MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irrednegb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrednegb 18913
Description: An element is irreducible iff its negative is. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredneg.n 𝑁 = (invg𝑅)
irrednegb.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
irrednegb ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐼 ↔ (𝑁𝑋) ∈ 𝐼))

Proof of Theorem irrednegb
StepHypRef Expression
1 irredn0.i . . . 4 𝐼 = (Irred‘𝑅)
2 irredneg.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑅)
31, 2irredneg 18912 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐼)
43adantlr 697 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋𝐼) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐼)
5 ringgrp 18754 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6 irrednegb.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
76, 2grpinvinv 17687 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
85, 7sylan 571 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
98adantr 468 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
101, 2irredneg 18912 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝐼)
1110adantlr 697 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝐼)
129, 11eqeltrrd 2886 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐼) → 𝑋𝐼)
134, 12impbida 826 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐼 ↔ (𝑁𝑋) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  cfv 6101  Basecbs 16068  Grpcgrp 17627  invgcminusg 17628  Ringcrg 18749  Irredcir 18842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-tpos 7587  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-0g 16307  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-mgp 18692  df-ur 18704  df-ring 18751  df-oppr 18825  df-dvdsr 18843  df-unit 18844  df-irred 18845  df-invr 18874  df-dvr 18885
This theorem is referenced by:  prmirred  20051
  Copyright terms: Public domain W3C validator