Theorem eluzelcn 12915

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12914	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11318	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  ℂcc 11182  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  uzp1  12944  peano2uzr  12968  uzaddcl  12969  eluzgtdifelfzo  13778  fzosplitpr  13826  fldiv4lem1div2uz2  13887  mulp1mod1  13963  seqm1  14070  bcval5  14367  swrdfv2  14709  relexpaddg  15102  shftuz  15118  seqshft  15134  climshftlem  15620  climshft  15622  isumshft  15887  dvdsexp  16376  pclem  16885  efgtlen  19768  dvradcnv  26482  logbgcd1irr  26855  clwwlkext2edg  30088  clwwlknonex2lem1  30139  clwwlknonex2lem2  30140  clwwlknonex2  30141  2clwwlk2clwwlk  30382  numclwwlk1lem2foalem  30383  numclwwlk1lem2fo  30390  numclwwlk2  30413  nn0prpwlem  36288  aks4d1p1p1  42020  fimgmcyc  42489  rmspecsqrtnq  42862  rmxm1  42891  rmym1  42892  rmxluc  42893  rmyluc  42894  rmyluc2  42895  jm2.17a  42917  relexpaddss  43680  trclfvdecomr  43690  binomcxplemnn0  44318  stoweidlem14  45935  fmtnorec3  47422  lighneallem4a  47482  lighneallem4b  47483  evengpop3  47672  evengpoap3  47673  nnsum4primeseven  47674  nnsum4primesevenALTV  47675  expnegico01  48247  dignn0ldlem  48336  dignnld  48337  digexp  48341  dig1  48342  nn0sumshdiglemB  48354