Theorem eluzelcn 12880

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12879	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11243	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  ℂcc 11104  ℤ_≥cuz 12868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-neg 11450  df-z 12598  df-uz 12869

This theorem is used by:  uzp1  12905  peano2uzr  12933  uzaddcl  12934  ge2halflem1  13139  eluzgtdifelfzo  13763  fzosplitpr  13813  fldiv4lem1div2uz2  13876  mulp1mod1  13954  seqm1  14062  bcval5  14361  swrdfv2  14706  relexpaddg  15097  shftuz  15113  seqshft  15129  climshftlem  15632  climshft  15634  isumshft  15900  dvdsexp  16392  pclem  16904  efgtlen  19802  dvradcnv  26595  logbgcd1irr  26970  clwwlkext2edg  30418  clwwlknonex2lem1  30469  clwwlknonex2lem2  30470  clwwlknonex2  30471  2clwwlk2clwwlk  30712  numclwwlk1lem2foalem  30713  numclwwlk1lem2fo  30720  numclwwlk2  30743  nn0prpwlem  36861  aks4d1p1p1  42858  fimgmcyc  43330  rmspecsqrtnq  43661  rmxm1  43689  rmym1  43690  rmxluc  43691  rmyluc  43692  rmyluc2  43693  jm2.17a  43715  relexpaddss  44472  trclfvdecomr  44482  binomcxplemnn0  45087  stoweidlem14  46756  2tceilhalfelfzo1  48101  2timesltsqm1  48144  fmtnorec3  48328  lighneallem4a  48388  lighneallem4b  48389  ppivalnnprm  48405  ppivalnnnprmge6  48406  evengpop3  48591  evengpoap3  48592  nnsum4primeseven  48593  nnsum4primesevenALTV  48594  gpgedgvtx1  48855  expnegico01  49326  dignn0ldlem  49410  dignnld  49411  digexp  49415  dig1  49416  nn0sumshdiglemB  49428