Theorem eluzelcn 12805

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12804	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11202	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  ℂcc 11066  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  uzp1  12834  peano2uzr  12862  uzaddcl  12863  ge2halflem1  13068  eluzgtdifelfzo  13688  fzosplitpr  13737  fldiv4lem1div2uz2  13798  mulp1mod1  13876  seqm1  13984  bcval5  14283  swrdfv2  14626  relexpaddg  15019  shftuz  15035  seqshft  15051  climshftlem  15540  climshft  15542  isumshft  15805  dvdsexp  16298  pclem  16809  efgtlen  19656  dvradcnv  26330  logbgcd1irr  26704  clwwlkext2edg  29985  clwwlknonex2lem1  30036  clwwlknonex2lem2  30037  clwwlknonex2  30038  2clwwlk2clwwlk  30279  numclwwlk1lem2foalem  30280  numclwwlk1lem2fo  30287  numclwwlk2  30310  nn0prpwlem  36310  aks4d1p1p1  42051  fimgmcyc  42522  rmspecsqrtnq  42894  rmxm1  42923  rmym1  42924  rmxluc  42925  rmyluc  42926  rmyluc2  42927  jm2.17a  42949  relexpaddss  43707  trclfvdecomr  43717  binomcxplemnn0  44338  stoweidlem14  46012  2tceilhalfelfzo1  47330  fmtnorec3  47546  lighneallem4a  47606  lighneallem4b  47607  evengpop3  47796  evengpoap3  47797  nnsum4primeseven  47798  nnsum4primesevenALTV  47799  gpgedgvtx1  48050  expnegico01  48504  dignn0ldlem  48588  dignnld  48589  digexp  48593  dig1  48594  nn0sumshdiglemB  48606