Theorem irrednegb 20316

Description: An element is irreducible iff its negative is. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irredn0.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
irrednegb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
irrednegb	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼))

Proof of Theorem irrednegb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irredn0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
2		irredneg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
3	1, 2	irredneg 20315	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼)
4	3	adantlr 715	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼)
5		ringgrp 20123	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6		irrednegb.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	6, 2	grpinvinv 18884	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
8	5, 7	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
10	1, 2	irredneg 20315	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐼)
11	10	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐼)
12	9, 11	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐼)
13	4, 12	impbida 800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  Grpcgrp 18812  inv_gcminusg 18813  Ringcrg 20118  Irredcir 20241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-irred 20244  df-invr 20273  df-dvr 20286

This theorem is referenced by:  prmirred  21381