Theorem eluzelcn 12902

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12901	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11264	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  ℂcc 11125  ℤ_≥cuz 12890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-neg 11471  df-z 12619  df-uz 12891

This theorem is used by:  uzp1  12927  peano2uzr  12955  uzaddcl  12956  ge2halflem1  13161  eluzgtdifelfzo  13785  fzosplitpr  13835  fldiv4lem1div2uz2  13899  mulp1mod1  13977  seqm1  14085  bcval5  14384  swrdfv2  14733  relexpaddg  15128  shftuz  15144  seqshft  15160  climshftlem  15663  climshft  15665  isumshft  15930  dvdsexp  16422  pclem  16934  efgtlen  19854  dvradcnv  26654  logbgcd1irr  27029  clwwlkext2edg  30512  clwwlknonex2lem1  30563  clwwlknonex2lem2  30564  clwwlknonex2  30565  2clwwlk2clwwlk  30816  numclwwlk1lem2foalem  30817  numclwwlk1lem2fo  30824  numclwwlk2  30847  nn0prpwlem  36928  aks4d1p1p1  42916  fimgmcyc  43403  rmspecsqrtnq  43734  rmxm1  43762  rmym1  43763  rmxluc  43764  rmyluc  43765  rmyluc2  43766  jm2.17a  43788  relexpaddss  44545  trclfvdecomr  44555  binomcxplemnn0  45160  stoweidlem14  46829  2tceilhalfelfzo1  48211  2timesltsqm1  48254  fmtnorec3  48438  lighneallem4a  48498  lighneallem4b  48499  ppivalnnprm  48515  ppivalnnnprmge6  48516  evengpop3  48701  evengpoap3  48702  nnsum4primeseven  48703  nnsum4primesevenALTV  48704  gpgedgvtx1  48965  expnegico01  49435  dignn0ldlem  49519  dignnld  49520  digexp  49524  dig1  49525  nn0sumshdiglemB  49537