48458  nn0sumshdiglemB  48470