MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitinvinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitinvinv 20051
Description: The inverse of the inverse of a unit is the same element. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2 𝐼 = (invr𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitinvinv ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem unitinvinv
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2 eqid 2736 . . 3 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
31, 2unitgrp 20043 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
41, 2unitgrpbas 20042 . . 3 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5 unitinvcl.2 . . . 4 𝐼 = (invr𝑅)
61, 2, 5invrfval 20049 . . 3 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
74, 6grpinvinv 18767 . 2 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋𝑈) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
83, 7sylan 580 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7351  s cress 17066  Grpcgrp 18702  mulGrpcmgp 19849  Ringcrg 19912  Unitcui 20015  invrcinvr 20047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-0g 17277  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-grp 18705  df-minusg 18706  df-mgp 19850  df-ur 19867  df-ring 19914  df-oppr 19996  df-dvdsr 20017  df-unit 20018  df-invr 20048
This theorem is referenced by:  extdg1id  32188
  Copyright terms: Public domain W3C validator