Theorem eluzelcn 12853

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12852	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11212	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  ℂcc 11073  ℤ_≥cuz 12841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fv 6531  df-ov 7401  df-neg 11419  df-z 12571  df-uz 12842

This theorem is referenced by:  uzp1  12878  peano2uzr  12906  uzaddcl  12907  ge2halflem1  13112  eluzgtdifelfzo  13735  fzosplitpr  13785  fldiv4lem1div2uz2  13848  mulp1mod1  13926  seqm1  14034  bcval5  14333  swrdfv2  14677  relexpaddg  15068  shftuz  15084  seqshft  15100  climshftlem  15603  climshft  15605  isumshft  15871  dvdsexp  16364  pclem  16876  efgtlen  19768  dvradcnv  26486  logbgcd1irr  26861  clwwlkext2edg  30260  clwwlknonex2lem1  30311  clwwlknonex2lem2  30312  clwwlknonex2  30313  2clwwlk2clwwlk  30554  numclwwlk1lem2foalem  30555  numclwwlk1lem2fo  30562  numclwwlk2  30585  nn0prpwlem  36687  aks4d1p1p1  42685  fimgmcyc  43157  rmspecsqrtnq  43488  rmxm1  43516  rmym1  43517  rmxluc  43518  rmyluc  43519  rmyluc2  43520  jm2.17a  43542  relexpaddss  44299  trclfvdecomr  44309  binomcxplemnn0  44930  stoweidlem14  46593  2tceilhalfelfzo1  47935  2timesltsqm1  47978  fmtnorec3  48162  lighneallem4a  48222  lighneallem4b  48223  ppivalnnprm  48239  ppivalnnnprmge6  48240  evengpop3  48425  evengpoap3  48426  nnsum4primeseven  48427  nnsum4primesevenALTV  48428  gpgedgvtx1  48689  expnegico01  49145  dignn0ldlem  49229  dignnld  49230  digexp  49234  dig1  49235  nn0sumshdiglemB  49247