Theorem eluzelcn 12415

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12414	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10826	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  ℂcc 10692  ℤ_≥cuz 12403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-ov 7194  df-neg 11030  df-z 12142  df-uz 12404

This theorem is referenced by:  uzp1  12440  peano2uzr  12464  uzaddcl  12465  eluzgtdifelfzo  13269  fzosplitpr  13316  fldiv4lem1div2uz2  13376  mulp1mod1  13450  seqm1  13558  bcval5  13849  swrdfv2  14191  relexpaddg  14581  shftuz  14597  seqshft  14613  climshftlem  15100  climshft  15102  isumshft  15366  dvdsexp  15852  pclem  16354  efgtlen  19070  dvradcnv  25267  logbgcd1irr  25631  clwwlkext2edg  28093  clwwlknonex2lem1  28144  clwwlknonex2lem2  28145  clwwlknonex2  28146  2clwwlk2clwwlk  28387  numclwwlk1lem2foalem  28388  numclwwlk1lem2fo  28395  numclwwlk2  28418  nn0prpwlem  34197  aks4d1p1p1  39753  rmspecsqrtnq  40372  rmxm1  40400  rmym1  40401  rmxluc  40402  rmyluc  40403  rmyluc2  40404  jm2.17a  40426  relexpaddss  40944  trclfvdecomr  40954  binomcxplemnn0  41581  stoweidlem14  43173  fmtnorec3  44616  lighneallem4a  44676  lighneallem4b  44677  evengpop3  44866  evengpoap3  44867  nnsum4primeseven  44868  nnsum4primesevenALTV  44869  expnegico01  45475  dignn0ldlem  45564  dignnld  45565  digexp  45569  dig1  45570  nn0sumshdiglemB  45582