Theorem eluzelcn 12874

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12873	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11237	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  ℂcc 11098  ℤ_≥cuz 12862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-neg 11444  df-z 12592  df-uz 12863

This theorem is referenced by:  uzp1  12899  peano2uzr  12927  uzaddcl  12928  ge2halflem1  13133  eluzgtdifelfzo  13756  fzosplitpr  13806  fldiv4lem1div2uz2  13869  mulp1mod1  13947  seqm1  14055  bcval5  14354  swrdfv2  14699  relexpaddg  15090  shftuz  15106  seqshft  15122  climshftlem  15625  climshft  15627  isumshft  15893  dvdsexp  16386  pclem  16898  efgtlen  19796  dvradcnv  26550  logbgcd1irr  26925  clwwlkext2edg  30348  clwwlknonex2lem1  30399  clwwlknonex2lem2  30400  clwwlknonex2  30401  2clwwlk2clwwlk  30642  numclwwlk1lem2foalem  30643  numclwwlk1lem2fo  30650  numclwwlk2  30673  nn0prpwlem  36756  aks4d1p1p1  42755  fimgmcyc  43229  rmspecsqrtnq  43560  rmxm1  43588  rmym1  43589  rmxluc  43590  rmyluc  43591  rmyluc2  43592  jm2.17a  43614  relexpaddss  44371  trclfvdecomr  44381  binomcxplemnn0  44986  stoweidlem14  46655  2tceilhalfelfzo1  47997  2timesltsqm1  48040  fmtnorec3  48224  lighneallem4a  48284  lighneallem4b  48285  ppivalnnprm  48301  ppivalnnnprmge6  48302  evengpop3  48487  evengpoap3  48488  nnsum4primeseven  48489  nnsum4primesevenALTV  48490  gpgedgvtx1  48751  expnegico01  49218  dignn0ldlem  49302  dignnld  49303  digexp  49307  dig1  49308  nn0sumshdiglemB  49320