Theorem eluzelcn 12781

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12780	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11178	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  ℂcc 11042  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  uzp1  12810  peano2uzr  12838  uzaddcl  12839  ge2halflem1  13044  eluzgtdifelfzo  13664  fzosplitpr  13713  fldiv4lem1div2uz2  13774  mulp1mod1  13852  seqm1  13960  bcval5  14259  swrdfv2  14602  relexpaddg  14995  shftuz  15011  seqshft  15027  climshftlem  15516  climshft  15518  isumshft  15781  dvdsexp  16274  pclem  16785  efgtlen  19640  dvradcnv  26363  logbgcd1irr  26737  clwwlkext2edg  30035  clwwlknonex2lem1  30086  clwwlknonex2lem2  30087  clwwlknonex2  30088  2clwwlk2clwwlk  30329  numclwwlk1lem2foalem  30330  numclwwlk1lem2fo  30337  numclwwlk2  30360  nn0prpwlem  36303  aks4d1p1p1  42044  fimgmcyc  42515  rmspecsqrtnq  42887  rmxm1  42916  rmym1  42917  rmxluc  42918  rmyluc  42919  rmyluc2  42920  jm2.17a  42942  relexpaddss  43700  trclfvdecomr  43710  binomcxplemnn0  44331  stoweidlem14  46005  2tceilhalfelfzo1  47326  fmtnorec3  47542  lighneallem4a  47602  lighneallem4b  47603  evengpop3  47792  evengpoap3  47793  nnsum4primeseven  47794  nnsum4primesevenALTV  47795  gpgedgvtx1  48046  expnegico01  48500  dignn0ldlem  48584  dignnld  48585  digexp  48589  dig1  48590  nn0sumshdiglemB  48602