Theorem eluzelcn 12834

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12833	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11242	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  ℂcc 11108  ℤ_≥cuz 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823

This theorem is referenced by:  uzp1  12863  peano2uzr  12887  uzaddcl  12888  eluzgtdifelfzo  13694  fzosplitpr  13741  fldiv4lem1div2uz2  13801  mulp1mod1  13877  seqm1  13985  bcval5  14278  swrdfv2  14611  relexpaddg  15000  shftuz  15016  seqshft  15032  climshftlem  15518  climshft  15520  isumshft  15785  dvdsexp  16271  pclem  16771  efgtlen  19594  dvradcnv  25933  logbgcd1irr  26299  clwwlkext2edg  29309  clwwlknonex2lem1  29360  clwwlknonex2lem2  29361  clwwlknonex2  29362  2clwwlk2clwwlk  29603  numclwwlk1lem2foalem  29604  numclwwlk1lem2fo  29611  numclwwlk2  29634  nn0prpwlem  35207  aks4d1p1p1  40928  rmspecsqrtnq  41644  rmxm1  41673  rmym1  41674  rmxluc  41675  rmyluc  41676  rmyluc2  41677  jm2.17a  41699  relexpaddss  42469  trclfvdecomr  42479  binomcxplemnn0  43108  stoweidlem14  44730  fmtnorec3  46216  lighneallem4a  46276  lighneallem4b  46277  evengpop3  46466  evengpoap3  46467  nnsum4primeseven  46468  nnsum4primesevenALTV  46469  expnegico01  47199  dignn0ldlem  47288  dignnld  47289  digexp  47293  dig1  47294  nn0sumshdiglemB  47306